(共24张PPT)
第八章二元一次方程组
8.2
代入消元法解二元一次方程组
教学目的:让学生会用代入消元法解二元一次方程组.
教学重点:用代入法解二元一次方程组的一般步骤.
教学难点:体会代入消元法和化未知为已知的数学思想.
代入消元法解二元一次方程组
“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!”
——法国数学家
笛卡儿[Descartes,
1596-1650
]
名人语录
由两个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组
方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解
二元一次方程组中各个方程的解一定是方程组的解
（
）
方程组的解一定是组成这个方程组的每一个方程的解
（
）
判
断
错
对
知识回顾
1、指出
三对数值分别是下面哪一
个方程组的解.
x
=1，
y
=
2，
x
=
2，
y
=
-2，
x
=
-1，
y
=
2，
①
②
③
y
+
2x
=
0
x
+
2y
=
3
x
–
y
=
4
x
+
y
=
0
y
=
2x
x
+
y
=
3
解：
①（
）是方程组（
）的解；
②（
）是方程组（
）的解；
③（
）是方程组（
）的解；
x
=1，
y
=
2，
y
=
2x
x
+
y
=
3
x
=
2，
y
=
-2，
x
–
y
=
4
x
+
y
=
0
x
=
-1，
y
=
2，
y
+
2x
=
0
x
+
2y
=
3
口
答
题
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.
某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场
数应分别是多少？
问题
设篮球队胜了x场,负了y场.
根据题意得方程组
x＋y
=
22
2x＋y
=
40
解:设胜x场,则负(22-x)场,根据题意得方程
2x+
(22-x)
=40
解得
x=18
22-18=4
答:这个队胜18场,只负4场.
①
②
由①得，
y
=
4
③
把③
代入②
，得
2x+
(22-x)
=
40
解这个方程，得
x=18
把
x=18
代入③
，得
所以这个方程组的解是
y
=
22－x
x=18
y
=
4.
这样的形式叫做“用
x
表示
y”.
记住啦！
上面的解方程组的基本思路是什么？基本步骤有哪些？
上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
归纳
?
例1
用代入法解方程组
x－y=3
①
3x－8y=14
②
例题分析
解:由①得
x=y+3
③
解这个方程得:y=-1
把③代入②得
3
(y+3)
－8y=14
把y=-1代入③得:x=2
所以这个方程组的解为:
y=－1
x=2
例1
用代入法解方程组
x－y=3
①
3x－8y=14
②
例题分析
解:由①得
y=x－3
③
解这个方程得:x=2
把③代入②得
3x－8(x－3)=14
把x=2代入③得:y=－1
所以这个方程组的解为:
y=－1
x=2
试一试：
用代入法解
二元一次方程组
最为简单的方法是将________式中的
_________表示为__________，
再代入__________
①
x
X=6-5y
②
①
②
例2
解方程组
3x
–
2y
=
19
2x
+
y
=
1
解：
①
②
3x
–
2y
=
19
2x
+
y
=
1
由②得：
y
=
1
–
2x
③
把③代入①得：
3x
–
2（1
–
2x）=
19
3x
–
2
+
4x
=
19
3x
+
4x
=
19
+
2
7x
=
21
x
=
3
把x
=
3代入③，得
y
=
1
–
2x
=
1
-
2×3
=
-
5
∴
x
=
3
y
=
-
5
1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数(变形）
2、用这个一次式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值（代入求解）
3、把这个未知数的值再代入一次式，求得另一个未知数的值（再代求解）
4、写出方程组的解（写解）
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
试一试：
用代入法解二元一次方程组
最为简单的方法是将________式中的
_________表示为__________，
再代入__________
①
x
X=6-5y
②
①
②
1、解二元一次方程组
⑴
x+y=5
①
x-y=1
②
⑵
2x+3y=40
①
3x
-2y=-5
②
2、已知（2x+3y-4）+∣x+3y-7∣=0
则x=
，y=
。
２
-3
—
10
3
３、若方程
是关于x、y的二元一次方程，
求
的值。
做一做
4、如图所示，将长方形ＡＢＣＤ的一个角折叠，折痕为ＡＥ，∠BAD比∠BAE大48°.设∠BAE和∠BAD的度数分别为x
,y度，那么x,y所适合的一个方程组是（ ）
A
B
C
D
C
探究：对于x+2y=5，思考下列问题：
（１）用含y的式子表示x；
（２）用含x的式子表示y；
x=1
y=2
x=3
y=1
x=5
y=0
（３）在自然数范围内方程的解是
探究：
列出二元一次方程组,并根据问题的实际意义找出问题的解.
已知钢笔每只5元,圆珠笔每只2元,小明用16元钱买了这两种笔共5支,试求小明买钢笔和圆珠笔各多少支?
解:设小明买钢笔x支,买圆珠笔y支，根据题意列出方程组得
X+y=5
5x+2y=16
因为x和y只能取正整数，所以观察方程组得此方程组的解是
X=2
Y=3
这节课你有哪些收获?
1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数(变形）
2、用这个一次式代替另一个方程中的相应未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值（代入）
3、把这个未知数的值代入一次式，求得另一个未知数的值（再代）
4、写出方程组的解（写解）
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
解二元一次方程组
用代入法
例题分析
分析：问题包含两个条件(两个相等关系)：
大瓶数:小瓶数＝2
:
5即5大瓶数=2小瓶数
大瓶装的消毒液＋小瓶装的消毒液＝总生产量
例3
根据市场调查，某消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)，两种产品的销售数量的比(按瓶计算)是2:5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
5x=2y
500x+250y=22
500
000
500x+250×
x=22
500
000
５
２
y=
x
５
２
解：设这些消毒液应该分装x大瓶,
y小瓶,根据题意得方程
①
②
由①得
③
把③代入②得
解这个方程得:x=20
000
把x=20
000代入③得:y=50
000
所以这个方程组的解为:
y=50
000
x=20
000
答这些消毒液应该分装20
000大瓶,
50
000小瓶,
二
元
一
次
方
程
组
5x=2y
500x+250y=22
500
000
y=50
000
X=20
000
解得x
变形
解得y
代入
消y
归纳总结
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
一元一次方程
500x+250×
x=22500000
５
２
y=
x
５
２
用
x代替y,消未知数y
５
２
解这个方程组，可以先消
x吗？
x+y=22
2x+y=40
2x+(22-x)=40
第一个方程x+y=22说明y=22-x
将第二个方程2x+y=40的y换成22-x
解得x=18
代入y=22-x
得y=4
y=
4
x=18
思考:从
到
达到了什么目的?怎样达到的?
x+y=22
2x+y=40
2x+(22-x)=40(共25张PPT)
第八章
二元一次方程组
8.2
消元——解二元一次方程组
第2课时
加减法
1．会运用加减消元法解二元一次方程组．
2．经历探究加减消元法解二元一次方程组的过程，领会“消元”法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．
学习目标
课堂导入
y的系数有什么关系？想一想，还有别的方法去解这个方程组吗？
新知讲解
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中的一个未知数，那么就把二元一次方程组转化成一元一次方程了，于是可以求出其中的一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多转化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。
加减消元法
消元思想
解方程组
②－①可消去未知数y得：
x＝6.
所以方程组的解为
把x＝6代入①得y＝4.
新知讲解
加减入消元法
当二元一次方程的两个方程中，同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，从而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法。
新知讲解
解方程组
求方程组
的解
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减不能消元，我们该怎么办呢？
新知讲解
对方程变形，使得这两个方程中某个未知数得系数相反或相等。
新知讲解
解：
①×3得：9x＋12y＝48，③
②×2得：10x－12y＝66.④
③＋④得：19x＝114，x＝6.
把x＝6代入①得：3×6＋4y＝16，y＝
所以该方程组的解为
新知讲解
总结
通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。
加减消元法的条件：同一未知数的系数相等或互为相反数。
新知讲解
总结
新知讲解
典型例题
例1：用加减消元法解下列方程组：
解析：观察x，y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y，把方程①的两边同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的两边同乘以3，得9x－6y＝45④，把③与④相加就可以消去y。
解：
①×2，得8x＋6y＝6.③
②×3，得9x－6y＝45.④
③＋④，得17x＝51，x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.
所以原方程组的解是
典型例题
例2：2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8hm2，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦
hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦
hm2，由此考虑两种情况下的工作量。
典型例题
解：
设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2，
根据两种工作方式中的相等关系，列出方程组：
去括号得：
典型例题
解：
②－①得11x＝4.4，x＝0.4.
把x＝0.4代入①得：y＝0.2
因此这个方程组的解为
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2。
典型例题
例3：已知x、y满足方程组
，求代数式x－y的值。
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值。
典型例题
解：
②－①，得2x－2y＝－1－5，③
，得x－y＝－3
所以x－y的值为－3。
典型例题
随堂练习
1.
用加减消元法解下列方程组。
解：
先化简方程组，得
③×2，得4x＋6y＝28.⑤
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.
⑤－④，得11y＝22，y＝2.
所以原方程组的解是
2.
利用加减消元法解方程组：
下列做法正确的是（
）。
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×（-5）
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2
D
随堂练习
3.
用加减消元法解下列方程组：
解：
②×3－①得，11y＝22，
y＝2.
x＝1.
把y＝2代入②得：
所以原方程组的解是
随堂练习
4
.已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值。
因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，所以
解：
整理，得
随堂练习
④－③，得2m＝8，所以m＝4.
解：
把m＝4代入③，得2n＝6，
所以n＝3.
所以当
时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项。
随堂练习
当二元一次方程的两个方程中，同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，从而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法。
课堂小结
再
见
