三角形的三边关系
教学目标：
通过提出问题、引发猜想、实验操作、验证结论等活动，经历三角形三边之间关系的探究过程，理解三角形三边的关系，并能应用三角形三边关系解决生活中的实际问题。
培养学生推理，抽象概括和动手操作的能力，增强运用数学知识解决实际问题的能力。
体会数形结合思想，在数学探究活动中获得成功的体验，感受数学的价值。
教学重点：理解三角形的任意两边之和大于第三边
教学难点：三角形三边关系的探究和归纳，和对“任意”的理解，以及拓展运用。
教学过程：
一：出示情境图，提出猜想
同学们，请看大屏幕：
现在小明到学校有3条路可以走,我们分别用不同的颜色来表示，在这三条路中，你觉得哪条路最短？说说你的理由
生1····生2···
其实我们也可以把蓝色这条路拉直，然后和红色这条路做比较，(课件展示）也会发现红色这条路最短。孩子们，学习了今天的知识，你还可以从另一个角度去解释它哦~
我们再来看看，蓝色这条路和红色这条路围成了一个什么图形？（出示课件，只有一个三角形）蓝色这条路走了三角形的几条边？红色这条呢？现在假如三角形三条边的长度分别是a米、b米、c米，根据刚才的经验红色这条路最短，你们能猜一猜三角形的三条边之间有什么关系？
生1···2···
我们再来看看，蓝色这条路走了三角形的两条边，它的长度可以用a+b表示；红色这条路走了三角形的一条边，它的长度可以用c表示。因为蓝色这条路比红色这条路长，
我们可以得到a+b>c，也就是三角形中两条边的和大于第三边（板书：猜想：三角形两条边的和大于第三边）。
那是不是所有的三角形都有这样的特征呢？我们这节课就一起来研究三角形的三边关系。（板书：课题）
二：测量验证
测量
有了猜想，我们就要想一想这个猜想是否正确？需要去验证，那我们能用什么方法来验证我们的猜想：三角形两边之和大于第三边呢？
生····
孩子们说测量是验证猜想正确与否的最重要方法之一，所以接下来我们就用测量的方法来验证。首先请看测量要求：
请你从以下3个三角形中任选一个三角形测量出三条边的长度，记录在表格里。
将三角形的两条边的长度相加，与第三条边的长度比较，记录在表格里。
观察，是否满足你的猜想
我选择几号图形
两条边之和与第三条边做比较
是否满足你的猜想
（
）+（
）>（
）
（
）+（
）>（
）
（
）+（
）>（
）
生：操作
师：巡视
（二）汇报
师：谁来说一说你选择的是几号图形，以及你的测量结果和比较结果？
生：我选择一号图形，测量出三条边的长度分别是3厘米，4厘米，5厘米.3+4>5，
师：有不同意见吗？或者谁想补充一下的？（刚才这个孩子是用3厘米和4厘米这两条边的和去与5厘米这条边做比较的，还有没有谁用另外两条边的和去和其他边做比较的？）
生：3+5>4
，5+4>3
师：还有没有谁选择其他图形的？
生：我选择的是2号图形，三条边的长度分别是3厘米，4厘米，6厘米，比较结果是3+4>6,3+6>4,4+6>3
师：这个三角形呢？谁来说一说
生：我测量出三条边的长度分别是2厘米，4厘米，5厘米，可以得到2+5>4,2+4>5,5+4>2
（三）验证猜想
师：现在我们认真观察这3组数剧，满足我们的猜想：两边之和大于第三边吗？先和同桌说一说
生1···生2···生3··生4···生5····
师：刚刚有个孩子说任意两条边的和大于第三边，任意是从哪里发现的呢？以第3个三角形为例，谁愿意上来指一指并说一说
生：因为2+5>4，4+2>5，4+5>2也就是从3条边中任意选两条边相加都比第三条边大）
师：哦，你们的意思是三角形中随便两条边的和都大于第三边，我们可以用一个词任意来表示，所以可以这样说：三角形任意两条边的和大于第三边。（板书：三角形任意两边之和大于第三边）那我们再来看看1、2号满足任意两边之和大于第三边吗？
生：满足
三：实验验证：
（一）：引发猜想
我们刚才通过测量的方法初步验证了我们的猜想，知道了三角形任意两边之和大于第三边，那是不是不满足任意两边之和大于第三边就不能画出三角形呢？老师给大家准备了4组线段，（课件出示）你们先猜一猜哪些能围成三角形？哪些不能围成三角形？记录在表格里，然后可以和同桌说说你的想法。
3根小棒的长度（cm）
猜一猜能否围成三角形
说说你的理由
4,5,10
4,6,10
4,5,6
5,6,10
生：猜想，交流
（二）动手操作
师：看来大家都有自己的猜想，下面我们就一起来动手围一围，请看操作要求：
请同桌两个孩子将每一组里的三根小棒都来围一围，看是否能围成三角形。
2、检验是否与你的猜想一致。
生：操作···
师：巡视
（三）汇报交流
1、刚刚老师已经让四个孩子把每一组的图形都围在了黑板上，请你们先看一看，你对他们围的图形有不同意见吗？
我们再来看看第一组能吗？第二组能吗？第三组能吗？第四组能吗？有不同意见吗？
老师也围了围，我们一起来看一看。第一组能吗？第二组能吗？第三组能吗?第四种能吗？
（四）探究能或不能的原因
通过刚才的实验我们发现有些能围成三角形有些不能围成三角形，原因是什么呢？下面我们就来具体分析分析！谁来说说第一组为什么不能围成三角形？、
生1···生2···生3···生4····
师：看来大家的意思都是说因为4厘米和5厘米这两根小棒的和小于了10厘米，中间有空隙，所以不能围成三角形，也因为4+5<10所以不满足任意两条边的和大于第三边！
师：谁能像这样说说第二组为什么不能围成三角形？
生1····生2····生3···生4····
师：刚才有个孩子说4厘米和6厘米这两根小棒的和等于了10厘米，现在处于重合的状态，所以就不能围成三角形，也因为4+6=10所以不满足任意两条边的和大于第三边！
师：通过一二组我们发现两根小棒短了围不成，中间有空隙；等于也不行，重合了。都不满足任意两条边的和大于第三边，那能围成的是不是一定满足任意两边之和大于第三边这样的关系呢？我们接下来看看第3组，满足任意两条边的和大于第三边吗？
生：满足，因为4+5>6。4+6>5,5+6>4
师：谁能像这样说说第四组？
生：满足，因为5+6>10
师：你怎么用一组就表示出任意了呢？你能说说你的想法吗？
生：因为较短两边加起来大于较长的那条边的话，就一定可以得到较长加上较短的大于较短的边
师：哦，那你的意思是说短+短>长，就一定能得到长+短>短，所以用一组就可以表示出任意了，真聪明！
得到结论
看来我们通过测量和实践操作都得到了这样的结论：三角形任意两边之和大于第三边。大家一起来读一读。
四：实践运用，优化方法
1、老师这里还有一些小棒，你能判断一下，它们能围成三角形吗？
1组
生1：第一组能围成三角形，因为3+4＞5,满足任意两边之和大于第三边
师：我们来看看它围成后的图形是什么样子的。（课件展示）
2组
生2：第二组能围成三角形，因为3+3＞3
我们来看看它围成后的图形是什么样子的（课件展示）
3组：
生：2+2＜6就能得到不能围成三角形
师：看看它围成的形状（点课件）
4组：
师：你能判断第四组吗？
生：3+3＞5，所以能
师：看看它围成的形状（点课件）
小结：现在你能说一说我们是怎样快速的判断能否围城三角形的吗？
生：只需要用较短的两根小棒加起来看是否大于较长的小棒
师：板书：短+短＞长
2、回顾情境图，用所学知识去解释实际生活中的问题
我们再来看一看前面的情境图，现在你能今天学习的知识来解释一下为什么红色这条路最短吗？
生：在三角形中两边之和大于第三边，所以这条中间的路最近。
生2····
师：其实我们也可以把小明家和学校看出两个点，所以我们有这样的结论：两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
五：小结
这节课，你学到了什么？三角形的三边关系
?
学习内容：
学习目标：1.使学生在动手操作过程中，了解三角形的三边关系，进一步理解和掌握三角形的特征。
2.使学生初步理解并感知只要三角形三边长度确定，这个三角形的形状和
大小就完全确定的稳定性质。
3.体验三角形稳定性在生活中的广泛应用，培养学生独立思考和团结合作的
精神。
学习重点:
自主探索并发现三角形三边的关系。
学习难点:
自主探索并发现三角形三边的关系，体验其稳定性在生活中的广泛应用。
教具学具：小棒、课件或情境图等。
板书设计：
三角形三边的关系
两条线段之和
≤
第三条线段
→
不能围成三角形
两条线段之和
＞
第三条线段
→
能围成三角形
学习过程:
1、沟通学习
1.谁来说说什么是三角形？
【互学】
互学方法：小组相互说一说。
互学表达：三角形有3条边，3个角。三角形的3条边都是线段。这3条线段要首尾相接的连起来。
2.
猜想——激疑
师出示3根小棒（不出示长度）：
师：猜一猜，这3根小棒能围成一个三角形吗？说说你是怎么想的？
【自学尝试，互学互助】
互学方法：相互说出思考的方法。
学生发表自己的想法后，请两个学生到黑板亲自动手演示验证——这3根小棒不能围成一个三角形？
师：你能简单说说这3根小棒为什么不能围成一个三角形？
师：想一想，3根小棒或3条线段能不能围成一个三角形，与什么有关？
师：这节课我们就一起来研究“三角形三边的关系”（板书课题）
二、探究学习
主问题1：现有四根小棒，一根长8厘米，一根长5厘米，一根长4厘米，一根长2厘米，任意选3根小棒能围成一个三角形吗？
学生分组实验，师巡视指导，适时捕捉学生实验
1．操作——感知
操作要求：
①分组：以3人为一小组，两人用小棒搭建三角形，小组长负责指导并记录；
②从1号学具袋中拿出操作材料（长5厘米和8厘米的两根小棒、实验结果记录表）；
③每次从2号学具袋中取出一根小棒，依次与1号学具袋中的两根小棒围一围，看看是否能围成一个三角形；
④把每次实验结果填写在实验记录表中。
⑤再试着拿出其他的小棒看一看哪三根小棒能组成一个三角形呢？
【自学】自学方法：自主尝试。
【互学】互学过程：
（1）交流分享：小组长主持，组员依次交流自己的想法。
（2）汇总意见：小组长总结，形成小组意见。
（3）展学准备：小组长根据汇总意见合理分工。
【展学】
展学形式：台上展学。
展学过程：
（1）根据组长分工有序汇报。
（2）针对汇报内容，其他小组补充、质疑、评价。
展学表达：
①我发现再加上4厘米的小棒就可以组成三角形。
②我发现加上2厘米的小棒不可以组成三角形。
展学目标：人人学会。
主问题2.围成三角形的三根小棒有什么关系？
从围成三角形的三根小棒中任意选出两根，将它们的长度和与第三根比较，结果怎样？
【自学】
自学要求：自己动手算一算。
自学形式：自学尝试。（边思边试）
【互学】
互学方法：相互说一说，手指着自己的算式说。
互学过程：
（1）交流分享：小组长主持，组员依次交流自己的想法。
（2）汇总意见：小组长总结，形成小组意见。
（3）展学准备：小组长根据汇总意见合理分工。
【展学】
展学形式：台上展学。
展学过程：
（1）根据组长分工有序汇报。
（2）针对汇报内容，其他小组补充、质疑、评价。
展学表达：1、可以组成三角形的三个小棒长度可以组成的算式：4+5>8,4+8>5,5+8>4。
2、不能组成三角形的三根小棒长度可以组成的算式：2+4<8,2+5<4,2+8<5。
3、任意两根小棒的长度和一定大于第三根小棒。
展学目标：人人学会。
【总结表达】三角形任意两边长度的和大于第三边。
三、达标学习
。
师：刚才同学们通过自己的探索，发现了“三角形任意两边的和一定大于第三边”这一数学规律，表现得非常棒，现在你能运用这个结论来判断给出的三条边能否围成一个三角形吗？
【自学】自己练一练
【互学】互学方法：看一看，评一评。相互检查答题情况，找出存在问题，交流思考问题。
【展学】
展学表达：【学生如果有困难，教师要适时介入】
（1）因为2+4=6，所以不能围成一个三角形。
（2）因为2+2<5,所以不能围成一个三角形。
(3)任意两边长度和都大于第三根边，所以可以组成一个三角形。
【自学】自己练一练
【互学】互学方法：看一看，评一评。相互检查答题情况，找出存在问题，交流思考问题。
【展学】
【学生如果有困难，教师要适时介入】
要围成一个三角形，必须满足任意两边长度的和大于第三边。所以第三边的范围应该是在6厘米---30厘米之间。
只有25厘米符合要求。
【自学】自己练一练
【互学】互学方法：看一看，评一评。相互检查答题情况，找出存在问题，交流思考问题。
【展学】熟练运用运算律。
【自学】自己练一练
【互学】互学方法：看一看，评一评。相互检查答题情况，找出存在问题，交流思考问题。
【展学】第三根小棒的长度在5厘米----11厘米之间。
【自学】自己练一练。看懂图意，弄清隐藏条件（三边共长14厘米）。一共有14厘米，两边和大于第三边？
【互学】互学方法：看一看，评一评。相互检查答题情况，找出存在问题，交流思考问题。
【展学】可以用列表的方法整理数据。
6.生活中的数学
【自学】自己练一练。
【互学】互学方法：看一看，评一评。相互检查答题情况，找出存在问题，交流思考问题。
【展学】根据三角形任意两边长度的和大于第三边可以知道小明家到学校的最近的路是中间的一条。
四、拓展学习
1、想一想：
雕花匠师傅想钉一个三角形木架子，他已经找到了3厘米和7厘米长的两根木条。他找的第三根木条长是几厘米，就能组成一个三角形？
2、你知道吗？
为什么生活中许多物体上都有三角形的结构？这是因为三角形具有稳定性，也就是当一个三角形三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变。
PAGE
1《三角形三边的关系》教学设计
【教学内容】
【教学目标】
◆知识与技能：根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高运用数学知识解决实际问题的能力，提高观察、思考、抽象概括能力和动手操作能力。
◆过程与方法：通过动手操作、自主探索、合作交流，发现三角形任意两边之和大于第三边，并能判断给定长度的三条线段是否围成三角形。
◆情感态度与价值观：引导学生积极参与探究活动，在活动中获取成功的体验，产生学习的兴趣。
【教学重、难点】
1.教学重点：理解三角形三边之间的关系，运用三角形三边关系解决实际问题。
2.教学难点：探索发现三角形三边之间的关系。
【教学准备】
1.教具：课件、投影仪。
2.学具：不同长度的小棒。
【教学过程】
一、创设情境
出示课本第82页例3的情境图。
1.这是小明同学上学的路线，请大家仔细观察，他有几条路可以走？哪条路最近？为什么？
2.大家都认为走中间这条路最近，这是什么原因？
（1）请大家看，连接小明家、邮局、学校三地，近似一个什么图形？连接小明家、商店、学校三地，同样也近似一个什么图形？那么，走中间这条路，走过的路程是三角形的一条边。走旁边的路，走过的路程实质上是三角形另两条边的和。根据大家刚才的判断，三角形的两条边之和要比第三条边大。
（设计意图：从生活中寻找数学原型，创设学生熟悉的问题情境，使学生处于强烈的求知状态，也使得对于三角形三边关系的探索内化成学生的一种需要。）
（2）那么，是不是所有三角形的三条边都有这样的关系呢？究竟是不是咱们一起来探究一下。
（设计意图：引导学生在情境化的过程中，通过学生的猜想及进一步的提问，使学生对三边关系由初步的感知发展为对问题进行深入地思考。）
二、学习新知
1.自主探究
（1）每人任意选择三根小棒，摆一摆,看能否围成三角形？
（2）用尺子量一量三根小棒的长度，把任意两根小棒长度相加，与第三根小棒长度比较，把结果记录在表格中。
小棒长度(单位:厘米)
能否围成
比较结果
8
5
4
能
8+5＞4
8+4＞5
5+4＞8
……
……
……
（设计意图：为学生提供了一个开放的、自由的操作平台，使学生在自主探究中发现：利用前面已有经验“选择两根小棒的长度和大于第三根小棒长度就可以摆成三角形”是行不通的，这样的事实推翻了学生头脑中的错误认知，激起了思维矛盾，使学生不得不重新认识三角形三边之间的关系。）
（3）观察上表结果，说一说不能围成三角形的情况有几种？
（4）能围成三角形的三根小棒之间有什么关系？
（设计意图：先引导学生探究不能围成三角形的几种情况，得到结论：不是任意三根小棒都能围成三角形。再探究能围成三角形的三边关系，层次分明，培养学生的认知能力。）
2.小组交流
（1）交流时组长做好分工，准备展示。
（2）提出小组交流要求，指导学生交流方法。
（设计意图：自学后的小组交流，往往流于形式，学生只是将自己的想法跟组内学生说一说，学优生占主导地位，学困生把自己的答案改成和学优生的一致就算统一了组内意见，把自学中的问题掩盖起来，群学展示时几乎都是正确答案，老师如果在学生自学、交流时没有发现问题，没有对学生的错误认识及时引导，练习时所有的问题都会暴露出来。所以教师要对小组交流进行指导，使交流有实效。为了小组交流有实效，我们在交流前，根据学生的自学情况对学生提了四个交流要求：一是如果选的小棒相同，摆的结果相同，不必再验证；二是如果选的小棒相同，摆的结果不同，一定要验证；三是如果选的小棒不同，一定要验证；四是如果验证后仍有不同意见，一定要敢于在展示中说出来。）
三、展示提升
1.展示
（设计意图：小组展示时，组内的四个人都有任务，其中一人说，一人摆，一人写，还有一人作为巡视员，看一看组内完成的情况，发现问题及时提出，说的不完整及时补充。学生在展示（8
8
5）和（3
4
8）时结果都一致，展示（3
5
8）时意见出现了分歧，有的认为这三根小棒能围成三角形，有的认为不能围成三角形。
2.质疑
针对上述分歧我让学生拿出小棒再摆一摆，试试到底能不能围成三角形，并且我也借助课件演示帮助学生观察两边之和等于第三边围不成三角形。
3.小结
（1）不能围成三角形的情况有几种？
生：我们发现两边的和小于（等于）第三边就不能围成三角形。比如3+4＜8，就不能围成三角形。
生：我们发现两边的和等于第三边也不能围成三角形。5+3=8，就不能围成三角形。
（设计意图：有的学生在摆两边之和等于第三边的情况时，不能严格的做到“每相邻两条线段的端点相连”，或者观察不仔细，认为这种情况能围成三角形。教师在展示时借助课件动画帮助学生观察两边之和等于第三边围不成三角形。这个环节给学生充分的争辩时间，点燃学生思维的火）
（2）能围成三角形的三根小棒之间有什么关系？
生：我们发现两条边的和大于第三条边就能围成三角形。如5+4＞8，这样就能围成三角形。
师：谁有不同发现？
生：我们认为必须每两条边相加的和大于第三条边才能围成三角形。比如5+4＞8、8+4＞5、5+8＞4。
学生在动手操作、自主探索、合作交流的过程中逐步归纳出：
“三角形任意两边之和大于第三边”的结论，并加深学生对“任意”二字的理解。
四、反馈矫正
1.你能用三角形三边关系解释小明上学哪条路最近吗?
（设计意图：用新知识解决旧问题。学生带着问题探究，探究出三角形三边关系后，教师及时引导学生用新知识解决旧问题，在解决实际问题中加深对三角形三边关系的理解。）
2.算一算下面哪三根小棒能围成三角形？为什么？
3cm
2cm
3cm
4
cm
2cm
2cm
5
cm
4
cm
6cm
(设计意图：
引导学生分析解题方法，优化解题策略，培养解决问题的能力。)
3.口头练习。（出示卡片：判断能否围成三角形）
（5、
5、
9）
（2、
4、
8）
（7、
7
、7）
（8、14、
6）
（设计意图：运用快捷方法判断，学生体会到了快捷方法的优势）
4.选择。
如果一个三角形的两条边分别长4厘米和7厘米，另一条边可能是（
）厘米。
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
(设计意图：考察学生思维的全面性，培养科学、严谨的品质。)
五、达标测评
1.在能围成三角形的三条线段下面画
“√”.(单位:厘米)
(6
6
6)
(4
7
3)
(4
2
5)
(8
6
8)
(11
8
2)
2.从4根长度分别是3厘米、4厘米、5厘米和7厘米的小棒中，任意取3根小棒摆三角形，你能摆几个不同的三角形？
（设计意图：对本节课所学知识进行检测，培养学生的应用意识和解决问题的能力。）
板书设计：
三角形三边的关系
小棒长度(单位:厘米)
能否围成
比较结果
8
5
4
能
8+5＞4
8+4＞5
5+4＞8
3
5
8
否
3+5=8
5+8＞3
3+8＞5
3
4
8
否
3+4＜8
4+8＞3
3+8＞4
8
8
5
能
8+8＞5
5+8＞8
……
……
……
三角形任意两边之和大于第三边
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