苏科版七年级下册数学课件 9.7小结与思考（23张）

整式乘法
同底数幂的乘法:
aman=am+n
幂的乘方：
(am)n=amn
积的乘方:
(ab)n=anbn
1.单项式乘以单项式：
把它们的系数、同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。
2.单项式乘以多项式：
单项式乘以单项式
m(a+b+c)=ma+mb+mc
3.多项式乘以多项式：
单项式乘以多项式
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
预备知识
am+n=aman
amn=(am)n
anbn=(ab)n
相反变形
难点
转化
转化
(x±y)2=x2±2xy+y2
4.乘法公式：
完全平方公式：
(x+y) (x-y)=x2-y2
平方差公式：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
知识要点
单项式与单项式的乘法法则
（1）先系数相乘，注意符号运算；
（2）相同字母或相同因式的幂相乘（即同底数幂相乘）；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意点
知识要点
单项式乘以多项式的法则
（1）依据是乘法分配律
（2）积的项数与多项式的项数相同.
单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
注意点
a(b+c+d)=ab+ac+ad
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
知识要点
多项式乘以多项式
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
乘法公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a-b)2=a2-2ab+b2
速记口诀：
首平方，尾平方，
乘积2倍放中央，
符号确定看前方.
完全平方公式
两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)
这两数乘积的2倍.
（1）结果为三项式；
（2）结果中有两项是两数的平方和；
（3）结果中的另一项是两数积的2倍，且与左边中间的符号相同;
（4）公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式等代数式.
公式特征
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
(4m+n)2
(a +b)2 = a2 + 2 ab + b2
解: (4m+n)2 =
= 16m2+8mn +n2
(4m)2+2?(4m) ?n+n2
辨一辨
判断下列各式的计算是否正确，

错误的请加以改正：


乘法公式：
(a+b) (a-b) =a2-b2
平方差公式
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式特征
（1）左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）右边：乘式中两项的平方差；
（3）公式中的字母a，b可以表示数，单项式或多项式.
判断下列各式能否用平方差公式，若能请直接说出结果.
（1）(a+b) (-a-b) （4）(a-b) (a+b)
（2）(a+b) (-a+b) （5）(a-b) (-a-b)
（3）(a-b) (a+b) （6）(a-b) (-a+b)
例2：运用平方差公式计算：
(1)（3x+2)(3x-2) (2) (-x+3y)(x+3y)
解：(1) （3x+2)(3x-2)
(a+ b) (a- b) = a2 - b2
=(3x)2-22
= 9x2-4
(2) (-x+3y)(x+3y)
=(3y-x)(3y+x)
= (3y)2-x2
= 9y2-x2
（1）结果一定是积的形式；
（2）每个因式必须是整式；
（3）各因式要分解到不能再分解为止．
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解．
分解因式几个特点
因式分解
2.下列式子从左到右哪个是因式分解,哪个整式乘法？它们有什么关系？
(1). a(x+y)=ax+ay
(2). ax+ay=a(x+y)
整式乘法
因式分解
等式的特征：
左边是 ，右边是 .
多项式
几个整式的乘积
1.下列变形是否是因式分解？
(1) 3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2) x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3) x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4) xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
2.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
例3 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式p
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
因式分解方法：1、提公因式法
确定公因式的方法为三定：定系数；定字母；定指数
3
字母：各项中相同的字母
x
所以公因式是3x
指数：相同字母的最低次幂
1
系数：最大公约数
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
因式分解方法：2、运用公式法
判断正误：
a2和b2的符号如何时可以用平方差公式？
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
√
×
×
×
例4 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
典例精析
=[(x＋p)＋(x＋q)]? [(x＋p)－(x＋q)]
=(2x+p+q)(p-q)
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方（两数的平方和）；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式
简记口诀：首平方，尾平方，首尾2倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
（ a ± b)?
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a?;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
不是
不是
不是
是
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
（ a ± b)?
完全平方式
典例精析
例5 分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2， 9=3?，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(首)?+2·首·尾+(尾)?
(2)-x2+ 4xy-4y2 =
=- (x -2y)2.
= (4x + 3)2；
-(x2-4xy+4y2)
因式分解与整式乘法关系
2、已知：x2+5y2+4xy-6y+9=0，求xy的值.
1、已知：4x2+9y2+4x-6y+2=0，求x、y的值.
1、(a+b)2=(a-b)2+4ab
2、(a-b)2=(a+b)2-4ab
3、a2+b2=(a+b)2-2ab
4、a2+b2=(a-b)2+2ab
1、若(a+b)2=11, (a-b)2=7,求ab的值；
2、若a-b=8,ab=20,则a2+b2为多少？
a+b为多少？