19.3 正方形 同步练习（含解析）
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初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.3 正方形
一、单选题
1.下列说法正确的是（??? ）
A.?有一个角是直角的平行四边形是正方形???????????????B.?对角线互相垂直的矩形是正方形
C.?有一组邻边相等的菱形是正方形?????????????????????????D.?各边都相等的四边形是正方形
2.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点 与点B关于AE对称， 与AE交于点F，连接 ， ， 下列结论： ； 为等腰直角三角形； ； 其中正确的是(?? ) 2·1·c·n·j·y
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
3.如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，图中有（?? ）个等腰直角三角形.
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?16
4.已知正方形MNOK_?????????è?????A_BCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转，……，在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是（?? ） 21·世纪*教育网
A.?1.4????????????????????????????????????????B.?1.1????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.5
5.如图，以正方形 的边 为一边向内作等边 ，连接 ，则 的度数为（?? ）
A.?60°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?75°??????????????????????????????????????D.?67.5°
6.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到 ，那么利用图2所得到的数学等式是（??? ） www-2-1-cnjy-com
A.????????????????????????????????????B.?
C.?????????????D.?2-1-c-n-j-y
7.如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（?? ）． 21*cnjy*com
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
8.已知在四边形ABCD中， ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________． 【出处：21教育名师】
9.正方形的对角线长为2，则正方形的边长为________cm.面积为________cm2. 21教育名师原创作品
10.如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x轴、y轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，旋转后点B对应的点的坐标为________. 21*cnjy*com
11.如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，若CE=3，△ABE的面积为8，则△DBE的周长为________。
12.如图，正_??????ABCD_的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是________cm.
13.如图，正方形ABCD_???è??é?????2???_BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为________．
三、综合题
14.如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 分别在 和 上，求证： ．
15.如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F. 21世纪教育网版权所有
（1）画出旋转后的三角形和点E经过的路径；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的长.
16.已知，如_????????????AB_CD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E ， G ， H分别在矩形ABCD的边AB ， CD ， AD上，AH＝2，连接CF ．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故答案为：B．
2.【答案】 B
解： 点 与点B关于AE对称，
与 关于AE对称，
，
，
故 正确； 如图，连接 .
则 ，
，
.
则 ，
即 为直角三角形.
为 的中位线，
，
∽ ，
，
即 ，
故FB .
.
为等腰直角三角形.
故 正确. 设 度，
度，
则在四边形 中， ，
即 度.
又 ，
.
故 正确. 假设 成立，
则 ，
，
为等边三角形，
故B ，与 矛盾，
故 错误.
故答案为：B.
3.【答案】 C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA ，OA＝OC＝OD＝OB，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.
∴图中等腰直角三角形有：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABC、△ADC、△ABD、△BCD，共8个.
故答案为：C.
4.【答案】 C
解：如图，在这样连续6次旋转过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图形可知点B、M之间的大于2-而小于等于1，
故答案为：C.
5.【答案】 C
解：在正方形 中， ．
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：C．
6.【答案】 B
解：∵正方形的面积=（a+b+c）2 ， 正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：B．
7.【答案】 C
解：连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
二、填空题
8.【答案】 （答案不唯一）
解：四边形ABCD中， ，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个 条件.理由如下：
，
四边形ABCD是矩形，
又 ，
矩形ABCD是正方形．
故答案为： 答案不唯一 .
9.【答案】 ；2
解：如图，正方形ABCD中，对角线AC=2，
由正方形的性质可知△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC， ，
∴ ，S正方形=AB2=2，
故答案为： ；2.
10.【答案】
解：将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，设旋转后点B对应的点为D，连接OB，
四边形ABCO是正方形， ，
， ，
点D在y轴上， ，
点D的坐标为 ，
则旋转后点B对应的点的坐标为
故答案为：
11.【答案】 4 +6
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠C=∠BAD=90°，
∵ △ABE的面积为8，
∴，
∴AB=BC=CD=4，
∴BD=，
∵ CE=3，
∴BE=， DE=1，
∴ △DBE的周长=BD+BE+DE=.
故答案为：
12.【答案】
解：_è???????????????°?_军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，
在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为 .
13.【答案】 2
解：过点E作EM⊥BD于点M ， 如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∴EM＝ DE ，
∵BE平分∠DBC ， EM⊥BD ，
∴EM＝EC ，
设EM＝EC＝x ，
∵CD＝2，
∴DE＝2﹣x ，
∴x＝ （2﹣x），
解得x＝2 ﹣2，
∴EM＝2 ﹣2，
由旋转的性质可知：CF＝CE＝2 ﹣2，
∴BF＝BC+CF＝2+2 ﹣2＝2 ．
故答案为：2 ．
三、综合题
14.【答案】 证明：∵在正方形 中：
， ，
在等边三角形 中： ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°．
15.【答案】 （1）解：旋转后的△ADF如图所示，点E的运动路径如图所示：
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=90°，
∵BE=EC=1，
∴AE= = = ，
∵△EAF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF，
∴EF= AE= .
16.【答案】 （1）解：∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）解：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG= ×FM×GC= ×2×（7-6）=1；
（3）解：设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值为7- ，此时DG= ，
∴当DG= 时，△FCG的面积最小为（7- ）．
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初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.3 正方形
一、单选题
1.下列说法正确的是（??? ）
A.?有一个角是直角的平行四边形是正方形???????????????B.?对角线互相垂直的矩形是正方形
C.?有一组邻边相等的菱形是正方形?????????????????????????D.?各边都相等的四边形是正方形
2.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点 与点B关于AE对称， 与AE交于点F，连接 ， ， 下列结论： ； 为等腰直角三角形； ； 其中正确的是(?? ) 2·1·c·n·j·y
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
3.如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，图中有（?? ）个等腰直角三角形.
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?16
4.已知正方形MNOK_?????????è?????A_BCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转，……，在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是（?? ） 21·世纪*教育网
A.?1.4????????????????????????????????????????B.?1.1????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.5
5.如图，以正方形 的边 为一边向内作等边 ，连接 ，则 的度数为（?? ）
A.?60°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?75°??????????????????????????????????????D.?67.5°
6.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到 ，那么利用图2所得到的数学等式是（??? ） www-2-1-cnjy-com
A.????????????????????????????????????B.?
C.?????????????D.?2-1-c-n-j-y
7.如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（?? ）． 21*cnjy*com
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
8.已知在四边形ABCD中， ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________． 【出处：21教育名师】
9.正方形的对角线长为2，则正方形的边长为________cm.面积为________cm2. 21教育名师原创作品
10.如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x轴、y轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，旋转后点B对应的点的坐标为________. 21*cnjy*com
11.如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，若CE=3，△ABE的面积为8，则△DBE的周长为________。
12.如图，正_??????ABCD_的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是________cm.
13.如图，正方形ABCD_???è??é?????2???_BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为________．
三、综合题
14.如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 分别在 和 上，求证： ．
15.如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F. 21世纪教育网版权所有
（1）画出旋转后的三角形和点E经过的路径；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的长.
16.已知，如_????????????AB_CD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E ， G ， H分别在矩形ABCD的边AB ， CD ， AD上，AH＝2，连接CF ．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故答案为：B．
2.【答案】 B
解： 点 与点B关于AE对称，
与 关于AE对称，
，
，
故 正确； 如图，连接 .
则 ，
，
.
则 ，
即 为直角三角形.
为 的中位线，
，
∽ ，
，
即 ，
故FB .
.
为等腰直角三角形.
故 正确. 设 度，
度，
则在四边形 中， ，
即 度.
又 ，
.
故 正确. 假设 成立，
则 ，
，
为等边三角形，
故B ，与 矛盾，
故 错误.
故答案为：B.
3.【答案】 C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA ，OA＝OC＝OD＝OB，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.
∴图中等腰直角三角形有：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABC、△ADC、△ABD、△BCD，共8个.
故答案为：C.
4.【答案】 C
解：如图，在这样连续6次旋转过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图形可知点B、M之间的大于2-而小于等于1，
故答案为：C.
5.【答案】 C
解：在正方形 中， ．
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：C．
6.【答案】 B
解：∵正方形的面积=（a+b+c）2 ， 正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：B．
7.【答案】 C
解：连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
二、填空题
8.【答案】 （答案不唯一）
解：四边形ABCD中， ，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个 条件.理由如下：
，
四边形ABCD是矩形，
又 ，
矩形ABCD是正方形．
故答案为： 答案不唯一 .
9.【答案】 ；2
解：如图，正方形ABCD中，对角线AC=2，
由正方形的性质可知△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC， ，
∴ ，S正方形=AB2=2，
故答案为： ；2.
10.【答案】
解：将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，设旋转后点B对应的点为D，连接OB，
四边形ABCO是正方形， ，
， ，
点D在y轴上， ，
点D的坐标为 ，
则旋转后点B对应的点的坐标为
故答案为：
11.【答案】 4 +6
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠C=∠BAD=90°，
∵ △ABE的面积为8，
∴，
∴AB=BC=CD=4，
∴BD=，
∵ CE=3，
∴BE=， DE=1，
∴ △DBE的周长=BD+BE+DE=.
故答案为：
12.【答案】
解：_è???????????????°?_军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，
在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为 .
13.【答案】 2
解：过点E作EM⊥BD于点M ， 如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∴EM＝ DE ，
∵BE平分∠DBC ， EM⊥BD ，
∴EM＝EC ，
设EM＝EC＝x ，
∵CD＝2，
∴DE＝2﹣x ，
∴x＝ （2﹣x），
解得x＝2 ﹣2，
∴EM＝2 ﹣2，
由旋转的性质可知：CF＝CE＝2 ﹣2，
∴BF＝BC+CF＝2+2 ﹣2＝2 ．
故答案为：2 ．
三、综合题
14.【答案】 证明：∵在正方形 中：
， ，
在等边三角形 中： ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°．
15.【答案】 （1）解：旋转后的△ADF如图所示，点E的运动路径如图所示：
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=90°，
∵BE=EC=1，
∴AE= = = ，
∵△EAF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF，
∴EF= AE= .
16.【答案】 （1）解：∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）解：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG= ×FM×GC= ×2×（7-6）=1；
（3）解：设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值为7- ，此时DG= ，
∴当DG= 时，△FCG的面积最小为（7- ）．
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