19.2 菱形 同步练习（含解析）
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初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.2 菱形
一、单选题
1.矩形具有而菱形不具有的性质是（?? ?）
A.?对边平行且相等??????????????????B.?对角线垂直??????????????????C.?对角线互相平分??????????????????D.?对角线相等
2.已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（?? ）
A.?当AB⊥BD时，它是菱形?????????????????????????????????????B.?当AC=BD时，它是正方形
C.?当∠ABC=90°时，它是矩形????????????????????????????????D.?当AB=BC时，它是矩形21教育网
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（?? ）
A.?AC⊥BD????????????????????????????B.?BA⊥BD????????????????????????????C.?AB＝CD????????????????????????????D.?AD＝BC
4.如图，正方形 的边长为1， ， 是对角线.将 绕着点 顺时针旋转45°得到 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 .则下列结论：
①四边形 是菱形??? ② ??? ③ ??? ④
其中正确的结论是有（? ）个
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.如图，在菱形ABC_D?????????AB_C＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（?? ） 21·cn·jy·com
A.?30°?????????????????????????????????B.?70°?????????????????????????????????C.?30°或60°?????????????????????????????????D.?40°或70°
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O ， AC=8，BD=6，DE⊥AB于点E ， 则DE的长为（ ???）
A.?4.8?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.?9.6?????????????????????????????????????????D.?10
7.已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（??? ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?1
8.已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是(?? ?)
A.?12cm2????????????????????????????????B.?24cm2????????????????????????????????C.?48cm2????????????????????????????????D.?96cm2
9.如图，菱形ABCD_??????AB=2_，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是(?????? ) 【来源：21·世纪·教育·网】
? ?
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
10.如图，小华剪了两条宽为 的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为 ，则它们重叠部分的面积为（? ） www-2-1-cnjy-com
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为________cm2.
12.菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6 ，则它的面积为________.
13.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是________．
14.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，若 ， ，则 ________． 【出处：21教育名师】
三、综合题
15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH,
求证：四边形EBFC是菱形.
16.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ．
（1）若 ．求菱形 的周长．
（2）若 ．求证：四边形 是矩形．
17.如图1，在菱形 和菱形 中， ，且 ，连接 和 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，将菱形 绕着点A旋转，当菱形 旋转到使点C落在线段 上时（ ），求点F到 的距离． 21教育名师原创作品
18.如图，在△A_BC??????AB_＝AC＝2，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE，CF相交于点D． 21*cnjy*com
?
（1）求证：BE＝CF；
（2）当α＝90°时，求四边形AEDC的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直.
矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等.
故答案为：D.
2.【答案】 C
解：_è§????A????????_AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故A错误；
B、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，故B错误；
C、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D、 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，故D错误.
故答案为：C.
3.【答案】 A
解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：A.
4.【答案】 D
解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
?
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②正确；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=90°+22.5°=112.5°，故③正确；21cnjy.com
∵正方形ABCD的边长为1，
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，BD= ，AD=CD=1.
由旋转的性质可知：∠HGD=BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，
∴HA=BG= -1，∠H=∠EBG=45°，∠HAE=∠BGE=90°，
∴△HAE和△BGE均为直角边为 -1的等腰直角三角形，
∴FG=AE= －1 ，故④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④.
故答案为：D.
5.【答案】 C
解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝ （180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：C.
6.【答案】 A
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO= AC=4，BO= BD=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB= ，
∵DE⊥AB，
∴S菱形= ·BD·AC=AB·DE，
即 ×6×8=5·DE，
解得：DE= =4.8，
故答案为：A．
7.【答案】 C
解：如图，由题意得：菱形ABCD的周长为8， ，
，
是等边三角形，
，
，
该菱形较短的对角线长为 ，
故答案为：C．
8.【答案】 B
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD，
∵ 两条对角线长的比是4：3 ，
∴OA：OD=4：3 ，
设OA=4x，OD=3x，
∵OA2+OB2=AB2 ，
∴16x2+9x2=25，
解得x=1，
∴OA=4，OD=3，
∴AC=8，BD=6，
∴S=AC·BD=×8×6=24（cm2）.
故答案为：B.
9.【答案】 D
解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵AE=BE=AB=1，
∴DE⊥AB，
在Rt△ADE中，DE=，
∴ PE+PB的最小值是.
故答案为：D.
10.【答案】 D
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E；过点D作DF⊥BC，垂足为F. （如图）
根据辅助线作法和纸条宽度的定义可知：∠AED=∠CFD=90°，DE=DF=1，
由纸条的几何特征可知，AD∥BC，AB∥DC，故四边形ABCD为平行四边形，
由题目条件和对顶角关系可知，∠BCD=60°，
∴在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=60°，即∠EAD=∠FCD=60°，
∵在△AED与△CFD中：
，
∴△AED≌△CFD （AAS）
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵在Rt△CFD中，∠FCD=60°，
∴∠FDC=30°，
∴在Rt△CFD中， ，
∴在Rt△CFD中， ，
∴ ，
∵在菱形ABCD中，BC=CD，
∴ ，
∴菱形ABCD的面积为： ，即纸片重叠部分的面积为 .
故答案为：D.
二、填空题
11.【答案】 30
解：菱形的面积等于两对角线的积的一半，则这个菱形的面积是6×10× ＝30cm2.
故答案为：30.
12.【答案】
解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝ ∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∵BD＝6 ，
∴BO＝3 ，
设AO＝x，则AB＝2x，
故x2+（3 ）2＝（2x）2 ，
解得：x＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝6，
∴菱形的面积＝6 ×6÷2＝18 .
故答案为：18 .
13.【答案】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×4=2，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB= ，
∴BD=2OB= ，
∴该菱形的面积是： AC?BD= ×4× = ，
故答案为： .
14.【答案】 2.4
解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵S△OBC＝ ×OC×OB＝ ×BC×OE，
∴OE＝ ＝2.4，
故答案为：2.4．
三、综合题
15.【答案】 证明：∵△ABC为等腰三角形，AH⊥BC，∴H为BC的中点，
又∵FH=EH,∴四边形BECF为平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形BECF为菱形.
16.【答案】 （1）解： 四边形 是菱形，
是等边三角形，
菱形 的周长
（2）证明：
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形
四边形 是矩形
17.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG为菱形
∴GA=EA，OA=BA
∵∠DAB=∠GAE=60°
∴∠GAD+∠DAE=60°
∠DAE+∠EAB=60°
∴∠GAD=∠EAB
∴△GAD≌△EAB（SAS）
∴DG=BE
（2）解：延长FE，AB交于点H
∵AC是菱形ABCD对角线
∴∠CAB= ∠DAB=30°
∵∠GAE=60°且四边形AEGF是菱形
∴GA∥FE
∴∠FEA=180°-60°=120°
∴∠AEH=180°-120°=60°
∵∠EAB=30°
∴∠H=90°
∵AE=4，在Rt△EAH=30°
∴EH=2
∴F到AB的距离为4+2=6
18.【答案】 （1）证明：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF＋∠FAB＝∠BAC＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAC.
在△AEB和△AFC中，
∴△AEB≌△AFC(SAS)，
∴BE＝CF．
（2）解：∵α＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC＝90°.
∵AE＝AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴AC∥BE，
同理可得AE∥CF.
∵AE＝AC，
∴四边形AEDC为菱形．
设AF与BE交于点H.
∵∠EAF＝45°，
∴AH平分∠EAB，
∴AH⊥BE，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH＝AE·sin45° AE＝ ，
∴四边形AEDC的面积为AH·DE＝ ×2＝2 ．
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初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.2 菱形
一、单选题
1.矩形具有而菱形不具有的性质是（?? ?）
A.?对边平行且相等??????????????????B.?对角线垂直??????????????????C.?对角线互相平分??????????????????D.?对角线相等
2.已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（?? ）
A.?当AB⊥BD时，它是菱形?????????????????????????????????????B.?当AC=BD时，它是正方形
C.?当∠ABC=90°时，它是矩形????????????????????????????????D.?当AB=BC时，它是矩形21教育网
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（?? ）
A.?AC⊥BD????????????????????????????B.?BA⊥BD????????????????????????????C.?AB＝CD????????????????????????????D.?AD＝BC
4.如图，正方形 的边长为1， ， 是对角线.将 绕着点 顺时针旋转45°得到 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 .则下列结论：
①四边形 是菱形??? ② ??? ③ ??? ④
其中正确的结论是有（? ）个
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.如图，在菱形ABC_D?????????AB_C＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（?? ） 21·cn·jy·com
A.?30°?????????????????????????????????B.?70°?????????????????????????????????C.?30°或60°?????????????????????????????????D.?40°或70°
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O ， AC=8，BD=6，DE⊥AB于点E ， 则DE的长为（ ???）
A.?4.8?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.?9.6?????????????????????????????????????????D.?10
7.已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（??? ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?1
8.已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是(?? ?)
A.?12cm2????????????????????????????????B.?24cm2????????????????????????????????C.?48cm2????????????????????????????????D.?96cm2
9.如图，菱形ABCD_??????AB=2_，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是(?????? ) 【来源：21·世纪·教育·网】
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A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
10.如图，小华剪了两条宽为 的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为 ，则它们重叠部分的面积为（? ） www-2-1-cnjy-com
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为________cm2.
12.菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6 ，则它的面积为________.
13.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是________．
14.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，若 ， ，则 ________． 【出处：21教育名师】
三、综合题
15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH,
求证：四边形EBFC是菱形.
16.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ．
（1）若 ．求菱形 的周长．
（2）若 ．求证：四边形 是矩形．
17.如图1，在菱形 和菱形 中， ，且 ，连接 和 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，将菱形 绕着点A旋转，当菱形 旋转到使点C落在线段 上时（ ），求点F到 的距离． 21教育名师原创作品
18.如图，在△A_BC??????AB_＝AC＝2，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE，CF相交于点D． 21*cnjy*com
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（1）求证：BE＝CF；
（2）当α＝90°时，求四边形AEDC的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直.
矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等.
故答案为：D.
2.【答案】 C
解：_è§????A????????_AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故A错误；
B、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，故B错误；
C、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D、 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，故D错误.
故答案为：C.
3.【答案】 A
解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：A.
4.【答案】 D
解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
?
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②正确；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=90°+22.5°=112.5°，故③正确；21cnjy.com
∵正方形ABCD的边长为1，
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，BD= ，AD=CD=1.
由旋转的性质可知：∠HGD=BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，
∴HA=BG= -1，∠H=∠EBG=45°，∠HAE=∠BGE=90°，
∴△HAE和△BGE均为直角边为 -1的等腰直角三角形，
∴FG=AE= －1 ，故④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④.
故答案为：D.
5.【答案】 C
解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝ （180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：C.
6.【答案】 A
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO= AC=4，BO= BD=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB= ，
∵DE⊥AB，
∴S菱形= ·BD·AC=AB·DE，
即 ×6×8=5·DE，
解得：DE= =4.8，
故答案为：A．
7.【答案】 C
解：如图，由题意得：菱形ABCD的周长为8， ，
，
是等边三角形，
，
，
该菱形较短的对角线长为 ，
故答案为：C．
8.【答案】 B
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD，
∵ 两条对角线长的比是4：3 ，
∴OA：OD=4：3 ，
设OA=4x，OD=3x，
∵OA2+OB2=AB2 ，
∴16x2+9x2=25，
解得x=1，
∴OA=4，OD=3，
∴AC=8，BD=6，
∴S=AC·BD=×8×6=24（cm2）.
故答案为：B.
9.【答案】 D
解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵AE=BE=AB=1，
∴DE⊥AB，
在Rt△ADE中，DE=，
∴ PE+PB的最小值是.
故答案为：D.
10.【答案】 D
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E；过点D作DF⊥BC，垂足为F. （如图）
根据辅助线作法和纸条宽度的定义可知：∠AED=∠CFD=90°，DE=DF=1，
由纸条的几何特征可知，AD∥BC，AB∥DC，故四边形ABCD为平行四边形，
由题目条件和对顶角关系可知，∠BCD=60°，
∴在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=60°，即∠EAD=∠FCD=60°，
∵在△AED与△CFD中：
，
∴△AED≌△CFD （AAS）
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵在Rt△CFD中，∠FCD=60°，
∴∠FDC=30°，
∴在Rt△CFD中， ，
∴在Rt△CFD中， ，
∴ ，
∵在菱形ABCD中，BC=CD，
∴ ，
∴菱形ABCD的面积为： ，即纸片重叠部分的面积为 .
故答案为：D.
二、填空题
11.【答案】 30
解：菱形的面积等于两对角线的积的一半，则这个菱形的面积是6×10× ＝30cm2.
故答案为：30.
12.【答案】
解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝ ∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∵BD＝6 ，
∴BO＝3 ，
设AO＝x，则AB＝2x，
故x2+（3 ）2＝（2x）2 ，
解得：x＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝6，
∴菱形的面积＝6 ×6÷2＝18 .
故答案为：18 .
13.【答案】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×4=2，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB= ，
∴BD=2OB= ，
∴该菱形的面积是： AC?BD= ×4× = ，
故答案为： .
14.【答案】 2.4
解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵S△OBC＝ ×OC×OB＝ ×BC×OE，
∴OE＝ ＝2.4，
故答案为：2.4．
三、综合题
15.【答案】 证明：∵△ABC为等腰三角形，AH⊥BC，∴H为BC的中点，
又∵FH=EH,∴四边形BECF为平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形BECF为菱形.
16.【答案】 （1）解： 四边形 是菱形，
是等边三角形，
菱形 的周长
（2）证明：
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形
四边形 是矩形
17.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG为菱形
∴GA=EA，OA=BA
∵∠DAB=∠GAE=60°
∴∠GAD+∠DAE=60°
∠DAE+∠EAB=60°
∴∠GAD=∠EAB
∴△GAD≌△EAB（SAS）
∴DG=BE
（2）解：延长FE，AB交于点H
∵AC是菱形ABCD对角线
∴∠CAB= ∠DAB=30°
∵∠GAE=60°且四边形AEGF是菱形
∴GA∥FE
∴∠FEA=180°-60°=120°
∴∠AEH=180°-120°=60°
∵∠EAB=30°
∴∠H=90°
∵AE=4，在Rt△EAH=30°
∴EH=2
∴F到AB的距离为4+2=6
18.【答案】 （1）证明：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF＋∠FAB＝∠BAC＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAC.
在△AEB和△AFC中，
∴△AEB≌△AFC(SAS)，
∴BE＝CF．
（2）解：∵α＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC＝90°.
∵AE＝AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴AC∥BE，
同理可得AE∥CF.
∵AE＝AC，
∴四边形AEDC为菱形．
设AF与BE交于点H.
∵∠EAF＝45°，
∴AH平分∠EAB，
∴AH⊥BE，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH＝AE·sin45° AE＝ ，
∴四边形AEDC的面积为AH·DE＝ ×2＝2 ．
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