湘教版八年级数学下册2.7正方形课件（24张）

(共24张PPT)
正
方
形
平行四边形
菱
形
平行四边形
一个角是直角
矩
形
一组邻边相等
复习
或对角线互相垂直
或对角线相等
观看图形变化过程，说说图形之间的联系
1
图形
边
角
对角线
对称性
平行四边形
矩形
菱形
对边平行
且相等
对边平行且相等
对角相等
四个角
都是直角
对角相等
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形中心对称图形
轴对称图形
中心对称图
形
对边平行四条边都相等
填写平行四边形、矩形和菱形的性质表
2
3
说说矩形和菱形的判定方法：
三个角是直角的四边形是矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的四边形是矩形.
四条边相等的四边形是菱形；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的四边形是菱形.
装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？
图2-57
新课
正方形的四条边都
相等，四个角都是直角.
正方形既是矩形又是菱形.
我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
平行
四边形
有一个角
是直角
一组邻
边相等
正方形
一组邻
边相等
有一个角
是直角
菱形
矩形
图2-58
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
正方形既菱形具有菱形的性质，又具有矩形的性质.因此可得：
正方形每一条对角线平分一组对角。
而且有：
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
如图2-59，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.
求证：DE=DF.
例1
图2-59
2
1
3
B
C
D
A
F
E
分析
由正方形四边相等，四个角相等，可得AD=CD，∠A=∠DCF.由DF⊥DE及∠ADC=90°，证明∠1=∠2，即可证得△ADE≌△CDF，完成证明.
∴
AD
=CD，∠A
=∠DCF=90°.
证明
∵
四边形ABCD为正方形，
∵
DF⊥DE，
∴
∠EDF
=
90°，
即
∠1
+∠3
=
90°.
又
∵
∠2
+∠3
=
90°，
∴
∠1
=∠2.
∴
△AED≌△CFD
（ASA）.
∴
DE
=
DF.
图2-59
2
1
3
B
C
D
A
F
E
观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边形是正方形.
平行
四边形
有一个角
是直角
一组邻
边相等
正方形
一组邻
边相等
有一个角
是直角
菱形
矩形
图2-58
有一组邻边相等且有一个角是直角
可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.
也可以先判定四边形是
菱形，再判定这个菱形有一
个角是直角.
图2-60
如图2-60，
已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=
CC′=DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
例2
分析：①通过证三角形全等得出A′B′=B′C′=C′D′=D′A′，则四边形A′B′C′D′是菱形；
②再证∠2+∠3=90°
得∠D′A′B′=90°完成证明.
证明∵
四边形ABCD为正方形，
∴
AB=BC=CD=DA.
又
∵
AA′=BB′=CC′=DD′，
∴
D′A=A′B
=B′C=C′D.
又
∵
∠A
=∠B
=C=∠D=
90°，
∴
△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴
A′D′=
B′A′=
C′B′=
D′C′.
∴
四边形A′B′C′D′是菱形.
又
∵
∠1
=∠3，
∠1
+∠2
=
90°，
∴
∠2
+∠3
=
90°.
∴
∠D′A′B′=
90°.
∴
四边形是A′B′C′D′正方形.
1.
已知正方形的一条对角线长为4cm，
求它的边长和面积.
答案：边长为
面积为
8
cm2.
练习
提示：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，如图，可用勾股定理求出边长.
A
B
C
D
2.
如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个
矩形一定是正方形吗？为什么？
解析
矩形的对角线互相垂直则为菱形.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.所以一定是正方形.
反思
正方形具有哪些性质？
1
正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质，即：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角.
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
怎样判定一个四边形是正方形？
2
先判定为矩形，再证一组邻边相等.
先判定为矩形，再证对角线互相垂直.
先判定为菱形，再证一个角是直角.
先判定为菱形，再证对角线相等.
先判定为矩形，再判定为正方形；
或先判定为菱形，再判定为正方形.
即：
作业：
习题2.7
1.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△DCE，求∠AEB的度数.
A
B
C
D
E
提示：易知△ADE与△BCE是等腰三角形。求出∠AED和∠BEC的度数，便可求出∠AEB的度数.
A
组
2.如图，将正方形ABCD各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH.
求证：四边形EFGH是正方形.
C
A
B
E
F
G
H
D
提示：证三角形全等得出EF=FG=GH=HE，
∠AEH+∠BEF=90°,
即证得为菱形后再证一个角是直角.
3.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G.
求证：四边形OGCF是正方形.
B
组
A
B
C
D
E
F
O
G
H
提示：先证四边形OGCF是矩形.作OH⊥AB，利用角平分线的性质证得OG=OF，即可完成证明.