湘教版（2012）初中数学九年级下册1.2 二次函数的图象与性质 课件（19张）

(共19张PPT)
义务教育教科书
SHUXUE
九年级上
湖南教育出版社
第一课时
1.2
二次函数的图象与性质
一、温故而知新
O
y
x
图象：一条直线。
性质：当K>0时
y随着x的增大而增大.
当K<0时
y随着x的增大而减小。
图象：双曲线。
性质：
当k>0时
第一,三象限
在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时
第二,四象限
在每一象限内,y随x的增大而增大;
二次函数的图象是什么样子的？
探究
二次函数y=ax2的图象与性质
【画一画】画二次函数
的图象。
解：
（1）列表：在
x
的取值范围内列出函数对应值表：
x
y
…
0
1
2
3
-1
-2
-3
…
0
1
4
9
…
1
4
9
…
（2）描点：在平面直角坐标系中描点，　
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
6
4
2
-2
8
（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=x2的图象.
y
=x
2
【点悟】为了直观、简洁地画出二次函数的图象，一般我们可以取对称的5个点。
【练习】画二次函数y=2x2的图象。
y
=2x
2
【练习】画二次函数y=2x2的图象。
x
y
…
0
1
2
3
-1
-2
-3
…
0
2
8
18
…
2
8
18
…
解：
y
16
8
4
-4
x
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
12
20
【点悟】
1、用描点法所画的图象只是整个图象的一部分，是近似值。
2、在画图时，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析。常见的方法有：三点法、五点法、七点法。
3、也利用对称性画图。
4、画图时注意自变量的取值范围。
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
6
4
2
-2
8
y
=x
2
y
=2x
2
y
16
8
4
-4
x
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
12
20
(1)你能描述图象的形状吗?
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
(3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y
的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
探究
【观察思考】二次函数
的图象有何共同特点？
y=ax2（a>0）
二次函数
y=ax2（a>0）的图象与性质
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
6
4
2
-2
8
y
=x
2
y
=2x
2
y
16
8
4
-4
x
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
12
20
1、二次函数y=ax2
（a>0）的图象形如物体
抛射时所经过的路线,
我们把它叫做抛物线.
2、这条抛物线关于y轴
对称,y轴就是它的对称轴.
3、对称轴与抛物线的交点，
叫做抛物线的顶点.
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
6
4
2
-2
8
y
=x
2
y
=2x
2
y
16
8
4
-4
x
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
12
20
→当x<0
(在对称轴的左侧)时，
y随着x的增大而减小.（简称：左降）
→当x>0
(在对称轴的右侧)时，
y随着x的增大而增大.（简称：右升）
→除顶点外，抛物线y=ax2（a>0）在x轴的上方；
顶点是它的最低点；
开口向上,并且向上无限延伸;
当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
归纳：二次函数
y=ax2（a>0）的图象与性质
1、图象：
抛物线；
2、顶点：
原点（0,0）；
3、对称轴：
y轴（即直线x=0）；
4、位置：
在x轴上方(除顶点外)；
5、开口方向：
向上；
6、增减性：
→当x<0
(在对称轴的左侧)时，
y随着x的增大而减小.（左降）
→当x>0
(在对称轴的右侧)时，
y随着x的增大而增大.（右升）
7、最值：
当x=0时,y最小值=0；
y=x2
y=2x2
y=
x2
1
2
8、开口大小：
当a>0时：a越大,开口越小；
a越小,开口越大.
y
x
y=-x2
y=-2x2
y=-
x2
1
2
探究2
x
…
-2
-1
0
1
2
…
解：
0
-1
-4
…
-1
-4
…
0
-2
-8
…
-2
-8
…
2
1
0
…
…
2
1
-2
-2
【观察思考】
二次函数
的图象有何共同特点？
y=ax2（a<0）
1、图象：
2、顶点：
3、对称轴：
4、位置：
5、开口方向：
6、增减性：
7、最值：
8、开口大小：
归纳：二次函数
y=ax2的图象与性质
开口大小
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2
(a>0)
y=
ax2
(a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(
除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.
越小,开口越大.
越大,开口越小.
小试牛刀
→知道就做别客气
驶向胜利的彼岸
(1)抛物线y=3x2的顶点坐标是
,对称轴是
,在
侧,y随着x的增大而增大；在
侧,y随着x的增大而减小,当x=
时,函数y的值最小,最小值是
,抛物线y=3x2在x轴的
方(除顶点外).
1、填空:
(0,0)
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
(2)抛物线
的图象在x轴的
方(除
外),在对称轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,当x
0时,y<0.
下
增大而增大
增大而减小
0
顶点
≠
2、如图所示，正方形的面积y与边长x之间的函数关系的大致图象是（
）
D
3、关于y=-3x2描叙正确的是（
）
A.图象在y轴的左侧逐渐下降，
B.图象的最低点是（0,0），
C.x1>x2>0，则y2>y1
D.它的图象一定分布在第一、二象限及原点。
C
例题精讲
【例1】已知函数
是关于x的二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大；
(1)求函数解析式；
(2)写出这个函数的对称轴和顶点坐标。
②
①
解①：
解②：
已知函数
是关于x的二次函数，
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
对应练习
y
x
O
A
B
例题精讲
【例2】已知抛物线y=4x2与直线y=3x+1的相交于A、B两点，
（1）求这两个交点坐标.
（2）求两交点与原点组成的三角形面积．　　　
C
(0,1)
答：所求两交点与原点组成的三角形面积为5/8．　　　
对应练习
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，-
4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得：
4a=-8,
a=
-2,
所以：所求函数解析式为y=
-2x2.
（2）因为当x=-1时，y=-2
。
所以：点B（-1
，-4）不在此抛物线上.
-2x2=-6
,
x2=3,
解得：
（3）把y=-6代入y=-2x2,得：
所以：纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
对应练习
2
2、二次函数
在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m的值为
。
m=－1
3、对于函数
下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称。其中正确的是
。
④
第一、三、四象限
5、函数
与
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
B
提高练习
x
y
0
-1.5
3
B
x
y
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？
思考
作业推荐
1、已知y
=(m+1)x
是二次函数且其图象开口向下.
（1）求m的值和函数解析式。
（2）x在何范围内，y随x的增大而增大?
y随x的增大而减小?
x
y
o
2、已知：函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：
(1)a与b的值；
(2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和
对称轴；
(3)x取何值时，二次函数y=ax2的
y随x增大而增大？
(4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形的面积。
O
x
y
A
B
y=-2
下课了!
只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.
结束寄语