一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合,若,则集合B可以是( )
A. B. C. D.
2.若,A点的坐标为,则B点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
4.已知向量满足,,,则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在中,内角、、所对的边分别为、、,若,则的形状一定为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
6.在中,,则( )
A. B. C. D.
7.如图所示,为了测量河对岸的塔高,选取与塔底在同一水平面内的两个测点和,测得米,在点和点测得塔顶的仰角分别是和,且,求塔高( )
A.200 B. C. D.300
8.在中,角,,所对的边分别为,,,则下列命题中正确命题的个数为( )
①若,则;
②若,则为钝角三角形;
③若,则.
A.1 B.2 C.3 D.0
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 下列给出的函数是奇函数的是( )
A. B. C. D.
10.在中,下列命题正确的是( )
A.
B.
C.若,则为等腰三角形
D.若,则为锐角三角形.
11. 在中,角,,所对的边分别为,,,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 有下列说法其中正确的说法为( )
A.若,,则:
B.若,,分别表示,的面积,则;
C.两个非零向量,,若,则与共线且反向;
D.若,则存在唯一实数使得
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.第15题第一空2分,第二空3分
13. 已知向量,,若,则______.
14. 已知关于的不等式的解集为,则实数的值为______.
15. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:)可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数,当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是_______;一条鱼静止时耗氧量的单位数为________.
16. 如图,在中,,,点为边上的一动点,则的最小值为
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. (本小题满分10分)
已知命题:实数满足(其中),命题:实数满足
(1)若,且与都为真命题,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围
18.(本小题满分12分)
已知,,其中、分别是轴、轴正方向同向单位向量.
(1)若⊥,求的值;
(2)若,求的值;
(3)若与的夹角为锐角,求的取值范围
19. (本小题满分12分)
设三角形的内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,且三角形是锐角三角形,求的值
20. (本小题满分12分)
设.
(1)求的最大值及取到最值时的取值集合;
(2)求的单调区间;
(3)若锐角满足,求的值
21. (本小题满分12分)
在锐角中,角,,所对的边分别为,,,已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若边上的中线,,求的面积
22. (本小题满分12分)已知函数
(1)当时,求满足方程的的值;
(2)若函数是定义在R上的奇函数.
①若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围;
②已知函数满足,若对任意且,不等式恒成立,求实数的最大值
高一数学试题参考答案(仅供参考)
1.已知集合,若,则集合B可以是( A )
A. B. C. D.
2.若,A点的坐标为,则B点的坐标为( A )
A. B. C. D.
3.“”是“”的(A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
4.已知向量满足,,,则向量的夹角为( C )
A. B. C. D.
5.在中,内角、、所对的边分别为、、,若,则的形状一定为( B )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
6.在中,,则( A )
A. B. C. D.
7.如图所示,为了测量河对岸的塔高,选取与塔底在同一水平面内的两个测点和,测得米,在点和点测得塔顶的仰角分别是和,且,求塔高( A )
A.200 B. C. D.300
8.在中,角,,所对的边分别为,,,则下列命题中正确命题的个数为( C )
①若,则;
②若,则为钝角三角形;
③若,则.
A.1 B.2 C.3 D.0
9. 下列给出的函数是奇函数的是( ABD )
A. B. C. D.
10.在中,下列命题正确的是(BC )
A.
B.
C.若,则为等腰三角形
D.若,则为锐角三角形.
11. 在中,角,,所对的边分别为,,,下列结论正确的是( ABC )
A. B.
C. D.
12. 有下列说法其中正确的说法为( BC )
A.若,,则:
B.若,,分别表示,的面积,则;
C.两个非零向量,,若,则与共线且反向;
D.若,则存在唯一实数使得
13. 已知向量,,若,则___-2___.
14. 已知关于的不等式的解集为,则实数的值为____1__.
15. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:)可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数,当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是_______;一条鱼静止时耗氧量的单位数为_____100___.
16. 如图,在中,,,点为边上的一动点,则的最小值为
17. 已知命题:实数满足(其中),命题:实数满足
(1)若,且与都为真命题,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围
解:记命题:,命题:
(1)当时,,,
与均为真命题,则,
的取值范围是.………………………………………………………………5分
(2),,
是的必要不充分条件,集合,
,解得,
综上所述,的取值范围是. ……………………………………………10分
18. 已知,,其中、分别是轴、轴正方向同向单位向量.
(1)若⊥,求的值;
(2)若,求的值;
(3)若与的夹角为锐角,求的取值范围
解:由条件,,其中、分别是轴、轴正方向同向单位向量.
即 …………………………2分
(1) 若⊥,即,则
则.…………………………………………………………………………………5分
(2) ,
由,
解得:.……………………………………………………………………………8分
(3) 与的夹角为锐角,则,且与不同向,
,解得: , …………………………………………11分
由,则当时,与同向.
综上,当时,与的夹角为锐角…………………………12分
19. 设三角形的内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,且三角形是锐角三角形,求的值
解:由,根据正弦定理得,
所以,得或.……………………………………………6分
(2)根据余弦定理,,
解得或,
又为锐角三角形,可得,
即,,
所以(舍去), 即.………………………………………………………12分
20. 设.
(1)求的最大值及取到最值时的取值集合;
(2)求的单调区间;
(3)若锐角满足,求的值.
解:(1)由题意,可得当且仅当,,即,时,
取到最大值为;
此时的集合为;………………………………………4分
(2)由得;
由得;
所以的单调增区间为,,
减区间为,;………………………………………8分
(3)由题意,可得,
∴,
∴,
∴,
∴…………………………………………………………12分
21. 在锐角中,角,,所对的边分别为,,,已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若边上的中线,,求的面积.
解:(1)因为,,
所以,因为,
所以,因为,
所以,
所以………………………………………………………6分
(2)因为是边上的中线,所以,
所以,
所以,因为
所以,
所以…………………………………12分
22. 已知函数
(1)当时,求满足方程的的值;
(2)若函数是定义在R上的奇函数.
①若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围;
②已知函数满足,若对任意且,不等式恒成立,求实数的最大值
解:(1)因为,,所以,
化简得,解得(舍)或,
所以.…………………………………………………………………………………2分
(2)因为是奇函数,
所以,所以
化简变形得:
要使上式对任意恒成立,则且
解得:或,因为的定义域是,所以舍去
所以,,所以.……………………………………………4分
①,
对任意,,且有:,
因为,所以,所以,
因此在上单调递增,
因为,当时成立,所以,当时成立,
即,当时成立,
当时,,所以.………………………………………8分
②因为,所以,
所以,
不等式恒成立,即,
令,因为且,
所以,即,
所以,当时恒成立,即,当时恒成立,
因为,,当且仅当时,等号成立,
所以,即实数的最大值为………………………………………12分