18.2.1矩形的判定 课件（22张)

两组对边分别相等的四边形是平行四边形
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18.1.2 矩形的判定（2）
人教 版八年级数学下册

假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框是矩形？（直角尺等）
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
矩形的判断方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
┐
∵四边形ABCD是平行
四边形，且∠B=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言

你还有其它的方法吗？
可以类比探究判定平行四边形的方法来探究判定矩形

有三个角是直角的四边形是矩形
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:
求证:
如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
D
B
C
A
┐
┐
┐
四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形

矩形的判断方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
┐
┐
┐
几何语言


对角线相等的平行四边形是矩形
问题3 我们知道矩形的对角线相等，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形.
成立
猜测：对角线相等的平行四边形是矩形.
推动平行四边形，在其形状变化的过程中，在某一时刻，当对角线的长度相等，这时的平行四边形就是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:
求证:
四边形ABCD是矩形.
证明：
如图,在 ABCD中，AC=BD.
D
B
C
A
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC
∴ 在 △ABC和△DCB中
AB=DC
AC=DB
BC=CB
∴ △ABC≌△DCB（SSS）
∴ ∠ABC=∠DCB
又∵ AB∥DC


∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=90°
∴ 四边形ABCD是矩形。


矩形的判断方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵四边形ABCD是平行
四边形，且AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
D
B
C
A
O
几何语言

你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）
有三个角是直角的四边形是矩形
方法1：
方法2：
方法3：

例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
M
∵四边形 ABCD是平行四边形
∴ AB=DC
又∵ AC=DB，
∴ △ABM≌ △DCM（SSS）
∴ ∠BAM=∠CDM
∵ AD//BC
∴ ∠BAM+∠CDM=180°
∴ ∠BAM=∠CDM=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
证明：∵ M为AD的中点,
∴AM=DM


3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， AD∥BC，AD=BC，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：∵ AD=CB AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB⊥BC
∴∠B=90°
∴ □ ABCD是矩形
A
B
C
D
∟

4、如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，
求证 : 四边形ABCD是矩形。
D
B
C
A
证明：
∵AB=6,BC=8,AC=10
∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2
∴ ∠B=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形

5、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，
求证：四边形AEBD是矩形。
证明：∵ AE⊥BE，AD⊥BD
∴ ∠E=90°, ∠D=90°
∵ BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线
∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ABP
∴ □ AEBD是矩形
C
B
A
D
E
P
∟
∟
⌒
⌒
1
2
∴ ∠1+∠2= (∠ABC+∠ABP)= ×180°=90°
即∠DBE=90°

A
O
B
D
C
6、已知如图四边形ABCD中
AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：
∵ AO=BO=CO=DO
∴AO=CO，BO=DO
∴四边形EFGH是平行四边形
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
又∵AO+CO=BO+DO


A
B
C
D
E
F
G
H
O
7、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。
求证：四边形EFGH是矩形。
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形

A
B
D
C
H
E
F
G
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠DAB+∠ABC=180 °
8、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由
证明：
同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°
∴四边形EFGH是矩形
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 °
即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°

A
B
D
C
H
E
F
G
8、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由
证明：
M
P
N
Q
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线
∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM
又∵AD∥BC ∴ ∠ AQB ∠ QBC= = ∠ ADM
∴BQ∥DM
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 °
即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形
同理：AN∥CP ∴四边形EFGH是平行四边形

4、如图所示BD、BE分别是∠ABC与它的
邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，
求证：四边形AEBD是矩形。
C
B
A
D
E
P
∟
∟
(
1
(
2
)
4
)
3

如图,△ABC中,点O是AC边上一个动点,过点O作直线a∥BC,设a交∠ACB的平分线于点E, 交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:EO＝FO;
(2)当点O运动到何处时,
四边形AECF是矩形.
A
B
C
D
O
E
F
a

矩形的判定方法方法：
一个
直角
对角线相等
三个
直角
矩形
平行四边形
四边形