2020-2021学年北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线章末易错题型优生辅导（Word版，附答案解析）

2021年度北师大版七年级数学下册第2章相交线与平行线章末易错题型优生辅导（附答案）
1．平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　）
A．24条
B．21条
C．33条
D．36条
2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）
A．平行
B．垂直
C．共线
D．平行或共线
3．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　）
A．向右拐85°，再向右拐95°
B．向右拐85°，再向左拐85°
C．向右拐85°，再向右拐85°
D．向右拐85°，再向左拐95°
4．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（　　）
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
5．观察下面的图形，并阅读图形下面的相关文字：
像这样，12条直线相交，最多交点的个数是（　　）
A．50个
B．55个
C．65个
D．66个
6．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7．如图所示，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线交直线CD于点H，∠AEF和∠CGF的平分线EM和GM相交于点M，若∠BEF＝130°，∠FHG＝15°，则∠M的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．50°
D．45°
8．如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝（　　）
A．149°
B．149.5°
C．150°
D．150.5°
9．如图，AB∥CD，∠CGF＝35°，∠AHF＝60°，则∠F的度数为　
　．
10．如图AB∥CD，CE交AB于点A，AD⊥AC于点A，若∠1＝48°，则∠2＝　
　度．
11．如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有　
　个．
12．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板如图放置，若∠2＝44°，则∠1为　
　．
13．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，若∠1＝50°，则∠BCD的度数为　
　°．
14．已知角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的3倍少30度，则α＝　
　．
15．∠A与∠B的两边互相垂直，且∠A＝∠B，则∠A＝　
　．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D为AB上一点，过点D作DE∥AC，若CD平分∠ADE，则∠BCD的度数为　
　°．
17．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是　
　．
18．已知一个角为50°，另一个角的两边分别与该角的两边互相平行，则另一个角的大小为　
　．
19．如图，直线
l1∥l2，∠1＝40°，则∠2+∠3＝　
　°．
20．如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，则∠B的度数是　
　．
21．如图，AB∥CD，AE⊥CE，∠C＝44°，则∠1的度数等于　
　．
22．如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．
23．已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°．
求证：AD∥EF．
24．如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB＝90°，且∠DAB＝∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．
（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA＝　
　．
（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD＝α．
①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．
②问∠DBA的大小是否发生改变？若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由．
（3）若将题目条件“∠ACB＝90°”，改为：“∠ACB＝β”，其它条件不变，那么∠DBA＝　
　．（直接写出结果，不必证明）
25．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D．
（2）如图b，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B﹣∠D；
（3）根据图c，试判断∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由．
26．如图，DE∥BC，CD平分∠BCA，∠2＝30°．
（1）求∠1的度数；
（2）求∠DEA的度数．
27．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．
（1）求证：BE⊥DE；
（2）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD交CD于点I，请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由．
28．如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：∠2＝∠1．
29．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°．
（1）求∠FEC的度数；
（2）若∠BAC＝3∠B，求证：AB⊥AC；
（3）当∠DAB＝　
　度时，∠BAC＝∠AEC．（请直接填出结果，不用证明）
30．已知：如图1，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：∠A＝∠EDF．
（2）点G是线段AC上的一点，连接FG，DG．
①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系，并证明．
②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系．
参考答案
1．解：AE上共有不重合的线段4条，
AM上共有不重合的线段4条，
BM上共有不重合的线段3条，
CL上共有不重合的线段3条，
DK上共有不重合的线段3条，
EF上共有不重合的线段4条．
共计21条．
故选：B．
2．解：如图所示：
不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．
故选：D．
3．解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：A．
4．解：∵DE∥BC，
∴∠EBC＝∠DEB、∠AED＝∠ACB、∠ADE＝∠ABC；
∵BE∥DF，
∴∠DFE＝∠BEC、∠FDE＝∠DEB、∠ADF＝∠ABE、∠AFD＝∠AEB；
∴∠FDE＝∠EBC；
共8对，
故选：D．
5．解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，
而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴n条直线相交最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，
∴当n＝12时，n（n﹣1）＝×12×11＝66．
故选：D．
6．解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个．
故选：C．
7．解：如图，过F作FP∥AB，过M作MQ∥AB，则PF∥CD，MQ∥CD，
∵∠BEF＝130°，∠FHG＝15°，
∴∠EFP＝50°，∠PFH＝15°，
∴∠EFH＝65°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH＝65°，
∴∠FGH＝100°，
∴∠FGC＝80°，
又∵∠AEF＝180°﹣130°＝50°，ME平分∠AEF，MG平分∠FGC，
∴∠AEM＝25°，∠CGM＝40°，
∴∠EMQ＝25°，∠GMQ＝40°，
∴∠EMG＝65°，
故选：A．
8．解：如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；
又∵∠BED＝61°，
∴∠ABE+∠CDE＝299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF＝（∠ABE+∠CDE）＝149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD＝360°﹣149.5°﹣61°＝149.5°．
故选：B．
9．解：∵AB∥CD，∠AHF＝60°，
∴∠HEG＝∠AHF＝60°，
∵∠HEF是△EFG的外角，
∴∠F＝∠HEG﹣∠CGF＝60°﹣35°＝25°．
故答案为：25°．
10．解：∵AB∥CD，∠1＝48°，
∴∠C＝∠1＝48°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠C＝90°﹣48°＝42°．
故答案为；42．
11．解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；
∵BC∥AD，
∴∠GAE＝∠GCF；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠GAB＝∠GAE；
∵∠AGE＝∠CGF．
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA＝∠CGF＝∠GAE＝∠GCF．
∴图中与∠AGE相等的角有5个．
12．解：过点B作BD∥a，如图所示：
∵BD∥a，
∴∠2＝∠CBD，
又∵∠2＝44°，
∴∠CBD＝44°，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ABC＝60°，
∴∠DBA＝60°﹣44°＝16°，
又∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠DBA＝∠3，
∴∠3＝16°，
又∵∠1＝∠3，
∴∠1＝16°，
故答案为16°．
13．解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠ABC＝50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°．
∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+50°＝90°．
∴∠BCD＝40°．
故答案为：40．
14．解：如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，
过C作CF∥AB，则
，
解得α＝60°；
如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，
过C作CF∥AB，则
，
解得α＝150°；
综上所述，α的度数为60°或150°．
故答案为：60°或150°．
15．解：如图，∠A+∠B＝360°﹣90°×2＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠A，
∴∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝72°，
故答案为：72°．
16．解：∵DE∥AC，CD平分∠ADE，
∴∠ACD＝∠CDE＝∠CDA，
∴AD＝AC，
又∵∠A＝50°，
∴∠ACD＝65°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
17．解：∵CD∥EF，
∠C＝∠CFE＝25°，
∵FC平分∠AFE，
∴∠AFE＝2∠CFE＝50°，
又∵AB∥EF，
∴∠A＝∠AFE＝50°，
故答案为：50°．
18．解：∵一个角的两边分别平行另一个角的两边，
∴这两个角相等或互补，
∵一个角为40°，
∴另一个角的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
19．解：如图，过C作CD∥l1，则CD∥l1∥l2，
∴∠1＝∠ACD＝40°，∠3+∠BCD＝180°，
∴∠3+∠ACB＝40°+180°＝220°，
故答案为：220．
20．解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝×∠ACD＝×100°＝50°，
∵FG∥CE，
∴∠AFG＝∠ACE＝50°，
在△AFG中，∠BAC＝∠AFG+∠AGF＝50°+20°＝70°，
又∵∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
故答案为：30°．
21．解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，
∵∠C＝44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，
∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°．
故答案为：134°．
22．解：数量关系：∠BMD＝2∠BND，
证明：如图，过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ME∥CD，NF∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
∴∠ABM＝∠BME，∠CDM＝∠DME（两直线平行，内错角相等），
∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝∠ABM+∠CDM．
同理可得：∠BND＝∠ABN+∠CDN．
∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，
∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN（角平分线定义）
∴∠BMD＝2∠BND．
23．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ABE＝∠DBC，
又∵∠3＝∠ABE，
∴∠3＝∠DBC，
∴EF∥BC，
∵∠ADC+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴AD∥EF．
24．解：（1）∵EF∥GH，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DAB＝∠BAC，
∴∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∵BD平分∠FBC，
∴∠DBC＝×180°＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣45°＝45°；
（2）如图，
①∵EF∥GH，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2＝α，
∴∠1＝∠3＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠1﹣∠3＝90°﹣2α，
∠PBC＝（180°﹣∠EBC）＝45°+α；
②设∠DAB＝∠BAC＝x，即∠1＝∠2＝x，
∵EF∥GH，
∴∠2＝∠3，
在△ABC内，∠4＝180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3＝180°﹣∠ACB﹣2x，
∵直线BD平分∠FBC，
∴∠5＝（180°﹣∠4）＝（180°﹣180°+∠ACB+2x）＝∠ACB+x，
∴∠DBA＝180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，
＝180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），
＝180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，＝∠ACB，＝×90°，＝45°；
（3）由（2）可知，
设∠DAB＝∠BAC＝x，即∠1＝∠2＝x，
∵EF∥GH，
∴∠2＝∠3，
在△ABC内，∠4＝180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3＝180°﹣∠ACB﹣2x，
∵直线BD平分∠FBC，
∴∠5＝（180°﹣∠4）＝（180°﹣180°+∠ACB+2x）＝∠ACB+x，
∴∠DBA＝180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，
＝180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），
＝180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，＝∠ACB，
∠ACB＝β时，
∠DBA＝β．
25．解：（1）过点P作PE∥AB，如图1所示．
∵AB∥PE，AB∥CD，（已知）
∴AB∥PE∥CD．（在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D．（等量代换）
（2）过点P作PE∥CD，如图2所示．
∵PE∥CD，（辅助线）
∴∠BOD＝∠BPE，（两直线平行，同位角相等）；∠D＝∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∴∠BPE＝∠BPD+∠DPE＝∠BPD+∠D，（等量代换）
即∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换）
（3）数量关系：∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D．
理由如下：
过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，如图3所示．
则BF∥PE∥CD，
∴∠FBA+∠BQD＝180°，∠FBP+∠BPE＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∠D＝∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∵∠FBA＝∠FBP+∠B，
∴∠BPE＝∠BQD+∠B，
∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝∠BQD+∠B+∠D．（等量代换）
26．解：（1）∵DE∥BC，
∴∠2＝∠BCD＝30°，
又∵CD平分∠BCA，
∴∠1＝∠BCD＝30°；
（2）∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠DEA＝∠2+∠1＝30°+30°＝60°．
27．解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2＝∠4
∵EF∥AB
∴∠3＝∠1
∵AB∥CD
∴∠ABD+∠CDB＝180°
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠3＝∠ABD，∠4＝∠CDB
∴∠3+∠4＝∠ABD+∠CDB＝90°
∴∠1+∠2＝90°
∴BE⊥DE
（2）∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°﹣2∠EBI．
理由：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠EBD，
∵BI平分∠HBD，
∴∠HBD＝2∠IBD，
如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD﹣∠HBD，
∠EBI＝∠EBD﹣∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD＝∠ABH，
∴∠BHD＝2∠EBI；
如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD+∠HBD，
∠EBI＝∠EBD+∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD＝180°﹣∠ABH，
∴∠BHD＝180°﹣2∠EBI，
综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°﹣2∠EBI．
28．证明：∵DF∥AC，
∴∠C＝∠CEF，
又∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠3＝∠4，
又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，
∴∠2＝∠1．
29．解：（1）∵CE平分∠BCF，
∴设∠BCE＝∠ECF＝∠BCF＝x．
∵∠DAC＝3∠BCF，
∴∠DAC＝6x．
∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ACB＝180°，
∴6x+2x+20°＝180°，
∴x＝20°，即∠BCE＝20°，
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC＝20°；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠B，
又∵∠BAC＝3∠B，
∴∠DAC＝4∠B，
由（1）可得∠BCA＝20°×3＝60°，
∴∠DAC＝4∠B＝120°，
∴∠B＝30°，
∴∠BAC＝30°×3＝90°，
∴AB⊥AC．
（3）由（1）知∠BCE＝20°，
∴∠BCF＝40°．
∴∠DAC＝3×40°＝120°，
∵AD∥BC，
∴可设∠BAD＝∠B＝α，
∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝α+20°，∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝120°﹣α，
∴当∠BAC＝∠AEC时，α+20°＝120°﹣α，
解得α＝50°，
∴∠DAB＝50°．
故答案为：50．
30．解：（1）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDF+∠AFD＝180°，∠A+∠AFD＝180°，
∴∠EDF＝∠A；
（2）①∠AFG+∠EDG＝∠DGF．
如图2所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥DE，
∴GH∥DE，
∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，
∴∠AFG+∠EDG＝∠FGH+∠DGH＝∠DGF；
②∠AFG﹣∠EDG＝∠DGF．
如图所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥DE，
∴GH∥DE，
∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，
∴∠AFG﹣∠EDG＝∠FGH﹣∠DGH＝∠DGF．