综合与实践：打电话
年级：
五年级
教材版本：人教版
一、教学背景简述
《打电话》是人教版《数学》五年级下册“综合与实践”的内容。本节课是学生在四年级解决沏茶问题、烙饼问题的基础上又一次运用优化思想解决实际问题的内容。对于打电话，学生积累了丰富的生活经验，但对于“打电话通知多人，如何通知用时最少”这一问题，却是一个未知、全新的挑战。在探索中，学生有陷入思维误区的迷惘、最优方案的纠结、思维定式的干扰，教师要在解题方向、思维误区、思维转换和蜕变提升处适时点拨。学生在经历图示数学化的过程中，最终能够发现规律、建构模型。在设计最优方案的过程中，学生能够运用所学的知识和方法解决问题，通过不断的调整设计，积累了丰富的数学经验，体会数形结合、推理、优化、模型等数学思想，提高解决问题的能力。
学习目标
1.通过有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动，最终找到“打电话”的最优方案。
2.通过画图、列表格等方式发现事物隐含的规律，提高推理能力和解决实际问题的能力。
3.在实践活动中，培养乐于探究的学习态度，体会数学与生活的密切联系以及优化在生活中的应用。
三、教学过程
（一）情境问题
2020年新型冠状病毒肺炎牵动着每个人的心，也牵动着每一个教育工作者关心学生的心！作为学生，你所在的班级，可能是以微信、小程序等方式传达消息。科技的发展让我们节省了大量的时间，如果以打电话的方式去通知事情呢？
有一个紧急通知，要求老师尽快通知511名学生收看《空中课堂》。如果以打电话的方式去通知，每分钟通知1个人。打电话的过程中不涉及不接电话等一些特殊问题。
1.请你帮助老师设计一个打电话的方案
2.在解决问题的过程中，你遇到了什么困难？有什么想法吗？数太大不便于研究，怎么办？
（二）自主探究
1.化繁为简
把大数转化成比较小的数，通过小一点的数找到规律，再由此推断出大数。下面我们把数据缩小一些，先研究下通知7名学生的方案。看一看，哪些数学信息值得我们重视？自主整理数学信息。
请你用自己喜欢的方式表示出打电话通知7名学生的过程。在解决问题的过程中，你能想到什么办法？
2.方案展示
（1）逐一通知
这种方法怎么样？太麻烦。
（2）分组通知
①是不是分的组越多用的时间越少？请举例验证。
②分组多并不能有效节省时间，什么才是节省时间的关键？（同时打，不闲着）
3.优化方案
如何才能让更多人参与通知？请同学们重新调整方案。
分享学生方案。（简笔画、文字编码、示意图等形式）
你更喜欢哪个方案？大家共同探讨。示意图的画法简单，结构清晰，逻辑性强，便于理解。
4.深化研究
（1）再往后通知1分钟，怎么画呢？同学们，请你试着画一画。
（2）分享同学作品。
（3）这样画下去终究不是办法。想一想这种方案蕴含着什么规律呢？在刚才的画图中，你有什么发现吗？
5.探寻规律
（1）分享同学想法
①你发现了什么？
②知道消息的总人数怎么计算？为什么是乘以2的关系？
（2）借助统计表，进一步探寻规律
时间（分）
1
2
3
4
5
6
7
…
知道消息的总人数
2
4
8
16
32
64
128
…
接到通知的总人数
1
3
7
15
31
63
127
…
①根据发现的规律，补充表格
②接到通知的总人数又怎么计算？接到通知的总人数比知道消息的总人数少1。
③通过数据仔细观察，知道消息的总人数与2之间有什么关系呢？你有什么发现？通知几分钟，知道消息的总人数就是几个2相乘。第n分钟呢？第n分钟知道通知的总人数是n个2相乘。
（三）巩固应用
1.前提条件不变，如果要通知187名学生，需要几分钟？共同探讨，需要7分多钟，还是8分钟。
2.回到最初问题，要通知511名学生，需要几分钟？
3.在生活中，有好多这样的问题，需要我们通过设计，得到最优方案。在打电话通知时，我们还要注意些什么呢？在实际打电话的过程中，要注意事先画好电话通知的示意图，确定谁通知谁，每个人都要严格按照指定的方案执行，才能避免重复遗漏，达到节省时间的目的。
（四）课堂总结
这节课我们研究了“打电话”中的实际问题。你有什么收获？华罗庚爷爷是最早在我国提出“优选法”理论的著名数学家。希望同学们向华罗庚爷爷学习，不断探索，收获更多的知识与智慧。
（五）布置作业
有一棵奇妙的树，原来只有一个树枝，第一年长出一个新枝，第二年每个树枝又长出一个新枝，第三年每个树枝又都分别长出一个新枝，照这样计算，第四年这棵树上一共有几个树枝？可以用图表示出来。(共43张PPT)
打电话
五年级
数学
紧急通知：
要求老师尽快通知全年级511名学生收看《空中课堂》。
如果以打电话的方式去通知，每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
511，这个数太大了！
不好研究，这可怎么办？
小明
紧急通知：
要求老师尽快通知全年级511名学生收看《空中课堂》。
如果以打电话的方式去通知，每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
从简单处入手研究，找到规律。
小凡
繁
简
你想把511换成多少
开展研究？
我们小组有7人，
就从7人入手研究吧。
小芳
紧急通知：
要求老师尽快通知
7
名学生收看《空中课堂》。
如果以打电话的方式去通知，每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
提取信息
要通知的人数：
7人
通知的方式及用时：打电话
每分钟通知1个人
对于通知的要求：
最少时间
紧急通知：
要求老师尽快通知
7
名学生收看《空中课堂》。
如果以打电话的方式去通知，每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
活动要求
用简洁、明了的方式表示出打电话通知7个人的过程。
我是一个一个地通
知,要用7分钟。
小兰
如果通知的人多，这
样的方案费时费力！
小明
老师
组长2
组长1
生2
生1
生3
生4
生5
5分钟。
小芳
分组通知比一个一个通知节省时间。
是不是分的组越多用的时间越少？
小兰
请你举例验证，看看你的猜想是否成立。
分成2组用5分钟，分成3组
还是用5分钟。所以分组变
多并不能让时间变少。
小兰
5分钟
分成2组用5分钟，
分成5组却用6分钟，
时间反而变多了。
猜想不成立。
小林
6分钟
假如分成7组，不是还要7分钟吗？
小明
分组变多并不能有效地帮助我们节省时间。
小凡
什么才是节省时间的关键呢？
小林
刚才的方案中还有“知道消息却闲
着的人”，一定还有更快的方法。
小兰
想一想，还有没有更快的方法呢？
老师
1
2
组长2
组长1
4
3
4
2
3
生1
生3
生2
生4
生5
4分钟
小兰
1
2
2
3
3
3
3
小林
我只用了3分钟。组长、组员
都要做到不空闲。
1
C
3
3
2
2
A
B
B
C
3
3
C
C
用同时打，不空闲
的方法需要3分钟。
小凡
你能找到我设计中
的亮点吗？
小芳
生
学生
线上的数
第几分钟
老师
2
生2
1
3
3
2
生1
生5
生3
生4
3
3
生7
3分钟
生6
使用图例标注，更加清楚。
小凡
线上的数
第几分钟
老师
学生
3
2
1
3
3
2
3
3分钟
去掉了圆中的文字，显得
更加简洁。
小明
1
1
3
3
2
2
3
C
C
3
2
A
B
B
C
3
3
2
你更喜欢哪个作品？
为什么？
3
C
3
1号
2号
生
学生
线上的数
第几分钟
线上的数
第几分钟
老师
老师
学生
2
3
生2
1
2
3
3
1
3
生1
2
生5
生4
2
生3
3
3
3
3
生7
3号
4号
生6
1
1
3
3
2
2
3
C
C
3
2
A
我更喜欢4号作品，
因为4号作品的示意
图更加清楚。
B
B
C
3
3
2
3
C
3
1号
2号
生
学生
线上的数
第几分钟
线上的数
第几分钟
老师
老师
学生
2
3
生2
1
2
3
3
1
3
生1
2
生5
生4
2
生3
3
3
3
3
生7
3号
4号
生6
说一说，怎样打电话最节省时间？
要做到同时打，不空闲。
小芳
小林
如果再打1分钟，能通知多少名学生呢？
先想想，再试着画一画。
老师
学生
线上的数
第几分钟
4
3
4
2
1
3
4
2
4
3
4
3
4
4
4
再过
分钟，新接到
通知的有
名学生。
小凡
在画的过程中，你遇到了什么困难？
学生
线上的数
第几分钟
生
老师
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
4
3
4
2
4
我借助以前学习的统
计表，许多信息更加
明了。
1
3
4
2
4
4
4
4
3
3
小凡
学生
线上的数
第几分钟
生
老师
时间（分）
1
2
3
4
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
新
接
到
通
4
1
2
4
8
3
知的人数
4
2
4
1
3
4
我把新接到通知的人数
做了一个记录。
2
4
4
4
4
3
3
小凡
学生
线上的数
第几分钟
生
老师
时间（分）
1
2
3
4
5
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
新
接
到
通
4
1
2
4
8
16
3
知的人数
4
2
4
1
3
4
每增加一分钟，新接到
通知的人数是前一分钟
的2倍。
2
4
4
4
4
3
3
小凡
学生
线上的数
第几分钟
生
老师
时间（分）
1
2
3
4
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
知
道
通
知
4
2
4
8
16
的总人数
3
4
2
4
1
3
4
2
4
4
4
4
记录下知道通知的总人数。
小林
3
3
学生
线上的数
第几分钟
生
老师
时间（分）
1
2
3
4
5
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
知
道
通
知
4
2
4
8
16
32
×2
3
的总人数
4
2
4
1
3
4
2
每增加一分钟，知道通知的
总人数是前一分钟的2倍。
4
4
4
4
3
3
小林
学生
线上的数
第几分钟
生
老师
为什么是2倍的关系
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
4
3
4
2
4
1
不空闲同时打电话，2个人同
时通知就有4个人知道，4个
人同时通知就有8个人知道，
所以是2倍的关系。
3
4
2
4
4
4
4
3
3
小林
学生
线上的数
第几分钟
时间（分）
生
老师
1
2
3
4
2
4
8
16
1
3
7
15
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
知
道
通
知
的总人数
接
到
通
知
的总人数
4
3
4
2
4
1
3
4
2
4
4
4
4
接到通知的总人数比知道
通知总人数少1。
3
3
小兰
老师
时间（分）
1
2
3
4
5
2
4
8
16
32
学生
线上的数
第几分钟
生
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
1
2
3
4
5
个
个
个
个
个
2
2
2
2
2
相
相
相
相
相
乘
乘
乘
乘
乘
的
的
的
的
的
积
积
积
积
积
4
3
4
知
道
通
知
的总人数
2
4
1
3
4
2
4
4
4
4
3
3
我觉得知道通知的总人数
与2之间有关系。
小明
老师
时间（分）
1
2
3
4
5
2
4
8
16
32
学生
线上的数
第几分钟
生
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
……
1
2
3
4
5
个
个
个
个
个
2
2
2
2
2
相
相
相
相
相
乘
乘
乘
乘
乘
的
的
的
的
的
积
积
积
积
积
4
3
4
知
道
通
知
的总人数
2
4
1
3
4
2
4
4
4
4
3
3
知几分钟，知道通知的总
数就是几个2相乘的积。
小林
1
2
3
4
5
6
生
时间（分）
老师
学生
线上的数
第几分钟
4
2
4
8
16
32
64
3
4
4
1
2
3
个
个
2
2
2
相
相
相
乘
乘
乘
的
的
的
积
积
积
4
5
6
个
个
个
个
2
2
1
知
道
通
知
的总人数
3
4
4
4
4
4
2
2
2
相
相
相
乘
乘
乘
的
的
的
积
积
积
3
3
接
到
通
知
的总人数
7
15
1
3
31
63
按照规律，再往后通知呢？
1
2
3
4
5
6
7
8
…
生
学生
线上的数
第几分钟
时间（分）
老师
4
2
4
8
16
32
64
128
256
…
3
4
4
1
2
3
个
个
个
2
2
2
相
相
相
乘
乘
乘
的
的
的
积
积
积
4
5
6
7
8
个
个
个
个
个
2
2
2
2
2
相
相
相
相
相
乘
乘
乘
乘
乘
的
的
的
的
的
积
积
积
积
积
2
2
1
知
道
通
知
的总人数
3
4
4
4
4
4
…
3
3
接
到
通
知
的总人数
7
15
31
63
127
255
…
1
3
按照规律，再往后通知呢？
前提条件不变，如果要尽快通知187名学生。
打电话至少需要多少时间？
1
2
…
…
7
8
时间（分）
7分多钟，
不到8分钟。
2
4
…
128
256
…
1
2
7
8
个
个
个
个
知
道
通
知
的总人数
2
2
相
相
乘
乘
的
的
积
积
2
2
相
相
乘
乘
的
的
积
积
…
…
小兰
接
到
通
知
的总人数
1
3
…
127
255
…
前提条件不变，如果要尽快通知187名学生。
打电话至少需要多少时间？
1
2
…
…
7
8
时间（分）
2
4
…
128
256
…
打一个电话需要1分钟，
7分多钟肯定不对。
1
2
7
8
个
个
个
个
知
道
通
知
的总人数
2
2
相
相
乘
乘
的
的
积
积
2
2
相
相
乘
乘
的
的
积
积
…
…
小林
接
到
通
知
的总人数
1
3
…
127
255
…
前提条件不变，如果要尽快通知187名学生。
打电话至少需要多少时间？
1
2
…
…
7
8
时间（分）
8分钟最少可以通知128
个人，最多可以通知255
个人，所以通知187名学
生，至少需要8分钟。
2
4
…
128
256
…
1
2
个
个
7
8
个
个
2
2
相
相
乘
乘
的
的
积
积
知
道
通
知
的总人数
2
2
相
相
乘
乘
的
的
积
积
…
…
小凡
接
到
通
知
的总人数
1
3
…
127
255
…
紧急通知：要求老师尽快通知全年级511名学生收看《空中课堂》。
用打电话的方式去通知，每分钟通知1个人，至少需要多少时间？
1
2
…
…
8
9
7
时间（分）
2
4
…
128
256
512
…
只需要9分钟，就能
通知511名学生
…
…
1
2
个
个
2
2
相
相
乘
乘
的
的
积
积
7
8
9
个
个
个
2
2
2
知道通知的
总人数
…
…
…
相
相
乘
乘
的
的
相
乘
的
小芳
积
积
积
接到通知的
总人数
127
255
511
…
1
3
在实际打电话的过程中，要让这种通知方法
行之有效，我们需要做哪些准备工作呢？
通过今天的学习，你有什么收获？
经历过程
明白道理
数学方法
积累经验
【作业】
有一棵奇妙的树，原来只有一个树枝，第一年长
出一个新枝，第二年每个树枝又长出一个新枝，第三
年每个树枝又都分别长出一个新枝。照这样计算，第
四年这棵树上一共有几个树枝?
可以画图表示出来。
再
见打电话
五年级数学
紧急通知
要求老师尽快通知全年级511名学生收看《空中课堂》
如果以打电话的方式去通知,每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
511,这个数太大了
不好研究,这可怎么办?
小明
紧急通知
要求老师尽快通知全年级511名学生收看《空中课堂》
如果以打电话的方式去通知,每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
从简单处入手研究,找到规律。
小凡。
繫简
你想把511换成多少
开展研究?
我们小组有7人,
就从7人入手研究吧
小芳
紧急通知
要求老师尽快通知7名学生收看《空中课堂》
如果以打电话的方式去通知,每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
提取信息
要通知的人数:7人
通知的方式及用时:打电话每分钟通知1个人
对于通知的要求:最少时间
紧急通知
要求老师尽快通知7名学生收看《空中课堂》
如果以打电话的方式去通知,每分钟通知1个人。
请你帮助老师设计一个打电话的方案。
活动要求
用简洁、明了的方式表示出打电话通知7个人的过程。
我是一个一个地通
知,要用7分钟。
老师
小兰
222289
如果通知的人多,这
学生
样的方案费时费力
分钟
小明
老师
老师
组长
组长2
缃长山组长2
生1生2生8生4[生5
自性国围
5分钟
小芳
分组通知比一个一个通知节省时间。
是不是分的组越多用的时间越少?
小兰
请你举例验证,看看你的猜想是否成立。
老师)
分成2组用5分钟,分成3组
还是用5分钟。所以分组变
长口(组长2(长3
多并不能让时间变少。
生口座4性性
。5分钟
分成2组用5分钟,
老师
分成5组却用6分钟,
时间反而变多了。
猜想不成立。
强123个组长
生1生2
小林
6分钟
假如分成7组,不是还要7分钟吗?
小明
分组变多并不能有效地帮助我们节省时间
小凡
什么才是节省时间的关键呢?
小林
刚才的方案中还有“知道消息却闲
着的人”,一定还有更快的方法。
小兰
想一想,还有没有更快的方法呢?
老师
2
老师
2
组长
组长
组长2
2/3
生1生2生3生4生5
斗分钟
4分钟
小
2♀
♀
♀
9332
3
3
3
♀
♀皇♀
天关
3
♀
小林
我只用了3分钟。组长、组员
都要做到不空闲。
老师
老师
3
3(0
A
A)23
B
3
用同时打,不空闲
的方法需要3分钟。
小凡
老师(生)学生找上数一角几分
你能找到我设计中
的亮点吗?
2
3
(生5
生4
庄3
片
生b
小芳《打电话》学习任务单
【课上活动】
活动一：要求老师尽快通知7名学生收看《空中课堂》。如果以打电话的方式去通知，每分钟通知1个人。（忽略无人接电话等情形）
请你帮助老师设计一个打电话的方案。。
活动二：猜想“是不是分的组越多用的时间越少”，请举例验证。
活动三：如何才能让更多的人参与通知？请同学们调整方案。
活动四：如果再打1分钟，能通知多少名学生呢？请你试着画一画。
活动五：前提条件不变，如果要尽快通知187名学生。打电话至少需要多少时间？
活动六：紧急通知：要求老师尽快通知511名学生收看《空中课堂》。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要多少时间？
【课后作业】
有一棵奇妙的树，原来只有一个树枝，第一年长出一个新枝，第二年每个树枝又长出一个新枝，第三年每个树枝又都分别长出一个新枝。照这样计算，第四年这棵树上一共有几个树枝?
可以画图表示出来。
【参考答案】
1×2×2×2×2＝16（个），
也可以：1+2+4+8＝16（个）。
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