抛物线焦点弦问题探究评测练习
课后检测
1.
设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.
B.
C.
D.
2.
已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB＋DE的最小值为( )
A.
16
B.
14
C.
12
D.
10
已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，AF＝2，则BF等于( )
1
B.
2
C.
3
D.
4
过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝，AFAF＝________.
5.
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC＝3BF，且AF＝4，则p的值为( )
A.
B.
2
C.
D.
6.
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的最小值为( )
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为________.
8.
已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于AB·CD的值的说法中，正确的是( )
A.
等于1
B.
等于4
C.
最小值是1
D.
最大值是4
设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k（k
>
0）的直线与C交于A
,
B两点，且AB＝8.
求直线的方程；
求过A
,
B且与C的准线相切的圆的方程。(共15张PPT)
延时文字
代数遇见几何，变化析出永恒
——抛物线焦点弦问题探究
阿波罗尼奥斯
致敬先贤
The
classical
Greeks——Archimedes,Apollonius
and
others——studied
these
beautiful
curves
for
the
sheer
pleasure
of
it,as
a
form
of
play,without
any
thought
of
their
possible
uses.The
first
application
appeared
almost
2000
years
later,at
the
beginning
of
the
seventeenth
century.
延时符
问题聚焦：探究与抛物线的焦点弦有关的问题
如何刻画抛物线的焦点弦长？
过焦点的弦AB在转动的过程中，有哪些不变性质或变化规律呢？
延时符
问题探究1：如何刻画抛物线的焦点弦长？——几何视角（一）
从焦半径到焦点弦
以焦半径在抛物线上的点的横坐标为参变量：
延时符
问题探究2：如何刻画抛物线的焦点弦长？——几何视角（二）
从焦半径到焦点弦
以焦半径所在直线的倾斜角为参数：
延时符
小试牛刀：
延时符
小试牛刀：
延时符
问题探究3：如何刻画抛物线的焦点弦长？——代数视角
延时符
小试牛刀：
延时符
问题寻找：还有其他不变性质或变化规律吗？
延时符
问题探究4：从具体例子入手
延时符
问题探究4：同类问题联想
是否意味“MA,MB是抛物线的切线”呢？
若是，此题“半代入”
即可秒杀！
课后作业
课堂小结
1.知识上：
（1）抛物线焦半径以及焦点弦长的公式（两种形式）
（2）抛物线焦点弦两端点坐标满足的规律（几何平均）
（3）相切的规律
2.方法上：
（1）几何方法：抓住定义
（2）代数方法：引入参数，利用参数，消去参数
3.思想上：几何与代数对立统一、变化与永恒对立统一
4.知识生长点：阿基米德三角形
极点极线理论
THANKS
延时符《抛物线焦点弦问题探究》教学设计
教学目标：
（1）掌握抛物线焦点弦的有关性质及其获得过程；
（2）在进一步培养直观想象、逻辑推理等核心素养的过程中，提高学生研究性学习能力；
（3）渗透数学文化，让学生感悟数学的科学价值、文化价值和审美价值，培育学生的科学精神。
教学重点：抛物线焦点弦有关性质的探究。
教学难点：梳理探究问题的方法，培养解决问题的能力素养。
教学方法：问题探究式。以引导学生发现问题、研究问题、解决问题，应用成果为主线，充分体现学生的课堂主体地位。
教学过程：
1.
致敬先贤，创设心境
【素材导入】借助PPT展现古希腊伟大数学家阿波罗尼奥斯肖像、生平及著作，以及国外英文原版教材《微积分与解析几何》（第2版/（美）Simmons,G.F.著）中的相关论述文本，通过回望学科发展初心，为学生创设本节课的探究心境。
【师生活动】学生阅读PPT材料，并请英文优秀的学生朗读并翻译英文内容。教师引导学生体会先贤研究相关问题时的初心与精神，培养激发学生的科学精神。
【设计意图】从历史文化的角度，以中外兼容的国际视野，还原本节课所探讨内容的前世今生，促使学生重温学科研究初心，创设本节课的探究心境，熏陶学生去除过度功利主义，涵养纯粹的科学精神。
2.
问题聚焦：探究与抛物线焦点弦有关的问题
【问题引领】由大到小，由抽象到具体地逐次提出两个问题：
（1）
过焦点的弦AB在转动的过程中，有哪些不变性质或变化规律？
（2）
如何刻画抛物线的焦点弦长？
【师生活动】教师逐次适时地抛出问题，并为讨论的统一与方便起见，约定本节课以研究焦点在x轴正半轴上的抛物线为主体研究对象；学生静静地独立思考后，再同学间交流讨论。
【设计意图】通过发问与思考，使学生既看到本节课所研究课题的全局，又能够从课题涉及的某一具体关键问题着手开启研究之旅。大处着眼，小处着手，探究开始！
3.
问题探究一：如何刻画抛物线的焦点弦长？——几何视角（一）
【师生活动】教师组织引领下，学生在上一环节思考交流基础上向大家表达自己的思考成果，得到以焦半径在抛物线上的点的横坐标为参变量的公式成果：，，.
在此基础上引导学生解决下面的例题：
例1.
设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是_______.
【设计意图】通过设计此环节，引导学生利用抛物线的定义，推导出抛物线的焦半径以及焦点弦长公式，并通过例1的情景再现，使学生及时地落实该环节获得的成果。
4.
问题探究二：如何刻画抛物线的焦点弦长？——几何视角（二）
【问题引领】从探究一中获取的公式出发，可否分析出焦点弦长的最值？
【师生活动】学生发现可以分析出焦点弦长无最大值，但最小值的情况较难判定。教师引导学生发现造成这种状况的原因是公式涉及到双变量问题。顺势提出问题：可否得到焦点弦长含单参变量的公式？
基于
是同一直线上两点横坐标这一事实，从而引领激发学生发掘出焦点弦所在直线的倾斜角这一参变量，进而引导学生推得如下以焦点弦所在直线的倾斜角为参变数的公式：
从而分析出焦点弦长的最小值是.
在此基础上，师生一块探讨例2和变式：
变式．（2020山东高考模拟卷）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则，.(本题第一空2分，第二空3分)
在解决上述问题的基础上，进一步提炼出如下抛物线焦点弦的衍生性质：；.并在教师的启发下，引导学生发现的意义在于表明：抛物线共线的两焦半径的调和平均数是半通径长，即.
【设计意图】通过设计此环节，引导学生通过引入与探究一不同的参变量，仍然利用抛物线的定义，推导出抛物线的单参变量的焦半径以及焦点弦长公式，并通过例2及其变式，使学生在及时落实该环节获得的成果的基础上，进一步地丰富该环节的性质成果。
5.
问题探究三：如何刻画抛物线的焦点弦长？——代数视角
【问题引领】基于探究二中公式
推得焦点弦长最小值这一事实，重新审视从探究一中获取的公式，联想均值不等式，可否大胆猜想双变量的乘积为定值？
【师生活动】学生联想到韦达定理，进一步地用直线与抛物线联立消元的办法探索是否为定值的问题。
教师顺势引领如下问题：焦点弦所在直线用何种形式设出比较有利？引导学生发现此种情形下，设直线的反斜截式：的优越性。
若采用反斜截式，则联立消去，韦达定理得到.
教师顺势发问：由如何推得的情形？引导学生发现与以往处理类似问题时的不同之处，借助抛物线方程过渡，即（即的几何平均值是半通径长）.
从而回答了触发探究三开始的猜测。
进一步引领学生得到与焦点弦斜率倒数有关的弦长公式
，
并进一步指出关联：.
在此基础上，师生一块探讨例3：
例3.
过抛物线的焦点的一条直线与它交于两点，过点和此抛物线顶点的直线与准线交于点.求证直线平行于此抛物线的对称轴.
通过学生对这一问题解决的不同方法的展示，进一步让学生体会解析方法的要领。需要什么量，就设法引入参数表示它，并找出参数应满足的关系式，而不一定非得把它计算出来。设而不求，大胆地引入参数，利用参数，消去参数，往往可化繁芜为简捷！
【设计意图】通过设计此环节，引导学生通过代数方程，推导出抛物线的焦点弦长公式，还印证了焦点弦两端点坐标满足的平均性质。并通过例3的学生解法展示，使学生在及时落实该环节获得的成果的基础上，进一步地丰富对解析方法大胆引入参数这一基本精神的体验。
6.
问题找寻：还有其他不变性质或变化规律吗？
【问题提示】注意图中的上下底长度之和等于斜边长的直角梯形。
【师生活动】在教师引领下，不断引导学生发现符合上述条件的三个直角梯形。从而进一步地推得：以为直径的圆与准线相切；以或为直径的圆与轴相切。
【问题猜想】若是以为直径的圆与准线的切点，那么是抛物线的切线吗？
【设计意图】通过设计此环节，引导学生逐渐跳出抛物线焦点弦长这一具体问题的讨论，去寻找其他的规律与性质，有启示，有诱导，有猜测，为进一步的探究奠基。
7.
问题探究4：若以抛物线焦点弦为直径的圆与准线的切点为,则该切点与焦点弦两端点的连线是否是抛物线的切线？
【具体例子】
例4.
已知抛物线焦点为，关于原点对称点为，过作轴垂线交抛物线于，两点，有下列四个命题：
(1)必为直角三角形
(2)不一定为直角三角形
(3)
直线必与抛物线相切
(4)
直线不一定与抛物线相切
其中正确的是______________.
【师生活动】在教师引领下，学生通过解决例4这一特殊情形，强化对本次探究问题的相信。并由教师再次向学生抛出此问题。
【同类问题】
延拓.
已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点.
若，则
【师生活动】基于之前课时中对切点弦问题的讨论，在教师指引下，让学生认识到若本环节猜想成立，此题即可由“半代入”求切点弦的方法快速求解。
【设计意图】通过设计此环节，无论是特例法印证，还是“秒杀”问题的激发，均旨在推波助澜地激发起学生研究该问题的热情。使得本节课的探究向学生的课余时间延展！
8.
课后作业：
【设计意图】以尚未解决的问题形式作为课后作业，为学生进一步的探究留下弹性空间，激发学生以科学精神，不断钻研。
9.
课堂小结：
知识上：
（1）抛物线焦半径以及焦点弦长的公式（两种形式）
（2）抛物线焦点弦两端点坐标满足的规律（几何平均）
（3）相切的规律
方法上：
（1）几何方法：抓住定义
（2）代数方法：引入参数，利用参数，消去参数
思想上：几何与代数对立统一、变化与永恒对立统一
知识生长点：阿基米德三角形
极点极线理论
【设计意图】从知识，方法，思想，知识生长点四个层面帮助学生梳理本节课所学知识，促进学生养成反思梳理抽象总结的习惯。并通过知识生长点的设置为学有余力的学生进一步的学习钻研提供了查找资料的关键词。
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