广东省执信中学2011-2012学年高二上学期期末考试试题（数学理）

广东省执信中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学（理）试题
第一部分选择题(共 40 分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合则集合 （ * ）
A． B．
C． D．
2．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为（ * ）
A．①随机抽样法，②系统抽样法 B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法 D．①②都用分层抽样法
3．已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（ * ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，则下列不等式：①；②；③；④ 中，正确的不等式有（ * ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．直线l过点（4，0）且与圆交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为 （ * ）
A． B．或
C． D．
6．函数的图象为C，下列结论中正确的是（ * ）
A．图象C关于直线对称 B．图象C关于点（）对称
C．函数内是增函数
D．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
7．如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数f (x) = sinx, g ( x ) = , 则Q(x)是( * )
A． B．f (x)g (x)
C．f ( x ) – g ( x ) D．f ( x ) +g ( x )
8．把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数……，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第60个括号内各数之和为 （ * ）
A．1192 B．1176 C． 1168 D．1112
第二部分非选择题 (共 110 分)
二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置．
9．命题。则命题的否定是________***________
10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
体积为 _***_
11．已知函数那么不等式
的解集为 　　 _***_ 　
12.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 　　 _***_ 　
13.在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 　　 _ *** 　．
14、已知△ABD是等边三角形，且，那么四边形ABCD的面积为　　 _***_ 　
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题共12分）
已知以角为钝角的的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
16、（本小题共13分）
高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数。
（2）设表示该班两个学生的百米测试成绩，已知求事件“”的概率。
17．（本小题共13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
18、（本小题满分14分）
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求每吨产品平均最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.
20．（本小题共14分）
已知数列中，，设．
（Ⅰ）试写出数列的前三项；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设的前项和为，
求证：．
答案及说明
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.
15．（本小题共12分）
【解析】（1）∴，得 2分）
由正弦定理，得， ……………………3分
代入得，
∴， …………………… 5分
所以为钝角，所以角. …………………… 6分
（2）
） ……………………9分
由（1）知 ，
∴ ……………………11分
故的取值范围是 ……………………12分
16、（本小题共13分）
【解析】（Ⅰ）根据直方图可知成绩在内的人数为：
人 ； ……………………5分
（Ⅱ）成绩在的人数有：人，设为a ,b.
成绩在的人数有：人，设为A,B,C.
时有ab一种情况.时有AB,AC,BC三种情况.
分别在和时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况.
基本事件总数为10，事件“”由6个基本事件组成．
所以 . …………………………13分
17．（本小题共13分）
解法一：
（Ⅰ）因为 ，所以.
又因为侧面底面，且侧面底面，
所以底面.
而底面，
所以.
在底面中，因为，，
所以 ， 所以.
又因为， 所以平面. ……………………………4分
（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，
证明如下：设的中点是，
连结，，，
则，且.
由已知，
所以. 又，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面. ……………8分
（Ⅲ）设为中点，连结，
则 .
又因为平面平面，
所以 平面.
过作于，
连结，由三垂线定理可知.
所以是二面角的平面角.
设，则, .
在中，，所以.
所以 ，.
即二面角的余弦值为. ………………………………13分
解法二：
因为 ，
所以.
又因为侧面底面，
且侧面底面，
所以 底面.
又因为，
所以，，两两垂直.
分别以，，为轴，
轴，轴建立空间直角坐标系，如图.
设，则，，，，.
（Ⅰ），，,
所以 ，，所以，.
又因为， 所以平面. ………………………………4分
（Ⅱ）设侧棱的中点是， 则，.
设平面的一个法向量是，则
因为，，
所以 取，则.
所以， 所以.
因为平面，所以平面. ………………………………8分
（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.
由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以.
即二面角的余弦值为. ………………………………13分
18、（本小题满分14分）
【解析】（1）生产每吨产品的平均成本为
， ………………………3分
由于， …………………… 5分
当且仅当时，即时等号成立。 ……………………………6分
答：年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元； …………………………… 7分
（2）设年利润为，则 ……10分
， ……………………………12分
由于在上为增函数，故当
时，的最大值为1660。
答：年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。 ……………………………14分
19．（本小题满分14分）
【解析】（1）由椭圆定义得， …………………………… 1分
即， ……………………… 2分
∴，又， ∴. …………………………… 3分
故椭圆的方程为 …………………………….4分
（2）圆心到轴距离，圆的半径，
若圆与轴有两个不同交点，则有，即，
化简得. …………………………… 6分
点在椭圆上，∴，代入以上不等式得：
，解得：. …………………………… 8分
又，∴ ，即点横坐标的取值范围是. ……9分
（3）存在定圆与圆恒相切，
其中定圆的圆心为椭圆的左焦点，半径为椭圆的长轴长4. …………12分
∵由椭圆定义知，，即，
∴圆与圆恒内切. …………………………… 14分
显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即. ………………………… 7分
解得. …………………………8分
（Ⅲ）因为
,
所以 …11分
又（当且仅当时取等号），
故 …………………………14分
A
B
P
C
D
G
H
A
B
P
C
D
z
y
x
A
B
P
C
D