专题十七
动量守恒定律（解析版）
要点一、本章要点回顾
要点二、守恒与不变
1．守恒与不变
物质世界三大守恒定律是物质、能量、动量三个方面．
（1）各种形式的能量可以相互转化，但总能量不变，可以说能量守恒是最重要的守恒形式．
（2）动量守恒通常是对相互作用的物体所构成的系统而言的，适用于任何形式的运动．
（3）物理学中各种各样的守恒定律，本质上就是某种物理量保持不变．例如能量守恒是对应着某种时间变换中的不变性，动量守恒则是对应着某种空间变换下的不变性．
在中学物理中，我们学过的守恒定律有：机械能守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等．守恒定律中所涉及的守恒量的形式可以改变，但它既不会凭空产生，也不会消失掉，无论何时，如果这个守恒的量在某个地方有所增加，那么在系统的另一个地方一定有相同数量的减少．
2．守恒定律的本质
物理学中各种各样的守恒定律，本质上就是某种物理量保持不变，例如能量守恒对应着某种时间变换中的不变性；动量守恒则是对应着某种空问变换下的不变性；与转动变换不变性对应的是角动量守恒；与空间反射（镜像）操作不变性对应的是宇称守恒因此，守恒定律其实正是自然界和谐统一规律的体现，这种和谐的规律以数学的形式表现出来，向人们展现出自然科学理论的美学价值．
3．守恒定律的意义
在符合守恒条件时，可以不分析系统内相互作用过程的细节，而对系统的变化状态或一些问题作出判断，这是守恒定律的特点和优点．
例如：在微观世界中我们对粒子之间的相互作用情况不清楚，但是仍然可以用守恒定律得出一些结论．当两个亚原子微粒碰撞时，由于对碰撞过程中的各种细节我们还缺乏完整而可靠的计算理论，因而事先并不能准确预知碰撞的结果．但却可以根据能量与动量守恒推断碰撞后是否会有任何新的粒子产生，从而在实验中加以注意，进行检验．
4．守恒与对称
所谓对称，其本质也就是具有某种不变性，守恒定律来源于对称．物理规律的每一种对称（即不变性）通常都对应于一种守恒定律．对称和守恒这两个重要概念是紧密联系在一起的．
物理规律的对称性就是某种物理状态或过程在一定的变换下（例如转动、平移等），它所服从的物理规律不变．
物理学概念有对称性的如正电子和负电子、南北磁极、电场与磁场、粒子与反粒子、平面镜成像、光的可逆性、力现象和热现象的平衡态、物质性质的各向同性、物质的波动性和粒子性等．物理学上受对称性而提出新概念，发现新规律的事例也是很多的．例如，德布罗意受光的粒子性启发而提出物质波概念，法拉第受电流磁效应启发而想到磁生电的问题，从而发现电磁感应定律，狄拉克由对称性考虑而提出正电子和磁单极等．
5．物理学中的形式美
物理学在破译宇宙密码的同时，实实在在地展示了其“惊人的简单”“神秘的对称”以及“美妙的和谐”，闪耀着自然美的光辉．
（1）物理学中的每一条守恒定律都用极其精炼的语言将内涵丰富的自然规律表述出来，表现出物理学的简洁美．
（2）物理学中的每一条守恒定律都对应于自然界中的一种对称关系，反映着自然界的一种对称美．
（3）物理学中的每一条守恒定律中都有一个守恒量，这反映了各种运动形式间的联系和统一，表现出物理学的和谐统一美．
要点三、三个基本观点
1．解决动力学问题的三个基本观点
力的观点——牛顿运动定律结合运动学规律解题．
动量观点——用动量定理和动量守恒定律解题．
能量观点——用动能定理和能量转化守恒定律解题．
研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系时，一般用力的观点解题；研究某一个物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理和动能定理去解决问题；若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒定律去解决问题．
在用动量和能量观点解题时，应分清物体或系统的运动过程，各个物理过程中动量、机械能是否守恒，不同能量之间的转化关系等．
要点诠释：（1）应用动量定理、动能定理、动量守恒定律及运动学公式时，物体的位移、速度、加速度等物理量要相对同一参照系，一般都统一以地球为参照系．
（2）动量定理和动量守恒定律是矢量表达式，还可写出分量表达式，而动能定理和能量守恒定律是标量表达式，绝无分量表达式．
（3）动量守恒定律和能量守恒定律，是自然界最普遍的规律，它们研究的是物体系统，在力学中解题时必须注意动量守恒的条件以及机械能守恒的条件．
2．物理规律选用的一般方法
（1）研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系时，一般用力的观点解题．
（2）研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理（涉及时间的问题）或动能定理（涉及位移的问题）去解决问题．
（3）若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用两个守恒定律去解决问题，但必须注意研究的问题是否满足守恒的条件．
（4）在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，即系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量（转变为系统内能的量）．
（5）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，注意到一般这些过程均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化．这种问题由于作用时间都极短，故动量守恒定律一般能派上大用场．
3．解答力学综合题的基本思路和步骤
（1）认真审题，明确题目所述的物理情景，确定研究对象．
（2）分析对象受力及运动状态和运动状态变化的过程，作草图．
（3）根据运动状态变化的规律确定解题观点，选择规律．
若用力的观点解题，要认真分析受力及运动状态的变化，关键是求出加速度．
若用两大定理求解，应确定过程的始末状态的动量（或动能）、分析并求出过程中的冲量（或功）．
若判断过程中动量或机械能守恒，根据题意选择合适的始末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求某状态的速度（率）．
（4）根据选择的规律列式，有时还需挖掘题目的其他条件（如隐含条件、临界条件、几何条件）列补充方程．
（5）代入数据（统一单位）计算结果，并对结果的物理意义进行讨论．
4．动量守恒定律与机械能守恒定律的区别
伟大的物理学家爱因斯坦曾经说过：“物理学就是对守恒量的寻求．”由此可知这两个守恒定律的重要意义．二者对照，各自的守恒条件、内容、意义、应用范围各不相同，在许多问题中既有联系，又有质的区别．
从两守恒定律进行的比较中可以看出：
（1）研究对象都是由两个或两个以上的物体组成的力学系统．若系统中存在重力做功过程应用机械能守恒定律时，系统中必包括地球，应用动量守恒定律时，对象应为所有相互作用的物体，并尽量以“大系统”为对象考虑问题．
（2）守恒条件有质的区别：
动量守恒的条件是系统所受合外力为零，即∑F外=0，在系统中的每一对内力，无论其性质如何，对系统的总冲量必为零，即内力的冲量不会改变系统的总动量，而内力的功却有可能改变系统的总动能，这要由内力的性质决定．保守内力的功不会改变系统的总机械能；耗散内力（滑动摩擦力、爆炸力等）做功，必使系统机械能变化．
（3）两者守恒的性质不同：
动量守恒是矢量守恒，所以要特别注意方向性，有时可以在某一单方向上系统动量守恒，故有分量式．而机械能守恒为标量守恒，即始、末两态机械能量值相等，与方向无关．
（4）应用的范围不同：
动量守恒定律应用范围极为广泛．无论研究对象是处于宏观、微观、低速、高速，无论是物体相互接触，还是通过电场、磁场而发出的场力作用，动量守恒定律都能使用，相比之下，机械能守恒定律应用范围是狭小的，只能应用在宏观、低速领域内机械运动的范畴内．
（5）适用条件不同：
动量守恒定律不涉及系统是否发生机械能与其他形式的能的转化，即系统内物体之间相互作用过程中有无能量损失均不考虑．相反机械能守恒定律则要求除重力、弹簧弹力外的内力和外力对系统所做功的代数和必为零．
类型一、对整体或全过程应用动量定理
例1．一个的足球从高处自由落下，碰地后能弹到高，若球与地的碰撞时间为，试求足球对地的平均作用力．（取）
【思路点拨】多个作用过程，既可以分别对每一个过程应用动量定理，也可以全过程应用动量定理，注意各力与作用时间的对应．
【答案】
【解析】由题意可知，物体的运动过程是先做自由落体运动，与地接触后做减速运动，然后反弹离开地面，最后减速上升直到最高点．在解题时，可分段考虑，也可整体分析．
解法一：由动量定理知，足球所受合外力的冲量等于它动量的变化，即
．
设足球落地前的速度为，落地后的反弹速度为．
根据位移和速度的关系式
可分别得
，
．
但不能将上面数值直接代入，否则会得出错误的结果．
因为是矢量差，而方向向下，方向向上，必须先规定正方向，如选向上的方向为正。则
，
即足球所受合外力为，方向向上．合外力是地面对球的弹力与球的重力之差，即
，
故
，
即地面对足球的作用力为，方向向上；根据牛顿第三定律，足球对地面的作用力亦为N，方向向下．
如果相互作用的力远比物体的重力大时，则可把重力忽略不计，由动量定理所求得的合外力，就认为是相互作用的力．
解法二：设足球自由下落的时间为，反弹后离开地面上升的时间为．球与地的碰撞时间为．
根据位移公式
可得
，
，
，
．
取向下为正方向，从开始下落到反弹至最高点这个过程，根据动量守恒
，
得
，
．
负号说明地面对足球的弹力方向与规定方向相反，即竖直向上．
根据牛顿第三定律，足球对地面的作用力亦为，方向竖直向下．
【总结升华】在包含多个作用过程的问题中，既可以分别对每一个过程应用动量定理，也可以全过程应用动量定理，全程列式时注意各力与作用时间的对应．
类型二、归纳法分析动量守恒问题
例2、如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求m和M之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
【答案】
【解析】A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒，设速度方向向右为正，开始时A的速度为v0
,第一次碰撞后C的速度为vc
,A的速度为vA1
,由动量守恒定律和机械能守恒得：
mv0
=
mvA1
+
Mvc1
联立式得：
如果m>M
，第一次碰撞后，A与C
速度同向，且A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m
=
M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞，所以只需要考虑m
<
M的情况。
第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞，设与B发生碰撞后，A的速度为vA2
,B的速度为vB1
，同样有：
根据题意，要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有：
联立式得：
解得：
另一解舍去，所以m和M应满足的条件为：
（
【总结升华】本题也是一个多物体多过程的问题．正确把握每一个小系统的每一个过程，根据动量守恒定律，分别建立方程，然后利用数学归纳法求得最后结果．这也是高考中考查学生运用数学知识能力的要求．
类型三、二体联动的多过程问题
例3．如图所示，一辆质量是的平板车左端放有质量的小滑块，滑块与平板车之间的动摩擦因数是．开始时平板车和滑块共同以的速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反．平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端．（取）求：
（1）平板车第一次与墙壁碰撞后向左运动的最大距离．
（2）平板车第二次与墙壁碰撞前瞬间的速度．
（3）为使滑块始终不会滑到平板车右端，平板车至少多长？
【思路点拨】详细对物理过程进行分析，挖掘临界极值条件．正确运用动能定理、动量守恒定律、功能原理．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】求第（1）问中，向左运动的最大距离是一个极值问题．抓住向左减速到速度为时位移（距离）最大．
求第（2）问中，需判定发生第二次碰撞时，究竟和是否有共同速度，需求出有共同速度这个临界点，再由小车向左和向右运动位移大小进而判定，从而求出．
求第（3）问中，需分析小车和物块最终是运动还是静止，系统机械能损失全部发生在物块与车相对位移和相互作用力乘积上而转化为内能，最终还是求临界点极值问题．
（1）如图所示，第一次碰撞由于时间极短，抓住碰前瞬间速度，方向向右，则碰后小车速度大小还是，但方向向左．然后两者在相互摩擦作用过程中动量守恒，小车向左匀减速至速度为时，滑块还具有向右的速度，所以对小车由动能定理得
，
所以
．
即为第（1）问答案．
（2）假如平板车在第二次与墙壁碰撞前还未和滑块保持相对静止，那么其速度的大小肯定还是，滑块的速度则大于，方向均向右，这样就违背了动量守恒，所以平板车在第二次碰撞前肯定已和滑块具有相同速度口，此即平板车碰墙前瞬间的速度．
，
．
（3）平板车与墙第一次碰后到滑块与平板车又达到共同速度前的过程可用图1-6-6中表示，为平板车与墙碰后瞬间滑块与平板车位置，为平板车到达最左端时两者的位置，为平板车与滑块再次达到共同速度时两者的位置．在此过程中，滑块动能减少等于摩擦力对滑块所做的功
，
平板车动能减少等于摩擦力对平板车所做的功
，
其中分别为滑块和平板车的位移，滑块和平板车总动能减少为
，
其中为滑块相对平板车的位移，此后，平板车与墙发生多次碰撞，每次情况与此类似，最后停止在墙边，设滑块相对平板车总位移为，则有：
．
所以
，
即为平板车的最短长度．
题后小结：若小滑块质量比平板车质量要小，其他条件相同，请分析的运动情况．
【总结升华】本题是一道综合性很强的题．要求同学们对物理过程的分析要详细，会挖掘临界极值条件．同时对物理规律特别是动能定理、动量守恒定律、功能原理的理解要求极高．可以说正确熟练地运用这些规律解题是学生物理能力的试金石．
类型四、多物体或多过程动量守恒问题
例4．如图所示，和是放在水平地面上的两个小物块（可视为质点），与地面的动摩擦因数相同，两物块间的距离，它们的质量分别为，．现令它们分别以初速度和相向运动，经过时间，两物块相撞，碰撞时间极短，碰后两者粘在一起运动．求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能．
【答案】
【解析】因两物块与地面间的动摩擦因数相同，故它们在摩擦力作用下加速度的大小是相同的，以表示此加速度的大小．先假定在时间内，两物块始终做减速运动，都未停下．现分别以和表示它们走的路程，则有
，
①
，
②
而
，
③
解①②③式并代入有关数据得
．
④
经过时间，两物块的速度分别为
，
⑤
，
⑥
代入有关数据得
，
⑦
．
⑧
为负值是不合理的，因为物块是在摩擦力作用下做减速运动，当速度减小至零时，摩擦力消失，加速度不再存在，不可能为负．为负，表明物块经历的时间小于时已经停止运动，②式以及④⑥⑦⑧式都不成立．故在时间内。物块停止运动前滑行的路程应是
．
⑨
解①③⑨式，代入有关数据得
．
⑩
由⑤⑩式求得刚要发生碰撞时物块的速度
．
⑾
而物块的速度
．
⑿
设为两物块碰撞后的运度，由动量守恒定律有
．
⒀
刚碰后到停止运动过程中损失的机械能
．
⒁
由⒀⒁式得
．
⒂
代入有关数据得
．
类型五、多物体多过程中的守恒定律
例5．在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”．这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似．两个小球和用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态．在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板，右边有一小球沿轨道以速度射向球，如图所示．与发生碰撞并立即结合成一个整体，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变．然后，球与挡板发生碰撞，碰后都静止不动，与接触而不粘连．过一段时间，突然解除锁定（锁定与解除锁定均无机械能损失）．已知三球的质量均为，求：
（1）弹簧长度刚被锁定后球的速度；
（2）在球离开挡板之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设球与球结合成时，的速度为，由动量守恒定律，有
．
①
当弹簧压至最短时，与的速度相等，设此速度为，由动量守恒定律，有
．
②
由①②两式得的速度
．
（2）设弹簧长度被锁定后，储存在弹簧中的势能为，由能量守恒，有
．
撞击后，与的动能都为零．解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成的动能，设的速度为，则有
，
．
以后弹簧伸长，球离开挡板，并获得速度．当的速度相等时，弹簧伸至最长．设此时的速度为，由动量守恒定律，有
，
．
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒定律，有
．
解以上各式得
．
【总结升华】认真理解题意，正确把握物理过程所满足的守恒条件，是解决本题的关键．比如结合成的过程中动量守恒但机械能不守恒．
类型六、根据图象判断动量守恒
例6、滑块a、b沿水平面上同一条直线发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x随时间t变化的图像如图所示。求：
（1）滑块a、b的质量之比；
（2）整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。
【解析】（1）设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前的速度为v1、v2，由题给图像得：
，
a、b发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为v，由图像可得：
由动量守恒定律：
解得：
（2）由能量守恒得：两滑块因碰撞而损失的机械能为
由图像可知，两滑块最后停止运动
由动量定理得：两滑块克服摩擦力所做的功为：
解得：
【总结升华】能根据x-t图像读懂物体的运动状态。
类型七、动量守恒中的临界问题
例7．下雪天，卡车在笔直的高速公路上匀速行驶，司机突然发现前方停着一辆故障车，他将刹车踩到底，车轮被抱死，但卡车仍向前滑行，并撞上故障车，且推着它共同滑行了一段距离后停下．事故发生后，经测量，卡车刹车时与故障车距离为，撞车后共同滑行的距离．假定两车轮胎与雪地之间的动摩擦因数相同．已知卡车质量是故障车质量的倍．
（1）设卡车与故障车相撞前的速度为，两车相撞后的速度变为，求；
（2）卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施，事故才能免于发生？
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由碰撞过程动量守恒．
，
则
．
（2）设卡车刹车前速度为，轮胎与雪地之间的动摩擦因数为，两车相撞前卡车动能变化
，
碰撞后两车共同向前滑动，动能变化
．
又因
，
得
．
如果卡车滑到故障车前就停止，由
．
故
，
这意味卡车司机在距故障车至少处紧急刹车，事故才能够免于发生．
类型八、三个物体作用下的守恒问题
例8．如图所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板和．重物（视为质点）位于的右端，的质量相等，现和以同一速度滑向静止的．与发生正碰．碰后和粘在一起运动，在上滑行，与有摩擦力．已知滑到的右端而未掉下．试问：从发生正碰到刚移动到右端期间，所走过的距离是板长度的多少倍？
【思路点拨】明确与作用及与作用的过程以及作用过程中所遵循的规律。
【答案】
【解析】设的质量均为．碰撞前，与的共同速度为，碰撞后与的共同速度为．对，由动量守恒定律得
．
设滑至的右端时，三者的共同速度为．对，由动量守恒定律得
．
设与的动摩擦因数为，从发生碰撞到移至的右端时，所走过的距离为，对，由功能关系
．
设的长度为，对A，由功能关系
．
由以上各式解得
．
【总结升华】明确与作用及与作用的过程以及作用过程中所遵循的规律是解决此题的关键．
类型九、守恒量的探究
例9．图（a）为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块，上端固定在点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连．已知有一质量为的子弹沿水平方向以速度射入内（未穿透），接着两者一起绕点在竖直平面内做圆周运动．在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力随时间的变化关系如图（b）所示．已知子弹射入的时间极短，且图（b
）中为开始以相同速度运动的时刻．根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及一起运动过程中的守恒量，你能求出哪些定量的结果？
【答案】见解析
【解析】以往的考题都明确提出求解的物理量是什么，而本题却要求考生根据题目中的信息，自己确定能求出哪些量并将其解答．这就对考生的能力提出了新的要求，此题是一新型题，值得关注．
本题中的物理过程是：①子弹射入物块中；②系统绕点做圆周运动．
题中所涉及的物理规律是：①子弹射入中前、后动量守恒；②系统机械能守恒；③牛顿第二定律．
由图（b）可知道的是：做圆周运动的周期；在最高点时绳的拉力为零，在最低点时绳的拉力为．
射入的过程中动量守恒，则有
，
做圆周运动时，由牛顿第二定律知
最低点：
，
最高点：
，
且
，．
由于阻力忽略不计，则机械能守恒，有
，
一起运动过程中的守恒量为机械能，若以最低点为零势能参考平面，则
，
由以上各式解得各定量分别为物块的质量
，
绳的长度
，
机械能
．
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图所示，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑板与水平面的夹角依次为30°、45°、60°。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（ ）
A．a处小孩最先到O点
B．b处小孩最先到O点
C．c处小孩最先到O点
D．无法判断谁先到O点
【答案】B
【详解】
设仓底半径为r，滑板倾角为，有
又
可知当θ=45°有t最小值。故B正确ACD错误。
故选B。
2．如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆上，两球间连接一个保持原长的竖直轻弹簧，现给小球m2一个水平向右的初速度v0．如果两杆足够长，则在此后的运动过程中（ ）
A．m1、m2组成的系统机械能守恒
B．当
m1的速度达到最大时，m2同时速度最小
C．m1、m2组成的系统动量守恒
D．弹簧最长时，其弹性势能为m2v02
【答案】C
【解析】
【详解】
对于弹簧、m1、m2组成的系统，只有弹力做功，系统的机械能守恒，由于弹性势能是变化的，所以m1、m2组成的系统机械能不守恒。故A错误。若m1＞m2，当弹簧伸长时，m1一直在加速，当弹簧再次恢复原长时m1速度达到最大。弹簧伸长时m2先减速后，速度减至零向左加速，最小速度为零。所以m1速度达到最大时，m2速度不是最小，故B错误。由于两球竖直方向上受力平衡，水平方向所受的弹力的弹力大小相等，方向相反，所以两球组成的系统所受的合外力为零，系统的动量守恒，故C正确。当两球的速度相等时，弹簧最长，弹簧的弹性势能最大，以向右为正方向，由动量守恒定律得：m2v0=（m1+m2）v，解得：；由系统的机械能守恒得：m2v02=（m1+m2）v2+EP，解得：，故D错误。故选C。
【点睛】
本题考查了动量守恒定律的应用，解决本题的关键知道两球组成的系统动量守恒，两球和弹簧组成的系统机械能守恒，分析清楚运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可解题．
3．新华社西昌3月10日电“芯级箭体直径9.5米级、近地轨道运载能力50吨至140吨、奔月转移轨道运载能力15吨至50吨、奔火（火星）转移轨道运载能力12吨至44吨……”这是我国重型运载火箭长征九号研制中的一系列指标，已取得阶段性成果，预计将于2030年前后实现首飞。火箭点火升空，燃料连续燃烧的燃气以很大的速度从火箭喷口喷出，火箭获得推力。下列观点正确的是（ ）
A．喷出的燃气对周围空气的挤压力就是火箭获得的推力
B．因为喷出的燃气挤压空气，所以空气对燃气的反作用力就是火箭获得的推力
C．燃气被喷出瞬间，火箭对燃气的作用力就是火箭获得的推力
D．燃气被喷出瞬间，燃气对火箭的反作用力就是火箭获得的推力
【答案】D
【详解】
A．
喷出的燃气对周围空气的挤压力，作用在空气上，不是火箭获得的推力，故A错误；
B．
空气对燃气的反作用力，作用在燃气上，不是火箭获得的推力，故B错误；
CD．
燃气被喷出瞬间，燃气对火箭的反作用力作用在火箭上，是火箭获得的推力，故C错误D正确。
故选D。
4．质量为1kg的小球A以4m/s速度与质量为2kg的静止小球B正碰，关于碰后A、B的速度vA和vB，下列哪些是可能的（
）
A．
B．vA＝1m/s，vB＝2.5m/s
C．vA＝1m/s，vB＝3m/s
D．vA＝﹣4m/s，vB＝4m/s
【答案】A
【详解】
碰撞前总动量为P＝mAvA0＝1×4kg·m/s＝4kg·m/s；碰撞前总动能为。
A.如果，碰后动量，碰后动能，碰撞过程动量守恒，动能不增加，故A正确；
B.如果vA＝1m/s，vB＝2.
5m/s，碰后动量P′＝mAvA+mBvB＝(1×1+2×2.
5)
kg·m/s＝5kg·m/s，碰撞过程动量不守恒，故B错误；
C.如果vA＝1m/s，vB＝3m/s，碰后动量P′＝mAvA+mBvB＝(1×1+2×3)
kg·m/s＝7kg·m/s，碰撞过程动量不守恒，故C错误；
D.如果vA＝﹣4m/s，vB＝4m/s，碰后动量P′＝mAvA+mBvB＝1×（﹣4）kg·m/s
+2×4
kg·m/s＝4kg·m/s，碰后动能，碰撞过程动量守恒，动能增加，故D错误；
第II卷（非选择题）
二、解答题
5．如图所示，ABC为一光滑细圆管构成的圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C．在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动．已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．
（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求释放点距A点的高度.
（2）若释放点距A点竖直高度为2R，求小球经过最低点B时轨道对小球的支持力大小.
（3）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，求小球在C点对圆管的作用力.
【答案】（1）R（2）7mg（3）
【解析】
（1）以A点所在水平面为零势能面，根据机械能守恒
得：
（2）B点：
根据动能定理：
得：
（3）
，
得：
根据牛顿第三定律，圆管对小球的作用力大小为，方向竖直向下
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20专题十七
动量守恒定律（原卷版）
要点一、本章要点回顾
要点二、守恒与不变
1．守恒与不变
物质世界三大守恒定律是物质、能量、动量三个方面．
（1）各种形式的能量可以相互转化，但总能量不变，可以说能量守恒是最重要的守恒形式．
（2）动量守恒通常是对相互作用的物体所构成的系统而言的，适用于任何形式的运动．
（3）物理学中各种各样的守恒定律，本质上就是某种物理量保持不变．例如能量守恒是对应着某种时间变换中的不变性，动量守恒则是对应着某种空间变换下的不变性．
在中学物理中，我们学过的守恒定律有：机械能守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等．守恒定律中所涉及的守恒量的形式可以改变，但它既不会凭空产生，也不会消失掉，无论何时，如果这个守恒的量在某个地方有所增加，那么在系统的另一个地方一定有相同数量的减少．
2．守恒定律的本质
物理学中各种各样的守恒定律，本质上就是某种物理量保持不变，例如能量守恒对应着某种时间变换中的不变性；动量守恒则是对应着某种空问变换下的不变性；与转动变换不变性对应的是角动量守恒；与空间反射（镜像）操作不变性对应的是宇称守恒因此，守恒定律其实正是自然界和谐统一规律的体现，这种和谐的规律以数学的形式表现出来，向人们展现出自然科学理论的美学价值．
3．守恒定律的意义
在符合守恒条件时，可以不分析系统内相互作用过程的细节，而对系统的变化状态或一些问题作出判断，这是守恒定律的特点和优点．
例如：在微观世界中我们对粒子之间的相互作用情况不清楚，但是仍然可以用守恒定律得出一些结论．当两个亚原子微粒碰撞时，由于对碰撞过程中的各种细节我们还缺乏完整而可靠的计算理论，因而事先并不能准确预知碰撞的结果．但却可以根据能量与动量守恒推断碰撞后是否会有任何新的粒子产生，从而在实验中加以注意，进行检验．
4．守恒与对称
所谓对称，其本质也就是具有某种不变性，守恒定律来源于对称．物理规律的每一种对称（即不变性）通常都对应于一种守恒定律．对称和守恒这两个重要概念是紧密联系在一起的．
物理规律的对称性就是某种物理状态或过程在一定的变换下（例如转动、平移等），它所服从的物理规律不变．
物理学概念有对称性的如正电子和负电子、南北磁极、电场与磁场、粒子与反粒子、平面镜成像、光的可逆性、力现象和热现象的平衡态、物质性质的各向同性、物质的波动性和粒子性等．物理学上受对称性而提出新概念，发现新规律的事例也是很多的．例如，德布罗意受光的粒子性启发而提出物质波概念，法拉第受电流磁效应启发而想到磁生电的问题，从而发现电磁感应定律，狄拉克由对称性考虑而提出正电子和磁单极等．
5．物理学中的形式美
物理学在破译宇宙密码的同时，实实在在地展示了其“惊人的简单”“神秘的对称”以及“美妙的和谐”，闪耀着自然美的光辉．
（1）物理学中的每一条守恒定律都用极其精炼的语言将内涵丰富的自然规律表述出来，表现出物理学的简洁美．
（2）物理学中的每一条守恒定律都对应于自然界中的一种对称关系，反映着自然界的一种对称美．
（3）物理学中的每一条守恒定律中都有一个守恒量，这反映了各种运动形式间的联系和统一，表现出物理学的和谐统一美．
要点三、三个基本观点
1．解决动力学问题的三个基本观点
力的观点——牛顿运动定律结合运动学规律解题．
动量观点——用动量定理和动量守恒定律解题．
能量观点——用动能定理和能量转化守恒定律解题．
研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系时，一般用力的观点解题；研究某一个物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理和动能定理去解决问题；若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒定律去解决问题．
在用动量和能量观点解题时，应分清物体或系统的运动过程，各个物理过程中动量、机械能是否守恒，不同能量之间的转化关系等．
要点诠释：（1）应用动量定理、动能定理、动量守恒定律及运动学公式时，物体的位移、速度、加速度等物理量要相对同一参照系，一般都统一以地球为参照系．
（2）动量定理和动量守恒定律是矢量表达式，还可写出分量表达式，而动能定理和能量守恒定律是标量表达式，绝无分量表达式．
（3）动量守恒定律和能量守恒定律，是自然界最普遍的规律，它们研究的是物体系统，在力学中解题时必须注意动量守恒的条件以及机械能守恒的条件．
2．物理规律选用的一般方法
（1）研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系时，一般用力的观点解题．
（2）研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理（涉及时间的问题）或动能定理（涉及位移的问题）去解决问题．
（3）若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用两个守恒定律去解决问题，但必须注意研究的问题是否满足守恒的条件．
（4）在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，即系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量（转变为系统内能的量）．
（5）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，注意到一般这些过程均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化．这种问题由于作用时间都极短，故动量守恒定律一般能派上大用场．
3．解答力学综合题的基本思路和步骤
（1）认真审题，明确题目所述的物理情景，确定研究对象．
（2）分析对象受力及运动状态和运动状态变化的过程，作草图．
（3）根据运动状态变化的规律确定解题观点，选择规律．
若用力的观点解题，要认真分析受力及运动状态的变化，关键是求出加速度．
若用两大定理求解，应确定过程的始末状态的动量（或动能）、分析并求出过程中的冲量（或功）．
若判断过程中动量或机械能守恒，根据题意选择合适的始末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求某状态的速度（率）．
（4）根据选择的规律列式，有时还需挖掘题目的其他条件（如隐含条件、临界条件、几何条件）列补充方程．
（5）代入数据（统一单位）计算结果，并对结果的物理意义进行讨论．
4．动量守恒定律与机械能守恒定律的区别
伟大的物理学家爱因斯坦曾经说过：“物理学就是对守恒量的寻求．”由此可知这两个守恒定律的重要意义．二者对照，各自的守恒条件、内容、意义、应用范围各不相同，在许多问题中既有联系，又有质的区别．
从两守恒定律进行的比较中可以看出：
（1）研究对象都是由两个或两个以上的物体组成的力学系统．若系统中存在重力做功过程应用机械能守恒定律时，系统中必包括地球，应用动量守恒定律时，对象应为所有相互作用的物体，并尽量以“大系统”为对象考虑问题．
（2）守恒条件有质的区别：
动量守恒的条件是系统所受合外力为零，即∑F外=0，在系统中的每一对内力，无论其性质如何，对系统的总冲量必为零，即内力的冲量不会改变系统的总动量，而内力的功却有可能改变系统的总动能，这要由内力的性质决定．保守内力的功不会改变系统的总机械能；耗散内力（滑动摩擦力、爆炸力等）做功，必使系统机械能变化．
（3）两者守恒的性质不同：
动量守恒是矢量守恒，所以要特别注意方向性，有时可以在某一单方向上系统动量守恒，故有分量式．而机械能守恒为标量守恒，即始、末两态机械能量值相等，与方向无关．
（4）应用的范围不同：
动量守恒定律应用范围极为广泛．无论研究对象是处于宏观、微观、低速、高速，无论是物体相互接触，还是通过电场、磁场而发出的场力作用，动量守恒定律都能使用，相比之下，机械能守恒定律应用范围是狭小的，只能应用在宏观、低速领域内机械运动的范畴内．
（5）适用条件不同：
动量守恒定律不涉及系统是否发生机械能与其他形式的能的转化，即系统内物体之间相互作用过程中有无能量损失均不考虑．相反机械能守恒定律则要求除重力、弹簧弹力外的内力和外力对系统所做功的代数和必为零．
类型一、对整体或全过程应用动量定理
例1．一个的足球从高处自由落下，碰地后能弹到高，若球与地的碰撞时间为，试求足球对地的平均作用力．（取）
【思路点拨】多个作用过程，既可以分别对每一个过程应用动量定理，也可以全过程应用动量定理，注意各力与作用时间的对应．
【答案】
【解析】由题意可知，物体的运动过程是先做自由落体运动，与地接触后做减速运动，然后反弹离开地面，最后减速上升直到最高点．在解题时，可分段考虑，也可整体分析．
解法一：由动量定理知，足球所受合外力的冲量等于它动量的变化，即
．
设足球落地前的速度为，落地后的反弹速度为．
根据位移和速度的关系式
可分别得
，
．
但不能将上面数值直接代入，否则会得出错误的结果．
因为是矢量差，而方向向下，方向向上，必须先规定正方向，如选向上的方向为正。则
，
即足球所受合外力为，方向向上．合外力是地面对球的弹力与球的重力之差，即
，
故
，
即地面对足球的作用力为，方向向上；根据牛顿第三定律，足球对地面的作用力亦为N，方向向下．
如果相互作用的力远比物体的重力大时，则可把重力忽略不计，由动量定理所求得的合外力，就认为是相互作用的力．
解法二：设足球自由下落的时间为，反弹后离开地面上升的时间为．球与地的碰撞时间为．
根据位移公式
可得
，
，
，
．
取向下为正方向，从开始下落到反弹至最高点这个过程，根据动量守恒
，
得
，
．
负号说明地面对足球的弹力方向与规定方向相反，即竖直向上．
根据牛顿第三定律，足球对地面的作用力亦为，方向竖直向下．
【总结升华】在包含多个作用过程的问题中，既可以分别对每一个过程应用动量定理，也可以全过程应用动量定理，全程列式时注意各力与作用时间的对应．
类型二、归纳法分析动量守恒问题
例2、如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求m和M之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
【答案】
【解析】A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒，设速度方向向右为正，开始时A的速度为v0
,第一次碰撞后C的速度为vc
,A的速度为vA1
,由动量守恒定律和机械能守恒得：
mv0
=
mvA1
+
Mvc1
联立式得：
如果m>M
，第一次碰撞后，A与C
速度同向，且A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m
=
M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞，所以只需要考虑m
<
M的情况。
第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞，设与B发生碰撞后，A的速度为vA2
,B的速度为vB1
，同样有：
根据题意，要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有：
联立式得：
解得：
另一解舍去，所以m和M应满足的条件为：
（
【总结升华】本题也是一个多物体多过程的问题．正确把握每一个小系统的每一个过程，根据动量守恒定律，分别建立方程，然后利用数学归纳法求得最后结果．这也是高考中考查学生运用数学知识能力的要求．
类型三、二体联动的多过程问题
例3．如图所示，一辆质量是的平板车左端放有质量的小滑块，滑块与平板车之间的动摩擦因数是．开始时平板车和滑块共同以的速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反．平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端．（取）求：
（1）平板车第一次与墙壁碰撞后向左运动的最大距离．
（2）平板车第二次与墙壁碰撞前瞬间的速度．
（3）为使滑块始终不会滑到平板车右端，平板车至少多长？
【思路点拨】详细对物理过程进行分析，挖掘临界极值条件．正确运用动能定理、动量守恒定律、功能原理．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】求第（1）问中，向左运动的最大距离是一个极值问题．抓住向左减速到速度为时位移（距离）最大．
求第（2）问中，需判定发生第二次碰撞时，究竟和是否有共同速度，需求出有共同速度这个临界点，再由小车向左和向右运动位移大小进而判定，从而求出．
求第（3）问中，需分析小车和物块最终是运动还是静止，系统机械能损失全部发生在物块与车相对位移和相互作用力乘积上而转化为内能，最终还是求临界点极值问题．
（1）如图所示，第一次碰撞由于时间极短，抓住碰前瞬间速度，方向向右，则碰后小车速度大小还是，但方向向左．然后两者在相互摩擦作用过程中动量守恒，小车向左匀减速至速度为时，滑块还具有向右的速度，所以对小车由动能定理得
，
所以
．
即为第（1）问答案．
（2）假如平板车在第二次与墙壁碰撞前还未和滑块保持相对静止，那么其速度的大小肯定还是，滑块的速度则大于，方向均向右，这样就违背了动量守恒，所以平板车在第二次碰撞前肯定已和滑块具有相同速度口，此即平板车碰墙前瞬间的速度．
，
．
（3）平板车与墙第一次碰后到滑块与平板车又达到共同速度前的过程可用图1-6-6中表示，为平板车与墙碰后瞬间滑块与平板车位置，为平板车到达最左端时两者的位置，为平板车与滑块再次达到共同速度时两者的位置．在此过程中，滑块动能减少等于摩擦力对滑块所做的功
，
平板车动能减少等于摩擦力对平板车所做的功
，
其中分别为滑块和平板车的位移，滑块和平板车总动能减少为
，
其中为滑块相对平板车的位移，此后，平板车与墙发生多次碰撞，每次情况与此类似，最后停止在墙边，设滑块相对平板车总位移为，则有：
．
所以
，
即为平板车的最短长度．
题后小结：若小滑块质量比平板车质量要小，其他条件相同，请分析的运动情况．
【总结升华】本题是一道综合性很强的题．要求同学们对物理过程的分析要详细，会挖掘临界极值条件．同时对物理规律特别是动能定理、动量守恒定律、功能原理的理解要求极高．可以说正确熟练地运用这些规律解题是学生物理能力的试金石．
类型四、多物体或多过程动量守恒问题
例4．如图所示，和是放在水平地面上的两个小物块（可视为质点），与地面的动摩擦因数相同，两物块间的距离，它们的质量分别为，．现令它们分别以初速度和相向运动，经过时间，两物块相撞，碰撞时间极短，碰后两者粘在一起运动．求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能．
【答案】
【解析】因两物块与地面间的动摩擦因数相同，故它们在摩擦力作用下加速度的大小是相同的，以表示此加速度的大小．先假定在时间内，两物块始终做减速运动，都未停下．现分别以和表示它们走的路程，则有
，
①
，
②
而
，
③
解①②③式并代入有关数据得
．
④
经过时间，两物块的速度分别为
，
⑤
，
⑥
代入有关数据得
，
⑦
．
⑧
为负值是不合理的，因为物块是在摩擦力作用下做减速运动，当速度减小至零时，摩擦力消失，加速度不再存在，不可能为负．为负，表明物块经历的时间小于时已经停止运动，②式以及④⑥⑦⑧式都不成立．故在时间内。物块停止运动前滑行的路程应是
．
⑨
解①③⑨式，代入有关数据得
．
⑩
由⑤⑩式求得刚要发生碰撞时物块的速度
．
⑾
而物块的速度
．
⑿
设为两物块碰撞后的运度，由动量守恒定律有
．
⒀
刚碰后到停止运动过程中损失的机械能
．
⒁
由⒀⒁式得
．
⒂
代入有关数据得
．
类型五、多物体多过程中的守恒定律
例5．在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”．这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似．两个小球和用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态．在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板，右边有一小球沿轨道以速度射向球，如图所示．与发生碰撞并立即结合成一个整体，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变．然后，球与挡板发生碰撞，碰后都静止不动，与接触而不粘连．过一段时间，突然解除锁定（锁定与解除锁定均无机械能损失）．已知三球的质量均为，求：
（1）弹簧长度刚被锁定后球的速度；
（2）在球离开挡板之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设球与球结合成时，的速度为，由动量守恒定律，有
．
①
当弹簧压至最短时，与的速度相等，设此速度为，由动量守恒定律，有
．
②
由①②两式得的速度
．
（2）设弹簧长度被锁定后，储存在弹簧中的势能为，由能量守恒，有
．
撞击后，与的动能都为零．解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成的动能，设的速度为，则有
，
．
以后弹簧伸长，球离开挡板，并获得速度．当的速度相等时，弹簧伸至最长．设此时的速度为，由动量守恒定律，有
，
．
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒定律，有
．
解以上各式得
．
【总结升华】认真理解题意，正确把握物理过程所满足的守恒条件，是解决本题的关键．比如结合成的过程中动量守恒但机械能不守恒．
类型六、根据图象判断动量守恒
例6、滑块a、b沿水平面上同一条直线发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x随时间t变化的图像如图所示。求：
（1）滑块a、b的质量之比；
（2）整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。
【解析】（1）设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前的速度为v1、v2，由题给图像得：
，
a、b发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为v，由图像可得：
由动量守恒定律：
解得：
（2）由能量守恒得：两滑块因碰撞而损失的机械能为
由图像可知，两滑块最后停止运动
由动量定理得：两滑块克服摩擦力所做的功为：
解得：
【总结升华】能根据x-t图像读懂物体的运动状态。
类型七、动量守恒中的临界问题
例7．下雪天，卡车在笔直的高速公路上匀速行驶，司机突然发现前方停着一辆故障车，他将刹车踩到底，车轮被抱死，但卡车仍向前滑行，并撞上故障车，且推着它共同滑行了一段距离后停下．事故发生后，经测量，卡车刹车时与故障车距离为，撞车后共同滑行的距离．假定两车轮胎与雪地之间的动摩擦因数相同．已知卡车质量是故障车质量的倍．
（1）设卡车与故障车相撞前的速度为，两车相撞后的速度变为，求；
（2）卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施，事故才能免于发生？
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由碰撞过程动量守恒．
，
则
．
（2）设卡车刹车前速度为，轮胎与雪地之间的动摩擦因数为，两车相撞前卡车动能变化
，
碰撞后两车共同向前滑动，动能变化
．
又因
，
得
．
如果卡车滑到故障车前就停止，由
．
故
，
这意味卡车司机在距故障车至少处紧急刹车，事故才能够免于发生．
类型八、三个物体作用下的守恒问题
例8．如图所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板和．重物（视为质点）位于的右端，的质量相等，现和以同一速度滑向静止的．与发生正碰．碰后和粘在一起运动，在上滑行，与有摩擦力．已知滑到的右端而未掉下．试问：从发生正碰到刚移动到右端期间，所走过的距离是板长度的多少倍？
【思路点拨】明确与作用及与作用的过程以及作用过程中所遵循的规律。
【答案】
【解析】设的质量均为．碰撞前，与的共同速度为，碰撞后与的共同速度为．对，由动量守恒定律得
．
设滑至的右端时，三者的共同速度为．对，由动量守恒定律得
．
设与的动摩擦因数为，从发生碰撞到移至的右端时，所走过的距离为，对，由功能关系
．
设的长度为，对A，由功能关系
．
由以上各式解得
．
【总结升华】明确与作用及与作用的过程以及作用过程中所遵循的规律是解决此题的关键．
类型九、守恒量的探究
例9．图（a）为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块，上端固定在点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连．已知有一质量为的子弹沿水平方向以速度射入内（未穿透），接着两者一起绕点在竖直平面内做圆周运动．在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力随时间的变化关系如图（b）所示．已知子弹射入的时间极短，且图（b
）中为开始以相同速度运动的时刻．根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及一起运动过程中的守恒量，你能求出哪些定量的结果？
【答案】见解析
【解析】以往的考题都明确提出求解的物理量是什么，而本题却要求考生根据题目中的信息，自己确定能求出哪些量并将其解答．这就对考生的能力提出了新的要求，此题是一新型题，值得关注．
本题中的物理过程是：①子弹射入物块中；②系统绕点做圆周运动．
题中所涉及的物理规律是：①子弹射入中前、后动量守恒；②系统机械能守恒；③牛顿第二定律．
由图（b）可知道的是：做圆周运动的周期；在最高点时绳的拉力为零，在最低点时绳的拉力为．
射入的过程中动量守恒，则有
，
做圆周运动时，由牛顿第二定律知
最低点：
，
最高点：
，
且
，．
由于阻力忽略不计，则机械能守恒，有
，
一起运动过程中的守恒量为机械能，若以最低点为零势能参考平面，则
，
由以上各式解得各定量分别为物块的质量
，
绳的长度
，
机械能
．
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图所示，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑板与水平面的夹角依次为30°、45°、60°。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（ ）
A．a处小孩最先到O点
B．b处小孩最先到O点
C．c处小孩最先到O点
D．无法判断谁先到O点
2．如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆上，两球间连接一个保持原长的竖直轻弹簧，现给小球m2一个水平向右的初速度v0．如果两杆足够长，则在此后的运动过程中（ ）
A．m1、m2组成的系统机械能守恒
B．当
m1的速度达到最大时，m2同时速度最小
C．m1、m2组成的系统动量守恒
D．弹簧最长时，其弹性势能为m2v02
3．新华社西昌3月10日电“芯级箭体直径9.5米级、近地轨道运载能力50吨至140吨、奔月转移轨道运载能力15吨至50吨、奔火（火星）转移轨道运载能力12吨至44吨……”这是我国重型运载火箭长征九号研制中的一系列指标，已取得阶段性成果，预计将于2030年前后实现首飞。火箭点火升空，燃料连续燃烧的燃气以很大的速度从火箭喷口喷出，火箭获得推力。下列观点正确的是（ ）
A．喷出的燃气对周围空气的挤压力就是火箭获得的推力
B．因为喷出的燃气挤压空气，所以空气对燃气的反作用力就是火箭获得的推力
C．燃气被喷出瞬间，火箭对燃气的作用力就是火箭获得的推力
D．燃气被喷出瞬间，燃气对火箭的反作用力就是火箭获得的推力
4．质量为1kg的小球A以4m/s速度与质量为2kg的静止小球B正碰，关于碰后A、B的速度vA和vB，下列哪些是可能的（
）
A．
B．vA＝1m/s，vB＝2.5m/s
C．vA＝1m/s，vB＝3m/s
D．vA＝﹣4m/s，vB＝4m/s
第II卷（非选择题）
二、解答题
5．如图所示，ABC为一光滑细圆管构成的圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C．在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动．已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．
（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求释放点距A点的高度.
（2）若释放点距A点竖直高度为2R，求小球经过最低点B时轨道对小球的支持力大小.
（3）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，求小球在C点对圆管的作用力.
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