专题五
圆周运动（解析版）
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知识点一、曲线运动
（1）曲线运动的速度方向
曲线运动的速度方向是曲线切线方向，其方向时刻在变化，所以曲线运动是变速运动，一定具有加速度。
（2）曲线运动的处理方法
曲线运动大都可以看成为几个简单的运动的合运动，将其分解为简单的运动后，再按需要进行合成，便可以达到解决问题的目的。
（3）一些特别关注的问题
①加速曲线运动、减速曲线运动和匀速率曲线运动的区别
加速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹锐角
减速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹钝角
匀速率曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向成直角
注意：匀速率曲线运动并不一定是圆周运动，即合外力的方向总是跟速度方向垂直，物体不一定做圆周运动。
②运动的合成和分解与力的合成和分解一样，是基于一种重要的物理思想：等效的思想。
也就是说，将各个分运动合成后的合运动，必须与实际运动完全一样。
③运动的合成与分解是解决问题的手段
具体运动分解的方式要由解决问题方便而定，不是固定不变的。
④各个分运动的独立性是基于力的独立作用原理
也就是说，哪个方向上的受力情况和初始条件，决定哪个方向上的运动情况。
知识点二、抛体运动
（1）抛体运动的性质
所有的抛体运动都是匀变速运动，加速度是重力加速度。其中的平抛运动和斜抛运动是匀变速曲线运动。
（2）平抛运动的处理方法
通常分解为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体（或上抛运动或下抛运动）。
（3）平抛运动的物体，其飞行时间仅由抛出点到落地点的高度决定，与抛出时的初速度大小无关。
而斜抛物体的飞行时间、水平射程与抛出时的初速度的大小和方向都有关系。
（4）运动规律及轨迹方程
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动：
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：，即，
方向：v与水平方向夹角为
合位移：大小：，即，
方向：S与水平方向夹角为
一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示
知识点三、圆周运动
（1）描写圆周运动的物理量
圆周运动是人们最熟悉的、应用最广泛的机械运动，它是非匀变速曲线运动。要理解描写它的各个物理量的意义：如线速度、角速度、周期、转速、向心加速度。速度方向的变化和向心加速度的产生是理解上的重点和关键。
（2）注重理解圆周运动的动力学原因
圆周运动实际上是惯性运动和外力作用这一对矛盾的统一。
（3）圆周运动的向心力
圆周运动的向心力可以是重力、万有引力、弹力、摩擦力以及电磁力等某种性质的力;
可以是单独的一个力或几个力的合力，还可以认为是某个力的分力；向心力是按效果命名的；
注意：匀速圆周运动和变速圆周运动的区别：
匀速圆周运动的物体受到的合外力完全用来提供向心力，而在变速圆周运动中向心力是合外力的一个分量，合外力沿着切线方向的分量改变圆周运动速度的大小。
（4）向心运动和离心运动
注意需要的向心力和提供的向心力之不同，如是质量为m的物体做圆周运动时需要向心力的大小；提供的向心力是实实在在的相互作用力。需要的向心力和提供的向心力之间的关系决定着物体的运动情况，即决定着物体是沿着圆周运动还是离心运动或者向心运动。
向心运动和离心运动已经不是圆周运动，圆周运动的公式已经不再适用。
（5）解决圆周运动的方法
解决圆周运动的方法就是解决动力学问题的一般方法，学习过程中要特别注意方法的迁移和圆周运动的特点。
（6）一些特别关注的问题
①同一个转动物体上的各点的角速度相同；皮带传动、链条传动以及齿轮传动时，各轮边缘上的点的线速度大小相等。
这一结论对于解决圆周运动的运动学问题很有用处，要注意理解和应用。
②对于线速度与角速度关系的理解
公式
，是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，某一时刻的线速度、角速度与向心加速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动中的任意一个状态。
③一些临界状态
1)细线约束小球在竖直平面内的变速圆周运动
恰好做圆周运动时，在最高点处重力提供向心力，它的速度值。
2)轻杆约束小球在竖直平面内做变速圆周运动
a、最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；
b、在最高点处的速度是时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力；球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力，球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
3)在静摩擦力的约束下，物体在水平圆盘做圆周运动时：
物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。
④圆周运动瞬时变化的力
物体由直线轨道突然进入圆周轨道时，物体与轨道间的作用力会突然变化。物体在轨道上做变速圆周运动时，物体受到弹力的大小和它的速度的大小有一定的关系，在有摩擦力作用的轨道上，速度的变化往往会引起摩擦力的变化，应引起足够的注意。
类型一、运动的合成和分解
例1、如图所示，一条小船位于200
m宽的河正中A点处，从这里向下游m处有一危险区，当时水流速度为4
m/s．为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是(
)
A．
B．
C．2m/s
D．4m/s
【思路点拨】解决渡河问题时，要先弄清合运动和分运动．
【解析】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向对岸危险区上游即可，但对应最小值应为刚好指向对岸危险区边缘，如图所示．
，．
则，所以C正确．
【答案】C
【总结升华】由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动．一般只讨论时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短，此时以船速渡河；二是渡河位移最小，此时以合速度渡河．
类型二、平抛运动
例2、如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M＝km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g)
(1)求小物块下落过程中的加速度大小；
(2)求小球从管口抛出时的速度大小；
(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于．
【思路点拨】分析清楚M与m在各阶段的运动是关键。
【解析】(1)设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律，Mg-T＝Ma，
T-mgsin
30°＝ma，
且M＝km，
解得．
(2)设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0．
根据牛顿第二定律-mg
sin
30°＝ma0．
M做匀变速直线运动，，
M落地后，m做匀变速直线运动，．
解得
（k>2）
(3)平抛运动x＝v0t，
．
解得．
则，得证．
【总结升华】对于此类题目，分析清楚相关联的两个物体之间的运动制约关系是关键。
例3、
如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的长斜面体，物体A以v1=8m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。物体A上滑过程中速度减小，当速度减为零时恰好被B物体击中。已知物体A与斜面体间的动摩擦因数为0.25。（A、B均可看作质点，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）求：
（1）物体A上滑过程所用的时间t；
（2）物体B抛出时的初速度v2；
（3）物体A、B间初始位置的高度差h。
【答案】（1）t=1s；（2）x=3.2m；（3）h
=
7.4m
【解析】（1）物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：
代入数据得：a=8m/s2
设经过t时间相撞，由运动学公式：
，代入数据得：t=1s
（2）平抛物体B的水平位移：
，代入数据得：x=3.2m
平抛速度：
，代入数据得：v2=3.2m/s
（3）物体A、B间的高度差：
代入数据得：h
=
7.4m
【变式1】水平抛出一个小球，经过一段时间球速与水平方向成450角，再经过1秒球速与水平方向成600角，求小球的初速大小。
【答案】
【变式2】水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为，t＋秒内位移方向与水平方向的夹角为，重力加速度为g，忽略空气阻力，则小球初速度的大小可表示为(
)
A．
B.
C．
D．
【答案】A
【解析】t秒末的速度方向与水平方向的夹角为，则：
①
t+t0秒内位移方向与水平方向的夹角为，
则：
②
②﹣①得，．故A正确，B、C、D错误．
类型三、圆周运动中的临界问题
例4、如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度甜匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO＇之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=(1±k)
ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【思路点拨】若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小。
当ω〉ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小；当ω〈ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小。
【解析】（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω02，解得
（2）当ω=（1+k）ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律得，
fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω2，
fsin60°+mg=Nsin30°。
联立两式解得
当ω=（1－k）ω时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得，
Ncos30°－fcos60°=mRsin60°ω2，
mg=Nsin30°+fsin60°
联立两式解得。
【点评】解决本题的关键搞清物体做圆周运动向心力的来源，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解。
类型四、圆周运动中的动力学问题
例5、如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动．问：
(1)若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴所受的力；
(2)在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力的情况?如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大?
【解析】(1)令A球质量为mA，B球质量为mB，则mA＝m，mB＝3m．当A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，说明此时A球的重力提供向心力，则有mAg＝，所以．
又因为A、B两球固定在同一杆上，因此．设此时OB杆对B球的拉力为FT，则有，所以FT＝9mg．
对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则F＝FT＝9mg．由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉力为9mg，方向竖直向下．
(2)若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为，转动角速度为ω，由牛顿第二定律可得：
，
①
，
②
由①－②得：m1g+m2g＝(m1L1-m2L2)ω2，
③
从上式可见，只有当m1L1＞m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球．
由③式代入已知条件可得：(3m+m)g＝(3m·2L-mL)ω2，所以．
由上述分析可得，当杆处于竖直位置，B球在最高点，且时，水平轴不受力，此时有，．
【总结升华】本题中要注意研究对象的转换，分析轴受的作用力，先应分析小球的受力，而后用牛顿第三定律分析．
例6、如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件?在运动过程中，球对圆筒的压力多大?
【思路点拨】要使两球在圆周最高点相碰，则它们运动到最高点所用时间相同。
【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得
，求得．
Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有
(n＝0，1，2，3，…)．
两式联立再由得．
所以(n＝0，1，2，3，…)．
【总结升华】在这类题目中“时间”是联系不同运动的桥梁，且往往这类题目由于匀速圆周运动的周期性给结果带来多解性．
类型五、平抛运动的的实验
例7、如图所示，方格坐标每边长10
cm，一物体做平抛运动时分别经过O、a、b三点，重力加速度g取10m/s2，则下列结论正确的是(
)
A．O点就是抛出点
B．a点与水平方向成45°
C．速度变化量
D．小球抛出速度v＝1
m/s
E．小球经过a点的速度为m/s
F．小球抛出点的坐标为(-5cm，-1.25
cm)(以O点为坐标原点)
【思路点拨】物体竖直方向做自由落体运动，可借鉴纸带问题确定运动时间。
【答案】C、D、E、F
【解析】由于O、a、b三点水平方向距离相等，说明，若O点为抛出点，则在竖直方向连续相等时间内通过的位移之比应为1:3:5，而从上图看，竖直方向相等时间内位移之比为1:2，所以O点不是抛出点，故A错．因O到a的位移方向与水平方向成45°角，所以物体过a点时速度方向与水平方向夹角肯定大于45°，故B错．平抛运动是匀变速曲线运动．加速度恒定，所以相等时间内速度变化量相等，，故C对．
根据匀变速直线运动公式，．
得，水平方向匀速运动速度，故D对．
小球经过a点时竖直方向的分速度，
得m/s，故E对．
小球从抛出到运动到a点的时间可由求出，得0.15
s，可求得抛出点在(-5cm，-1.25cm)处，故F也对．
【变式】如图为平抛运动轨迹的一部分，已知条件如图所示。求：v0和
vb
【答案】
评卷人
得分
一、解答题
1．宇航员登上一半径为R的星球表面，为测定该星球的质量，他用长细线一端拴一小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动常称为圆锥摆运动），如图所示。若测得O点到圆面距离为h，圆锥摆的周期为T，已知万有引力常量为G。请推导出：
(1)该星球表面重力加速度g的表达式；
(2)该星球质量M的表达式。
【答案】(1)；(2)
【详解】
（1）小球做匀速圆周运动，由所受合外力提供向心力得
解得
（2）在星球表面，万有引力提供重力得
解得
2．如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OOˊ转动，OOˊ铅竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=450.两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两
臂上，并用长为L=1.2m、能承受最大拉力Fm=4.5N的轻质细线连结，环与细杆两臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍.当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取
g=10m/s2.
(1)
求杆转动角速度ω的最小值；
(2)
将杆的角速度从最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式。
【答案】(1)
(2);
【解析】（1）角速度最小时，fmax沿杆向上，此时绳处于松弛状态则
竖直方向由平衡条件得FNsin45°+fmaxcos45°=mg，
水平方向由牛顿第二定律得FNcos45°-fmaxsin45°=mω12r，
且fmax=0.2FN，r=
，
解得ω1=
≈3.33rad/s????????????????
（2）当fmax沿杆向下时，绳仍处于松弛状态，有
竖直方向由平衡条件得FNsin45°=fmaxcos45°+mg，
水平方向由牛顿第二定律得FNcos45°+fmaxsin45°=mω22r，
解得ω2=5rad/s????????????????
此后，拉力随ω的增大而变大，当细线拉力刚达到最大时，有
FNsin45°-fmaxcos45°=mg
Fmax+FNcos45°+fmaxsin45°=mω32r，
解得ω3=10rad/s????????????
因此在ω2～ω3间，F拉＝mω2r?FNcos45°+fmaxsin45°
所以拉力随角速度的函数关系式为：F拉=0（rad/s≤ω≤5rad/s）；
F拉＝0.06ω2?1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）
点睛：本题关键是受力分析后明确向心力来源，然后根据牛顿第二定律列式求解；知道角速度最小时，环受重力、支持力和最大静摩擦力（沿杆向上）；细线断裂前瞬间，环受重力、拉力、支持力和最大静摩擦力（沿杆向下）；
3．描述物体绕圆心转动快慢的物理量可以用角速度，周期和频率．（____）
【答案】√
【详解】
描述物体绕圆心转动快慢的物理量可以用角速度，周期和频率，此说法正确。
4．如图所示，把质量为0.6
kg的物体A放在水平转盘上，A的重心到转盘中心O点的距离为0.2
m，若A与转盘间的最大静摩擦力为3
N，g＝10
m/s2，求：
(1)转盘绕中心O以ω
=
2
rad
/
s的角速度旋转，A相对转盘静止时，转盘对A摩擦力的大小与方向．
(2)为使物体A相对转盘静止，转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．
【答案】(1)0.48N,沿OA所在半径指向圆心O；
（2）
【解析】
试题分析：（1）物体做圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，根据f=mrω2，求出物体受到的摩擦力．
（2）静摩擦力提供圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度．
（1）静摩擦力提供向心力，有．故转盘绕中心O以的角速度旋转时，A受到的摩擦力大小为0.48N，方向指向圆心．
（2）当A所受最大静摩擦力提供向心力时，转盘绕中心O旋转的角速度ω最大，
由，解得：
则角速度ω的取值范围为：
5．一个2kg的钢球做匀速圆周运动，线速度是62.8m/s，又已知半径是20米，试求物体做圆周运动的：
(1)角速度的大小；
(2)周期的大小；
(3)向心力大小。
【答案】(1)3.14rad/s；(2)2s；(3)394N
【详解】
(1)根据可知
(2)根据可知
(3)根据可知
6．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度是多大？
【答案】0.24m/s2，0.06m/s2
【详解】
大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等，由aA=和aB=得
aB=aA=2×0.12m/s2=0.24m/s2
C点和A点同在大轴上，角速度相同，由aA=ω2R和aC=ω2得
aC==×0.12m/s2=0.06m/s2
7．你坐过游乐场中的离心机吗?试分析，当离心机转动起来后，转盘里的人将怎样运动?他们会有什么感觉?当转速不断增大时，贴在筒壁上的人会有什么感觉?为什么?
【答案】离心运动．站不住会向外侧运动，筒壁挤压，筒壁的弹力充当向心力
【解析】
人坐在离心机上受力分析可知，重力mg等于支持力
当离心机转动后，人有沿着半径向外的趋势，受静摩擦力提供向心列，即，
故转动加快后，人站不住会向外侧运动,当时，有离心运动的感觉．
当转动加快后贴在筒壁上后，筒壁挤压，筒壁的弹力充当向心力.
【点睛】本题研究了匀速圆周运动、向心运动、离心运动、匀速直线运动等各种运动的条件，以及各种运动的转换．
h
θ
v1
v2
A
B
PAGE
14专题五
圆周运动（原卷版）
知识点一、曲线运动
（1）曲线运动的速度方向
曲线运动的速度方向是曲线切线方向，其方向时刻在变化，所以曲线运动是变速运动，一定具有加速度。
（2）曲线运动的处理方法
曲线运动大都可以看成为几个简单的运动的合运动，将其分解为简单的运动后，再按需要进行合成，便可以达到解决问题的目的。
（3）一些特别关注的问题
①加速曲线运动、减速曲线运动和匀速率曲线运动的区别
加速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹锐角
减速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹钝角
匀速率曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向成直角
注意：匀速率曲线运动并不一定是圆周运动，即合外力的方向总是跟速度方向垂直，物体不一定做圆周运动。
②运动的合成和分解与力的合成和分解一样，是基于一种重要的物理思想：等效的思想。
也就是说，将各个分运动合成后的合运动，必须与实际运动完全一样。
③运动的合成与分解是解决问题的手段
具体运动分解的方式要由解决问题方便而定，不是固定不变的。
④各个分运动的独立性是基于力的独立作用原理
也就是说，哪个方向上的受力情况和初始条件，决定哪个方向上的运动情况。
知识点二、抛体运动
（1）抛体运动的性质
所有的抛体运动都是匀变速运动，加速度是重力加速度。其中的平抛运动和斜抛运动是匀变速曲线运动。
（2）平抛运动的处理方法
通常分解为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体（或上抛运动或下抛运动）。
（3）平抛运动的物体，其飞行时间仅由抛出点到落地点的高度决定，与抛出时的初速度大小无关。
而斜抛物体的飞行时间、水平射程与抛出时的初速度的大小和方向都有关系。
（4）运动规律及轨迹方程
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动：
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：，即，
方向：v与水平方向夹角为
合位移：大小：，即，
方向：S与水平方向夹角为
一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示
知识点三、圆周运动
（1）描写圆周运动的物理量
圆周运动是人们最熟悉的、应用最广泛的机械运动，它是非匀变速曲线运动。要理解描写它的各个物理量的意义：如线速度、角速度、周期、转速、向心加速度。速度方向的变化和向心加速度的产生是理解上的重点和关键。
（2）注重理解圆周运动的动力学原因
圆周运动实际上是惯性运动和外力作用这一对矛盾的统一。
（3）圆周运动的向心力
圆周运动的向心力可以是重力、万有引力、弹力、摩擦力以及电磁力等某种性质的力;
可以是单独的一个力或几个力的合力，还可以认为是某个力的分力；向心力是按效果命名的；
注意：匀速圆周运动和变速圆周运动的区别：
匀速圆周运动的物体受到的合外力完全用来提供向心力，而在变速圆周运动中向心力是合外力的一个分量，合外力沿着切线方向的分量改变圆周运动速度的大小。
（4）向心运动和离心运动
注意需要的向心力和提供的向心力之不同，如是质量为m的物体做圆周运动时需要向心力的大小；提供的向心力是实实在在的相互作用力。需要的向心力和提供的向心力之间的关系决定着物体的运动情况，即决定着物体是沿着圆周运动还是离心运动或者向心运动。
向心运动和离心运动已经不是圆周运动，圆周运动的公式已经不再适用。
（5）解决圆周运动的方法
解决圆周运动的方法就是解决动力学问题的一般方法，学习过程中要特别注意方法的迁移和圆周运动的特点。
（6）一些特别关注的问题
①同一个转动物体上的各点的角速度相同；皮带传动、链条传动以及齿轮传动时，各轮边缘上的点的线速度大小相等。
这一结论对于解决圆周运动的运动学问题很有用处，要注意理解和应用。
②对于线速度与角速度关系的理解
公式
，是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，某一时刻的线速度、角速度与向心加速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动中的任意一个状态。
③一些临界状态
1)细线约束小球在竖直平面内的变速圆周运动
恰好做圆周运动时，在最高点处重力提供向心力，它的速度值。
2)轻杆约束小球在竖直平面内做变速圆周运动
a、最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；
b、在最高点处的速度是时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力；球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力，球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
3)在静摩擦力的约束下，物体在水平圆盘做圆周运动时：
物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。
④圆周运动瞬时变化的力
物体由直线轨道突然进入圆周轨道时，物体与轨道间的作用力会突然变化。物体在轨道上做变速圆周运动时，物体受到弹力的大小和它的速度的大小有一定的关系，在有摩擦力作用的轨道上，速度的变化往往会引起摩擦力的变化，应引起足够的注意。
类型一、运动的合成和分解
例1、如图所示，一条小船位于200
m宽的河正中A点处，从这里向下游m处有一危险区，当时水流速度为4
m/s．为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是(
)
A．
B．
C．2m/s
D．4m/s
【思路点拨】解决渡河问题时，要先弄清合运动和分运动．
【解析】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向对岸危险区上游即可，但对应最小值应为刚好指向对岸危险区边缘，如图所示．
，．
则，所以C正确．
【答案】C
【总结升华】由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动．一般只讨论时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短，此时以船速渡河；二是渡河位移最小，此时以合速度渡河．
类型二、平抛运动
例2、如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M＝km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g)
(1)求小物块下落过程中的加速度大小；
(2)求小球从管口抛出时的速度大小；
(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于．
【思路点拨】分析清楚M与m在各阶段的运动是关键。
【解析】(1)设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律，Mg-T＝Ma，
T-mgsin
30°＝ma，
且M＝km，
解得．
(2)设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0．
根据牛顿第二定律-mg
sin
30°＝ma0．
M做匀变速直线运动，，
M落地后，m做匀变速直线运动，．
解得
（k>2）
(3)平抛运动x＝v0t，
．
解得．
则，得证．
【总结升华】对于此类题目，分析清楚相关联的两个物体之间的运动制约关系是关键。
例3、.
如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的长斜面体，物体A以v1=8m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。物体A上滑过程中速度减小，当速度减为零时恰好被B物体击中。已知物体A与斜面体间的动摩擦因数为0.25。（A、B均可看作质点，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）求：
（1）物体A上滑过程所用的时间t；
（2）物体B抛出时的初速度v2；
（3）物体A、B间初始位置的高度差h。
【答案】（1）t=1s；（2）x=3.2m；（3）h
=
7.4m
【解析】（1）物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：
代入数据得：a=8m/s2
设经过t时间相撞，由运动学公式：
，代入数据得：t=1s
（2）平抛物体B的水平位移：
，代入数据得：x=3.2m
平抛速度：
，代入数据得：v2=3.2m/s
（3）物体A、B间的高度差：
代入数据得：h
=
7.4m
【变式1】水平抛出一个小球，经过一段时间球速与水平方向成450角，再经过1秒球速与水平方向成600角，求小球的初速大小。
【变式2】水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为，t＋秒内位移方向与水平方向的夹角为，重力加速度为g，忽略空气阻力，则小球初速度的大小可表示为(
)
A．
B.
C．
D．
类型三、圆周运动中的临界问题
例4、如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度甜匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO＇之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=(1±k)
ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【思路点拨】若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小。
当ω〉ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小；当ω〈ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小。
【解析】（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω02，解得
（2）当ω=（1+k）ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律得，
fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω2，
fsin60°+mg=Nsin30°。
联立两式解得
当ω=（1－k）ω时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得，
Ncos30°－fcos60°=mRsin60°ω2，
mg=Nsin30°+fsin60°
联立两式解得。
【点评】解决本题的关键搞清物体做圆周运动向心力的来源，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解。
类型四、圆周运动中的动力学问题
例5、如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动．问：
(1)若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴所受的力；
(2)在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力的情况?如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大?
【解析】(1)令A球质量为mA，B球质量为mB，则mA＝m，mB＝3m．当A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，说明此时A球的重力提供向心力，则有mAg＝，所以．
又因为A、B两球固定在同一杆上，因此．设此时OB杆对B球的拉力为FT，则有，所以FT＝9mg．
对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则F＝FT＝9mg．由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉力为9mg，方向竖直向下．
(2)若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为，转动角速度为ω，由牛顿第二定律可得：
，
①
，
②
由①－②得：m1g+m2g＝(m1L1-m2L2)ω2，
③
从上式可见，只有当m1L1＞m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球．
由③式代入已知条件可得：(3m+m)g＝(3m·2L-mL)ω2，所以．
由上述分析可得，当杆处于竖直位置，B球在最高点，且时，水平轴不受力，此时有，．
【总结升华】本题中要注意研究对象的转换，分析轴受的作用力，先应分析小球的受力，而后用牛顿第三定律分析．
例6、如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件?在运动过程中，球对圆筒的压力多大?
【思路点拨】要使两球在圆周最高点相碰，则它们运动到最高点所用时间相同。
【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得
，求得．
Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有
(n＝0，1，2，3，…)．
两式联立再由得．
所以(n＝0，1，2，3，…)．
【总结升华】在这类题目中“时间”是联系不同运动的桥梁，且往往这类题目由于匀速圆周运动的周期性给结果带来多解性．
类型五、平抛运动的的实验
例7、如图所示，方格坐标每边长10
cm，一物体做平抛运动时分别经过O、a、b三点，重力加速度g取10m/s2，则下列结论正确的是(
)
A．O点就是抛出点
B．a点与水平方向成45°
C．速度变化量
D．小球抛出速度v＝1
m/s
E．小球经过a点的速度为m/s
F．小球抛出点的坐标为(-5cm，-1.25
cm)(以O点为坐标原点)
【思路点拨】物体竖直方向做自由落体运动，可借鉴纸带问题确定运动时间。
【答案】C、D、E、F
【解析】由于O、a、b三点水平方向距离相等，说明，若O点为抛出点，则在竖直方向连续相等时间内通过的位移之比应为1:3:5，而从上图看，竖直方向相等时间内位移之比为1:2，所以O点不是抛出点，故A错．因O到a的位移方向与水平方向成45°角，所以物体过a点时速度方向与水平方向夹角肯定大于45°，故B错．平抛运动是匀变速曲线运动．加速度恒定，所以相等时间内速度变化量相等，，故C对．
根据匀变速直线运动公式，．
得，水平方向匀速运动速度，故D对．
小球经过a点时竖直方向的分速度，
得m/s，故E对．
小球从抛出到运动到a点的时间可由求出，得0.15
s，可求得抛出点在(-5cm，-1.25cm)处，故F也对．
【变式】如图为平抛运动轨迹的一部分，已知条件如图所示。求：v0和
vb
评卷人得分
一、解答题
1．宇航员登上一半径为R的星球表面，为测定该星球的质量，他用长细线一端拴一小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动常称为圆锥摆运动），如图所示。若测得O点到圆面距离为h，圆锥摆的周期为T，已知万有引力常量为G。请推导出：
(1)该星球表面重力加速度g的表达式；
(2)该星球质量M的表达式。
2．如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OOˊ转动，OOˊ铅竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=450.两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两
臂上，并用长为L=1.2m、能承受最大拉力Fm=4.5N的轻质细线连结，环与细杆两臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍.当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取
g=10m/s2.
(1)
求杆转动角速度ω的最小值；
(2)
将杆的角速度从最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式。
3．描述物体绕圆心转动快慢的物理量可以用角速度，周期和频率．（____）
4．如图所示，把质量为0.6
kg的物体A放在水平转盘上，A的重心到转盘中心O点的距离为0.2
m，若A与转盘间的最大静摩擦力为3
N，g＝10
m/s2，求：
(1)转盘绕中心O以ω
=
2
rad
/
s的角速度旋转，A相对转盘静止时，转盘对A摩擦力的大小与方向．
(2)为使物体A相对转盘静止，转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．
5．一个2kg的钢球做匀速圆周运动，线速度是62.8m/s，又已知半径是20米，试求物体做圆周运动的：
(1)角速度的大小；
(2)周期的大小；
(3)向心力大小。
6．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度是多大？
7．你坐过游乐场中的离心机吗?试分析，当离心机转动起来后，转盘里的人将怎样运动?他们会有什么感觉?当转速不断增大时，贴在筒壁上的人会有什么感觉?为什么?
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