专题一
直线运动的规律及应用（解析版）
1．基本规律
2．匀变速直线运动的两个重要推论
（1）相同时间内的位移差：Δx＝aT2，xm－xn＝(m－n)aT2．
（2）在一段时间内平均速度等于期中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：=vt/2=1/2(v0+vt)
中间位置的瞬时速率vs/2=
3．初速度为零的匀变速直线运动的特点（设T为等分时间间隔）
(1)．1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n．
(2)．1T内、2T内、3T内……位移的比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2．
(3)．第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)．
(4)．通过连续相等的位移所用时间的比为
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
4．匀变速直线运动的图象
x
?t图象
v
?t图象
轴
纵轴——位移横轴——时间
纵轴——速度横轴——时间
线
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
斜率
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
点
两线交点表示两物体相遇
两线交点表示两物体该时刻速度相同
面积
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
截距
在纵轴上的截距表示t＝0时的位移
在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
1．研究匀变速直线运动的常规方法
（1）基本方法：公式v＝v0＋at、x＝v0t＋at2、v2－v＝2ax是研究匀变速直线运动的最基本的规律，合理地运用和选择三式是求解运动学问题最常用的基本方法．
（2）特殊方法
①平均速度法：定义式=x/t对任何性质的运动都适用，而=只适用于匀变速直线运动．
在匀变速直线运动中，有一类是质点在其中某段时间t内走过的位移为s（或某段时间t内的平均速度），要求某一未知物理量的题型，如果巧用“vt/2=”这一关系式便可以简化解题过程．
②利用Δx＝aT2：在匀变速直线运动中，第n个T时间内的位移和第m个T时间内的位移之差xm－xn＝(m－n)aT2?．
③“逆向思维”法：逆向过程处理（逆向思维法）是把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，如物体做减速运动可看成反向的加速运动处理．该方法一般用在末状态已知的情况．
④图象法：运动图象主要包括x－t图象和v－t图象，图象的最大优点就是直观，利用图象分析问题时，要注意以下几个方面：
a．图象与坐标轴交点的意义；
b．图象斜率的意义；
c．图象与坐标轴围成的面积的意义；
d．两图线交点的意义．
2．竖直上抛运动的规律和研究方法
（1）对称性和多解性
①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向．
②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等．
③多解：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，出现多解，在分析问题时注意这个特点．
（2）两种研究方法
①分段法：上升阶段是匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动．下落过程是上升过程的逆过程．
②整体法：从全程来看，加速度方向始终与初速度v0的方向相反，所以可把竖直上抛运动看成是一个匀变速直线运动，要特别注意v0、vt?、g、h等矢量的正负号．一般选取竖直向上为正方向，v0总是正值，上升过程中vt为正值，下降过程vt为负值；物体在抛出点以上时h为正值，物体在抛出点以下时h为负值．
3．追及、相遇问题的基本思路和常用方法
（1）基本思路
（2）寻找问题中隐含的临界条件
例如：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）；
①当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离．
②若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件．
③若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值．
总之，追及相遇问题的基本思路寻找并列出三个关系方程，分别是位移关系方程，速度关系方程和时间关系方程．
（3）常用分析方法
①物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．
②相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的运动关系．
③极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关系t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若△＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若△=0，说明刚好追上或相遇；若△＜0，说明追不上或不能相碰．
④图象法：将两者的速度一时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．
考点一
直线运动的图象问题
【典例1】在四川省抗震救灾过程中，某空降兵从飞机上跳下，先做自由落体运动，在t1时刻速度达最大值v1，此时打开降落伞，做减速运动，在t2时刻以较小速度v2着地。他的速度图象如图所示．该空降兵在0~t1或t?1~t2时间内的平均速度是（
）
A．0~t1时间内，=
B．t?1~t2时间内，=
C．t?1~t2时间内，＞
D．t?1~t2时间内，＜
【思路点拔】速度图线覆盖下的面积即为其对应时间的位移，位移除以对应时间即为平均速度的大小。
【答案】A
D
【解析】在0~t1时间内，空降兵做自由落体运动，由匀变速运动的规律得=，选项A正确；在t?1~t2时间内，空降兵做加速度减小的减速运动，公式=不再成立，选项B错误；
连接点（t1，t2）和点（t2，v2）作直线，如图所示，
若t?1~t2时间内匀减速运动，则该段时间内的平均速度==，由阴影部分的面积数值表示位移大小得：空降兵减速过程的位移大小小于匀减速过程的位移大小，故＜，C错D对．
【规律方法】对直线运动的v—t图象的分析，要紧抓以下几个方面：
（1）v—t图线是直线，表示物体做匀变速直线运动，若是曲线，表示物体做非匀变速直线运动，斜率变大，加速度变大；斜率变小，加速度变小．
（2）v—t图线与时间轴所围成的面积数值表示相应时间内物体位移的大小．
【典例2】(2019·广东“六校联盟”模拟)a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的位移－时间图象如图所示，物体c的位移－时间图线是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法正确的是( )
A．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同
B．a、b两物体都做匀变速直线运动，两个物体的加速度大小相等，方向相反
C．物体c一定做变速曲线运动
D．在0～5
s内，当t＝5
s时，a、b两个物体相距最远
【思路点拨】 由图象分析知，a沿正方向做匀速直线运动，b沿负方向做匀速直线运动，c沿正方向做匀加速直线运动，再结合x－t图线的斜率表示速度进行判断．
【答案】 D
【解析】 在位移－时间图象中，倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，可知a、b两物体都做匀速直线运动，速度大小相等，但方向相反，选项A、B均错误；对于匀变速直线运动，由公式x＝v0t＋at2知，其x－t图象是抛物线，所以物体c一定做匀加速直线运动，选项C错误；由图象知，a、b从同一位置(即x＝10
m处)开始做匀速直线运动，a沿正方向运动，b沿负方向运动，当t＝5
s时，a、b两个物体相距最远，选项D正确．
【规律方法】对直线运动的x—t图象的分析，要紧抓以下几个方面：
（1）x—t图线是直线，表示物体做匀速直线运动，若是曲线，表示物体做变速直线运动，斜率变大，速度变大；斜率变小，速度变小．若是抛物线则表示物体做匀变速直线运动
（2）x—t图线与时间轴所围成的面积无意义．
考点二
匀变速直线运动规律的应用
【典例3】航天飞机是一种垂直起飞、水平降落的载人航天器．航天飞机降落在平直跑道上，其减速过程可简化为两个匀减速直线运动阶段．航天飞机以水平速度v0着陆后立即打开减速阻力伞(如图)，加速度大小为a1，运动一段时间后速度减为v；随后在无减速阻力伞情况下匀减速运动直至停下．已知两个匀减速滑行过程的总时间为t，求：
(1)第二个匀减速运动阶段航天飞机减速的加速度大小a2；
(2)航天飞机着陆后滑行的总路程x.
【思路点拨】分析运动过程，应用速度相等和时间关系、位移关系列方程，并结合运动学公式求解．
【答案】：(1) (2)eq
\f(va1t－vv0＋v,2a1)
【解析】：(1)第一个匀减速阶段运动的时间
t1＝＝，
第二个匀减速阶段运动的时间t2＝t－t1，
得t2＝t－，
由0＝v－a2t2，
得a2＝.
(2)第一个匀减速阶段的位移大小
x1＝eq
\f(v2－v,－2a1)＝eq
\f(v－v2,2a1)，
第二个匀减速阶段的位移大小
x2＝＝，
所以航天飞机着陆后滑行的总路程
x＝x1＋x2＝eq
\f(va1t－vv0＋v,2a1).
考点三
追及与相遇问题的分析
【典例4】(2019·河南中原名校第三次联考)如图所示，在两车道的公路上有黑白两辆车，黑色车停在A线位置，某时刻白色车以速度v1＝40
m/s通过A线后，立即以大小为a1＝4
m/s2的加速度开始制动减速，黑色车4
s后以a2＝4
m/s2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B线位置．两车可看成质点．从白色车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车的速度大小．
【思路点拨】 (1)黑色车从A线开始运动的时刻比白色车经过A线时晚4
s.
(2)黑色车由A线到B线一直做匀加速直线运动．
(3)判断白色车停止运动时黑色车是否追上白色车．
【答案】 14
s 40
m/s
【解析】 设白色车停下来所需的时间为t1，减速过程通过的距离为x1，则v1＝a1t1
v＝2a1x1
解得x1＝200
m，t1＝10
s
在t1＝10
s时，设黑色车通过的距离为x2，
则x2＝a2(t1－t0)2
解得x2＝72
mm
所以白色车停止运动时黑色车没有追上它，则白色车停车位置就是B线位置．
设经过时间t两车都到达B线位置，此时黑色车的速度为v2，则x1＝a2(t－t0)2
v2＝a2(t－t0)
解得t＝14
s，v2＝40
m/s.
考点四
竖直上抛运动规律的应用
【典例5】
(2019·全国卷Ⅰ，18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足( )
A.1＜＜2
B.2＜＜3
C.3＜＜4
D.4＜＜5
【思路点拨】本题应用逆向思维求解，即运动员的竖直上抛运动可等同于从一定高度处开始的自由落体运动，
【答案】 C
【解析】应用逆向思维求解，所以第四个所用的时间为t2＝，第一个所用的时间为t1＝－，因此有＝＝2＋，即3＜＜4，选项C正确。
【规律方法】
分段法
上升阶段：a＝－g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)若v>0，物体上升，若v<0，物体下落若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
一、选择题
1.如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中A、B之间的距离l1＝2.5
m，B、C之间的距离l2＝3.5
m。若物体通过l1、l2这两段位移的时间相等，则O、A之间的距离l等于( )
A.0.5
m
B.1.0
m
C.1.5
m
D.2.0
m
【答案】 D
【解析】 设物体的加速度为a，通过l1、l2两段位移所用的时间均为T，则有
vB＝＝
根据匀变速直线运动规律可得Δl＝l2－l1＝aT2＝1
m
所以l＝eq
\f(v,2a)－l1＝2.0
m，故D正确。
2.(多选)如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面高度之比为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1。若先后顺次释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
A.三者到达桌面时的速度大小之比是∶∶1
B.三者运动时间之比为3∶2∶1
C.b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D.三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比
【答案】 AC
【解析】 由v2＝2gh，得v＝，故v1∶v2∶v3＝∶∶1，选项A正确；由t＝得三者运动的时间之比t1∶t2∶t3＝∶∶1，选项B错误；b与a开始下落的时间差Δt1＝(－)，c与b开始下落的时间差Δt2＝(－1)，选项C正确；三个小球的加速度与重力及质量无关，都等于重力加速度，选项D错误。
3.(2019·南京市鼓楼区模拟)如图所示，一辆轿车和一辆卡车在同一平直的公路上相向匀速直线运动，速度大小均为30
m/s。为了会车安全，两车车头距离为100
m时，同时开始减速，轿车和卡车的加速度大小分别为5
m/s2和10
m/s2，两车减到速度为20
m/s时，又保持匀速直线运动，轿车车身全长5
m，卡车车身全长15
m，则两车的错车时间为( )
A.0.3
s
B.0.4
s
C.0.5
s
D.0.6
s
【答案】 C
【解析】 设轿车减速到v＝20
m/s所需时间为t1，运动的位移为x1，则有t1＝＝
s＝2
s，x1＝t1＝×2
m＝50
m，设卡车减速到v＝20
m/s所需时间为t2，运动的位移为x2，则有t2＝＝
s＝1
s，x2＝t2＝×1
m＝25
m，故在2
s末，两车车头的间距Δx＝L－x1－x2－v(t1－t2)＝5
m，2
s后，两车车头相遇还需要的时间为t′，则有Δx＝2vt′，解得t′＝
s，两车车尾相遇还需要的时间为t″，则有Δx＋5
m＋15
m＝2vt″，解得t″＝
s，故错车时间Δt＝t″－t′＝0.5
s，故C正确，A、B、D错误。
4.一位乘客站在倾斜扶梯的水平台阶上随扶梯以1
m/s的速度匀速向上运动，某时被告知扶梯顶端板塌陷，乘客立即按下扶梯中部的紧急停止按钮，此时他距扶梯顶部4
m，扶梯经过2
s后停下，此过程乘客可以看做随扶梯做匀减速运动，下列说法正确的是( )
A.紧急停止过程中，乘客所受摩擦力方向沿扶梯斜向下
B.紧急停止过程中，乘客处于超重状态
C.在紧急停止过程中，乘客沿扶梯方向向上运动的位移为0.6
m
D.若乘客因慌乱寻找紧急停止按钮耽误了3.5
s，则乘客可能会遇到危险
【答案】 D
【解析】 紧急停止过程中，乘客斜向上做匀减速运动，加速度斜向下，则对站在水平台阶上的乘客，加速度有水平向后的分量，即所受的摩擦力水平向后，A项错误；紧急停止过程中，乘客的加速度有竖直向下的分量，则处于失重状态，B项错误；扶梯停止经过的位移L＝t＝1
m，C项错误；若乘客因慌乱寻找紧急停止按钮耽误了3.5
s时间，则乘客开始减速时，离顶端位移为x′＝4
m－3.5×1
m＝0.5
m；而减速过程位移为1
m，则可知，电梯停止时，乘客已到达顶端，可能遭遇危险，故D项正确。
5.一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1
s内和第2
s内位移大小依次为9
m和7
m，则刹车后6
s内的位移是
( )
A．20
m B．24
m
C．25
m
D．75
m
【答案】 C
【解析】 设汽车的初速度为v0，加速度为a，根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得x2－x1＝aT2，解得a＝＝
m/s2＝－2
m/s2；汽车第1
s内的位移x1＝v0t＋at2，代入数据解得v0＝10
m/s；汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝
s＝5
s，则汽车刹车后6
s内的位移等于5
s内的位移，则x＝t0＝×5
m＝25
m，故C正确，A、B、D错误．
6.我国ETC(电子不停车收费系统)已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间。一辆汽车以20
m/s的速度驶向高速收费口，到达自动收费装置前开始做匀减速直线运动，经4
s的时间速度减为5
m/s且收费完成，司机立即加速，产生的加速度大小为2.5
m/s2，汽车可视为质点。则下列说法正确的是( )
A.汽车开始减速时距离自动收费装置110
m
B.汽车加速4
s后速度恢复到20
m/s
C.汽车从开始减速至速度恢复到20
m/s通过的总路程为125
m
D.汽车由于通过自动收费装置耽误的时间为4
s
【答案】 C
【解析】 汽车开始减速时到自动收费装置的距离为x1＝×(20＋5)×4
m＝50
m，故A错误；汽车加速4
s后速度为v＝15
m/s，故B错误；汽车从5
m/s加速到20
m/s通过的路程为x2＝
m＝75
m，所以汽车从开始减速至速度恢复到20
m/s通过的总路程为x1＋x2＝125
m，故C正确；汽车从5
m/s加速到20
m/s的时间t2＝
s＝6
s，所以总时间t总＝4
s＋t2＝10
s，汽车以20
m/s的速度匀速通过125
m需要的时间是6.25
s，所以耽误了3.75
s，故D错误。
7.(2019·河南十校联考)汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它在前3
s内的平均速度为
( )
A．6
m/s
B．8
m/s
C．10
m/s
D．12
m/s
【答案】B
【解析】将题目中的表达式与x＝v0t＋at2比较可知：v0＝24
m/s，a＝－12
m/s2.所以由v＝v0＋at可得汽车从刹车到静止的时间为t＝
s＝2
s，由此可知第3
s内汽车已经停止，汽车运动的位移x＝24×2
m－6×22
m＝24
m，故平均速度v＝＝
m/s＝8
m/s.
8.水比赛在天津奥体中心游泳跳水馆进行，重庆选手施廷懋以总成绩409.20分获得跳水女子三米板冠军．某次比赛从施廷懋离开跳板开始计时，在t2时刻施廷懋以速度v2入水，取竖直向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是( )
A．在0～t2时间内，施廷懋运动的加速度大小先减小后增大
B．在t1～t3时间内，施廷懋先沿正方向运动再沿负方向运动
C．在0～t2时间内，施廷懋的平均速度大小为
D．在t2～t3时间内，施廷懋的平均速度大小为
【答案】C
【解析】：.v－t图象的斜率等于加速度，在0～t2时间内，施廷懋运动的加速度保持不变，A错误；运动方向由速度的正负决定，横轴下方速度为负值，施廷懋沿负方向运动，横轴上方速度为正值，施廷懋沿正方向运动，在t1～t3时间内，施廷懋一直沿正方向运动，B错误；0～t2时间内，根据匀变速直线运动的平均速度公式可知，施廷懋运动的平均速度大小为，C正确；匀变速直线运动的平均速度大小等于初速度和末速度的平均值，而加速度变化时，平均速度大小应用平均速度的定义式求解．若在t2～t3时间内，施廷懋做匀减速运动，则她的平均速度大小为，根据v－t图线与坐标轴所围面积表示位移可知，在t2～t3时间内施廷懋的实际位移小于她在这段时间内做匀减速运动的位移，故在t2～t3时间内，施廷懋的平均速度小于，D错误．
9.(多选)(2019·山东德州模拟)为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所示是动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图象，下列说法正确的是( )
A．动力车的初速度为20
m/s
B．刹车过程动力车的加速度大小为5
m/s2
C．刹车过程持续的时间为10
s
D．从开始刹车时计时，经过6
s，动力车的位移为30
m
【答案】AB
【解析】：.根据v2－v＝2ax得x＝v2－v，结合图象有＝－
s2/m，－v＝40
m，解得a＝－5
m/s2，v0＝20
m/s，选项A、B正确；刹车过程持续的时间t＝＝4
s，选项C错误；从开始刹车时计时，经过6
s，动力车的位移等于其在前4
s内的位移，x4＝t＝40
m，选项D错误．
10.(2019·西安一中期中)如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x?t)图象．由图象可知，下列说法错误的是
( )
A．在时刻t1，b车追上a车
B．在时刻t2，a车的加速度小于b车的加速度
C．在t1到t2这段时间内，a和b两车的路程相等
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
【答案】：C
【解析】：由图知在时刻t1，a
、b两车的位置坐标相同，到达同一位置，而开始时b的位移大于a的位移，所以可以确定在时刻t1，b追上a，故A正确；a图线的斜率不变，说明其速度不变，做匀速运动，加速度为零，b做变速运动，加速度不为零，所以可以确定在时刻t2，a车的加速度小于b车的加速度，故B正确；在t1到t2这段时间内，a和b两车初末位置相同，位移相同，但运动轨迹不同，路程不相等，故C错误；位移—时间图线切线的斜率表示速度，在t1到t2这段时间内，b车图线斜率先减小后增大，则b车的速率先减小后增大，故D正确．
11．(2019·百校联盟金卷)如图所示的v
?t图象中，直线表示甲物体从A地向B地运动的v
?t图象；折线表示同时开始运动的乙物体由静止从A地向B地运动的v
?t图象．下列说法正确的是( )
A．在t＝4
s时，甲、乙两物体相遇
B．在t＝4
s时，甲、乙两物体相距最远
C．在0～2
s内，甲、乙两物体的加速度大小相等
D．在2～4
s内，乙物体处于静止状态
【答案】：B
【解析】：据v
?t图象与坐标轴所围成的面积表示位移，可得t＝4
s时，甲的位移和乙的位移不相等，刚开始甲的速度最大，故是乙追甲，当两者速度相等时，甲、乙相距最远，A错误，B正确；根据加速度的定义可得，在0～2
s内，甲物体的加速度为a甲＝
m/s2＝－10
m/s2，乙物体的加速度为a乙＝
m/s2＝20
m/s2，两者的加速度大小在这段时间内不相等，选项C错误；在2～4
s内，乙物体处于匀速运动状态，D错误．
12.(多选)将某物体以30
m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2.5
s内物体的( )
A．路程为65
m
B．位移大小为25
m，方向竖直向上
C．速度改变量的大小为10
m/s
D．平均速度大小为13
m/s，方向竖直向上
【答案】：AB
【解析】：物体的初速度v0＝30
m/s，g＝10
m/s2，其上升时间t1＝＝3
s，上升高度h1＝eq
\f(v,2g)＝45
m；下降时间t2＝5
s－t1＝2
s，下降高度h2＝gt＝20
m．末速度v＝gt2＝20
m/s，方向竖直向下．故5
s内的路程s＝h1＋h2＝65
m；位移x＝h1－h2＝25
m，方向竖直向上；速度改变量Δv＝v－(－v0)＝50
m/s，表示方向竖直向下；平均速度v＝＝5
m/s，方向竖直向上．综上可知，选项A、B正确．
二、计算题
13．校车交通安全问题已成为社会关注的热点，国务院发布的《校车安全管理条例》将校车安全问题纳入法制轨道。若校车以v0＝72
km/h的速度行驶，司机发现在x＝33
m远处有人开始横穿马路，立即采取刹车措施。已知司机的反应时间t1＝0.75
s，刹车的加速度大小为4
m/s2。
(1)从司机发现情况至汽车走完33
m距离，经过多长时间？此时车速多大？
(2)如果行人横穿20
m宽的马路，横穿速度为5
m/s，行人是否可能有危险？
(3)《校车安全管理条例》规定：校车运行中，如遇到意外情况，驾驶员按下安全按钮，校车车速会迅速降至v0′＝7.2
km/h以下，如果按(2)中条件，此时行人横穿马路是否有危险？
【答案】 (1)1.75
s 16
m/s (2)可能有危险 (3)没有危险
【解析】 (1)由题可知v0＝72
km/h＝20
m/s，在t1＝0.75
s的反应时间内，校车行驶距离
x1＝v0t1＝15
m
开始刹车后校车匀减速行驶，加速度大小
a＝4
m/s2
设匀减速行驶的时间为t2，则有
x－x1＝v0t2－at
解得t2＝1
s
此时校车速度v2＝v0－at2＝16
m/s
校车走完33
m距离，总共所用时间
t＝t1＋t2＝1.75
s。
(2)校车行驶33
m正好到达路口时，行人横穿马路走过的距离
L＝v人t＝5×1.75
m＝8.75
m
此时行人接近马路中心，车以16
m/s的速度行至路口，可能有危险。
(3)校车在0.75
s的反应时间内前进的距离
x1＝15
m
之后速度迅速降为v0′＝7.2
km/h＝2
m/s后做匀减速运动，直到速度减到零，该过程校车行驶的距离
x3＝＝0.5
m
校车前进的总位移x＝x1＋x3＝15.5
m，由于校车前进的总位移小于33
m，故行人没有危险。
14.短跑运动员完成100
m赛跑的过程可简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段．一次比赛中，某运动员用11.00
s跑完全程．已知运动员在加速阶段的第2
s内通过的距离为7.5
m，求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离．
【答案】 5
m/s2 10
m
【解析】 根据题意，在第1
s和第2
s内运动员都做匀加速直线运动，设运动员在匀加速阶段的加速度为a，在第1
s和第2
s内通过的位移分别为s1和s2，由运动学规律得：
s1＝at
s1＋s2＝a(2t0)2
t0＝1
s
联立解得：a＝5
m/s2
设运动员做匀加速运动的时间为t1，匀速运动的时间为t2，匀速运动的速度为v，跑完全程的时间为t，全程的距离为s，依题意及运动学规律，得
t＝t1＋t2
v＝at1
s＝at＋vt2
设加速阶段通过的距离为s′，
则s′＝at
求得s′＝10
m
15.(2019·河北定州中学模拟)近几年，国家取消了7座及以下小车在部分法定长假期间的高速公路收费，给自驾出行带来了很大的实惠，但车辆的增多也给道路的畅通增加了压力，因此交管部门规定，上述车辆通过收费站口时，在专用车道上可以不停车拿(交)卡而直接减速通过．若某车减速前的速度为v0＝72
km/h，靠近站口时以大小为a1＝5
m/s2的加速度匀减速，通过收费站口时的速度为vt＝28.8
km/h，然后立即以a2＝4
m/s2的加速度加速至原来的速度(假设收费站的前、后都是平直大道)．试问：
(1)该车驾驶员应在距收费站口多远处开始减速？
(2)该车从减速开始到最终恢复到原来速度的过程中，运动的时间是多少？
(3)在(1)(2)问题中，该车因减速和加速过站而耽误的时间为多少？
【答案】
(1)33.6
m (2)5.4
s (3)1.62
s
【解析】设该车初速度方向为正方向，vt＝28.8
km/h＝8
m/s，v0＝72
km/h＝20
m/s，a1＝－5
m/s2.
(1)该车进入站口前做匀减速直线运动，设距离收费站x1处开始制动，则：由v－v＝2a1x1
解得：x1＝33.6
m.
(2)该车通过收费站经历匀减速和匀加速两个阶段，前后两段位移分别为x1和x2，时间为t1和t2，则减速阶段：vt＝v0＋a1t1，得t1＝＝2.4
s
加速阶段：t2＝＝3
s
则加速和减速的总时间：t＝t1＋t2＝5.4
s.
(3)在加速阶段：x2＝t2＝42
m
则总位移：x＝x1＋x2＝75.6
m
若不减速所需要时间：t′＝＝3.78
s
车因减速和加速过站而耽误的时间：Δt＝t－t′＝1.62
s.
速度时间：vt=v0+at
位移时间：x=v0t+1/2at2
速度位移：vt2-v02=2ax
速度时间：vt=gt
位移时间：x=1/2gt2
速度位移：vt2=2gax
速度时间：vt=v0-gt
位移时间：x=v0t-1/2gt2
速度位移：vt2-v02=-2gx
自由落体
竖直上抛
实
例
PAGE
18专题一
直线运动的规律及应用（原卷版）
1．基本规律
2．匀变速直线运动的两个重要推论
（1）相同时间内的位移差：Δx＝aT2，xm－xn＝(m－n)aT2．
（2）在一段时间内平均速度等于期中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：=vt/2=1/2(v0+vt)
中间位置的瞬时速率vs/2=
3．初速度为零的匀变速直线运动的特点（设T为等分时间间隔）
(1)．1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n．
(2)．1T内、2T内、3T内……位移的比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2．
(3)．第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)．
(4)．通过连续相等的位移所用时间的比为
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
4．匀变速直线运动的图象
x
?t图象
v
?t图象
轴
纵轴——位移
横轴——时间
纵轴——速度
横轴——时间
线
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
斜率
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
点
两线交点表示两物体相遇
两线交点表示两物体该时刻速度相同
面积
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
截距
在纵轴上的截距表示t＝0时的位移
在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
1．研究匀变速直线运动的常规方法
（1）基本方法：公式v＝v0＋at、x＝v0t＋at2、v2－v＝2ax是研究匀变速直线运动的最基本的规律，合理地运用和选择三式是求解运动学问题最常用的基本方法．
（2）特殊方法
①平均速度法：定义式=x/t对任何性质的运动都适用，而=只适用于匀变速直线运动．
在匀变速直线运动中，有一类是质点在其中某段时间t内走过的位移为s（或某段时间t内的平均速度），要求某一未知物理量的题型，如果巧用“vt/2=”这一关系式便可以简化解题过程．
②利用Δx＝aT2：在匀变速直线运动中，第n个T时间内的位移和第m个T时间内的位移之差xm－xn＝(m－n)aT2．
③“逆向思维”法：逆向过程处理（逆向思维法）是把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，如物体做减速运动可看成反向的加速运动处理．该方法一般用在末状态已知的情况．
④图象法：运动图象主要包括x－t图象和v－t图象，图象的最大优点就是直观，利用图象分析问题时，要注意以下几个方面：
a．图象与坐标轴交点的意义；
b．图象斜率的意义；
c．图象与坐标轴围成的面积的意义；
d．两图线交点的意义．
2．竖直上抛运动的规律和研究方法
（1）对称性和多解性
①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向．
②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等．
③多解：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，出现多解，在分析问题时注意这个特点．
（2）两种研究方法
①分段法：上升阶段是匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动．下落过程是上升过程的逆过程．
②整体法：从全程来看，加速度方向始终与初速度v0的方向相反，所以可把竖直上抛运动看成是一个匀变速直线运动，要特别注意v0、vt、g、h等矢量的正负号．一般选取竖直向上为正方向，v0总是正值，上升过程中vt为正值，下降过程vt为负值；物体在抛出点以上时h为正值，物体在抛出点以下时h为负值．
3．追及、相遇问题的基本思路和常用方法
（1）基本思路
（2）寻找问题中隐含的临界条件
例如：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）；
①当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离．
②若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件．
③若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值．
总之，追及相遇问题的基本思路寻找并列出三个关系方程，分别是位移关系方程，速度关系方程和时间关系方程．
（3）常用分析方法
①物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．
②相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的运动关系．
③极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关系t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若△＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若△=0，说明刚好追上或相遇；若△＜0，说明追不上或不能相碰．
④图象法：将两者的速度一时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．
考点一
直线运动的图象问题
【典例1】在四川省抗震救灾过程中，某空降兵从飞机上跳下，先做自由落体运动，在t1时刻速度达最大值v1，此时打开降落伞，做减速运动，在t2时刻以较小速度v2着地。他的速度图象如图所示．该空降兵在0~t1或t1~t2时间内的平均速度是（
）
A．0~t1时间内，=
B．t1~t2时间内，=
C．t1~t2时间内，＞
D．t1~t2时间内，＜
【思路点拔】速度图线覆盖下的面积即为其对应时间的位移，位移除以对应时间即为平均速度的大小。
【答案】A
D
【解析】在0~t1时间内，空降兵做自由落体运动，由匀变速运动的规律得=，选项A正确；在t1~t2时间内，空降兵做加速度减小的减速运动，公式=不再成立，选项B错误；
连接点（t1，t2）和点（t2，v2）作直线，如图所示，
若t1~t2时间内匀减速运动，则该段时间内的平均速度==，由阴影部分的面积数值表示位移大小得：空降兵减速过程的位移大小小于匀减速过程的位移大小，故＜，C错D对．
【规律方法】对直线运动的v—t图象的分析，要紧抓以下几个方面：
（1）v—t图线是直线，表示物体做匀变速直线运动，若是曲线，表示物体做非匀变速直线运动，斜率变大，加速度变大；斜率变小，加速度变小．
（2）v—t图线与时间轴所围成的面积数值表示相应时间内物体位移的大小．
【典例2】(2019·广东“六校联盟”模拟)a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的位移－时间图象如图所示，物体c的位移－时间图线是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法正确的是( )
A．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同
B．a、b两物体都做匀变速直线运动，两个物体的加速度大小相等，方向相反
C．物体c一定做变速曲线运动
D．在0～5
s内，当t＝5
s时，a、b两个物体相距最远
【思路点拨】 由图象分析知，a沿正方向做匀速直线运动，b沿负方向做匀速直线运动，c沿正方向做匀加速直线运动，再结合x－t图线的斜率表示速度进行判断．
【答案】 D
【解析】 在位移－时间图象中，倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，可知a、b两物体都做匀速直线运动，速度大小相等，但方向相反，选项A、B均错误；对于匀变速直线运动，由公式x＝v0t＋at2知，其x－t图象是抛物线，所以物体c一定做匀加速直线运动，选项C错误；由图象知，a、b从同一位置(即x＝10
m处)开始做匀速直线运动，a沿正方向运动，b沿负方向运动，当t＝5
s时，a、b两个物体相距最远，选项D正确．
【规律方法】对直线运动的x—t图象的分析，要紧抓以下几个方面：
（1）x—t图线是直线，表示物体做匀速直线运动，若是曲线，表示物体做变速直线运动，斜率变大，速度变大；斜率变小，速度变小．若是抛物线则表示物体做匀变速直线运动
（2）x—t图线与时间轴所围成的面积无意义．
考点二
匀变速直线运动规律的应用
【典例3】航天飞机是一种垂直起飞、水平降落的载人航天器．航天飞机降落在平直跑道上，其减速过程可简化为两个匀减速直线运动阶段．航天飞机以水平速度v0着陆后立即打开减速阻力伞(如图)，加速度大小为a1，运动一段时间后速度减为v；随后在无减速阻力伞情况下匀减速运动直至停下．已知两个匀减速滑行过程的总时间为t，求：
(1)第二个匀减速运动阶段航天飞机减速的加速度大小a2；
(2)航天飞机着陆后滑行的总路程x.
【思路点拨】分析运动过程，应用速度相等和时间关系、位移关系列方程，并结合运动学公式求解．
【答案】
(1) (2)
【解析】
(1)第一个匀减速阶段运动的时间
t1＝＝，
第二个匀减速阶段运动的时间t2＝t－t1，
得t2＝t－，
由0＝v－a2t2，
得a2＝.
(2)第一个匀减速阶段的位移大小
x1＝＝，
第二个匀减速阶段的位移大小
x2＝＝，
所以航天飞机着陆后滑行的总路程
x＝x1＋x2＝.
考点三
追及与相遇问题的分析
【典例4】(2019·河南中原名校第三次联考)如图所示，在两车道的公路上有黑白两辆车，黑色车停在A线位置，某时刻白色车以速度v1＝40
m/s通过A线后，立即以大小为a1＝4
m/s2的加速度开始制动减速，黑色车4
s后以a2＝4
m/s2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B线位置．两车可看成质点．从白色车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车的速度大小．
【思路点拨】 (1)黑色车从A线开始运动的时刻比白色车经过A线时晚4
s.
(2)黑色车由A线到B线一直做匀加速直线运动．
(3)判断白色车停止运动时黑色车是否追上白色车．
【答案】 14
s 40
m/s
【解析】 设白色车停下来所需的时间为t1，减速过程通过的距离为x1，则v1＝a1t1
v＝2a1x1
解得x1＝200
m，t1＝10
s
在t1＝10
s时，设黑色车通过的距离为x2，
则x2＝a2(t1－t0)2
解得x2＝72
mm
所以白色车停止运动时黑色车没有追上它，则白色车停车位置就是B线位置．
设经过时间t两车都到达B线位置，此时黑色车的速度为v2，则x1＝a2(t－t0)2
v2＝a2(t－t0)
解得t＝14
s，v2＝40
m/s.
考点四
竖直上抛运动规律的应用
【典例5】
(2019·全国卷Ⅰ，18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足( )
A.1＜＜2
B.2＜＜3
C.3＜＜4
D.4＜＜5
【思路点拨】本题应用逆向思维求解，即运动员的竖直上抛运动可等同于从一定高度处开始的自由落体运动，
【答案】 C
【解析】应用逆向思维求解，所以第四个所用的时间为t2＝，第一个所用的时间为t1＝－，因此有＝＝2＋，即3＜＜4，选项C正确。
【规律方法】
分段法
上升阶段：a＝－g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)
若v>0，物体上升，若v<0，物体下落
若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
一、选择题
1.如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中A、B之间的距离l1＝2.5
m，B、C之间的距离l2＝3.5
m。若物体通过l1、l2这两段位移的时间相等，则O、A之间的距离l等于( )
A.0.5
m
B.1.0
m
C.1.5
m
D.2.0
m
2.(多选)如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面高度之比为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1。若先后顺次释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
A.三者到达桌面时的速度大小之比是∶∶1
B.三者运动时间之比为3∶2∶1
C.b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D.三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比
3.(2019·南京市鼓楼区模拟)如图所示，一辆轿车和一辆卡车在同一平直的公路上相向匀速直线运动，速度大小均为30
m/s。为了会车安全，两车车头距离为100
m时，同时开始减速，轿车和卡车的加速度大小分别为5
m/s2和10
m/s2，两车减到速度为20
m/s时，又保持匀速直线运动，轿车车身全长5
m，卡车车身全长15
m，则两车的错车时间为( )
A.0.3
s
B.0.4
s
C.0.5
s
D.0.6
s
4.一位乘客站在倾斜扶梯的水平台阶上随扶梯以1
m/s的速度匀速向上运动，某时被告知扶梯顶端板塌陷，乘客立即按下扶梯中部的紧急停止按钮，此时他距扶梯顶部4
m，扶梯经过2
s后停下，此过程乘客可以看做随扶梯做匀减速运动，下列说法正确的是( )
A.紧急停止过程中，乘客所受摩擦力方向沿扶梯斜向下
B.紧急停止过程中，乘客处于超重状态
C.在紧急停止过程中，乘客沿扶梯方向向上运动的位移为0.6
m
D.若乘客因慌乱寻找紧急停止按钮耽误了3.5
s，则乘客可能会遇到危险
5.一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1
s内和第2
s内位移大小依次为9
m和7
m，则刹车后6
s内的位移是
( )
A．20
m B．24
m
C．25
m
D．75
m
6.我国ETC(电子不停车收费系统)已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间。一辆汽车以20
m/s的速度驶向高速收费口，到达自动收费装置前开始做匀减速直线运动，经4
s的时间速度减为5
m/s且收费完成，司机立即加速，产生的加速度大小为2.5
m/s2，汽车可视为质点。则下列说法正确的是( )
A.汽车开始减速时距离自动收费装置110
m
B.汽车加速4
s后速度恢复到20
m/s
C.汽车从开始减速至速度恢复到20
m/s通过的总路程为125
m
D.汽车由于通过自动收费装置耽误的时间为4
s
7.(2019·河南十校联考)汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它在前3
s内的平均速度为
( )
A．6
m/s B．8
m/s
C．10
m/s
D．12
m/s
8.水比赛在天津奥体中心游泳跳水馆进行，重庆选手施廷懋以总成绩409.20分获得跳水女子三米板冠军．某次比赛从施廷懋离开跳板开始计时，在t2时刻施廷懋以速度v2入水，取竖直向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是( )
A．在0～t2时间内，施廷懋运动的加速度大小先减小后增大
B．在t1～t3时间内，施廷懋先沿正方向运动再沿负方向运动
C．在0～t2时间内，施廷懋的平均速度大小为
D．在t2～t3时间内，施廷懋的平均速度大小为
9.(多选)(2019·山东德州模拟)为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所示是动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图象，下列说法正确的是( )
A．动力车的初速度为20
m/s
B．刹车过程动力车的加速度大小为5
m/s2
C．刹车过程持续的时间为10
s
D．从开始刹车时计时，经过6
s，动力车的位移为30
m
10.(2019·西安一中期中)如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x?t)图象．由图象可知，下列说法错误的是
( )
A．在时刻t1，b车追上a车
B．在时刻t2，a车的加速度小于b车的加速度
C．在t1到t2这段时间内，a和b两车的路程相等
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
11．(2019·百校联盟金卷)如图所示的v
?t图象中，直线表示甲物体从A地向B地运动的v
?t图象；折线表示同时开始运动的乙物体由静止从A地向B地运动的v
?t图象．下列说法正确的是( )
A．在t＝4
s时，甲、乙两物体相遇
B．在t＝4
s时，甲、乙两物体相距最远
C．在0～2
s内，甲、乙两物体的加速度大小相等
D．在2～4
s内，乙物体处于静止状态
12.(多选)将某物体以30
m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2.5
s内物体的( )
A．路程为65
m
B．位移大小为25
m，方向竖直向上
C．速度改变量的大小为10
m/s
D．平均速度大小为13
m/s，方向竖直向上
二、计算题
13．校车交通安全问题已成为社会关注的热点，国务院发布的《校车安全管理条例》将校车安全问题纳入法制轨道。若校车以v0＝72
km/h的速度行驶，司机发现在x＝33
m远处有人开始横穿马路，立即采取刹车措施。已知司机的反应时间t1＝0.75
s，刹车的加速度大小为4
m/s2。
(1)从司机发现情况至汽车走完33
m距离，经过多长时间？此时车速多大？
(2)如果行人横穿20
m宽的马路，横穿速度为5
m/s，行人是否可能有危险？
(3)《校车安全管理条例》规定：校车运行中，如遇到意外情况，驾驶员按下安全按钮，校车车速会迅速降至v0′＝7.2
km/h以下，如果按(2)中条件，此时行人横穿马路是否有危险？
14.短跑运动员完成100
m赛跑的过程可简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段．一次比赛中，某运动员用11.00
s跑完全程．已知运动员在加速阶段的第2
s内通过的距离为7.5
m，求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离．
15.(2019·河北定州中学模拟)近几年，国家取消了7座及以下小车在部分法定长假期间的高速公路收费，给自驾出行带来了很大的实惠，但车辆的增多也给道路的畅通增加了压力，因此交管部门规定，上述车辆通过收费站口时，在专用车道上可以不停车拿(交)卡而直接减速通过．若某车减速前的速度为v0＝72
km/h，靠近站口时以大小为a1＝5
m/s2的加速度匀减速，通过收费站口时的速度为vt＝28.8
km/h，然后立即以a2＝4
m/s2的加速度加速至原来的速度(假设收费站的前、后都是平直大道)．试问：
(1)该车驾驶员应在距收费站口多远处开始减速？
(2)该车从减速开始到最终恢复到原来速度的过程中，运动的时间是多少？
(3)在(1)(2)问题中，该车因减速和加速过站而耽误的时间为多少？
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