2020-2021学年人教版数学八年级下册第18章 平行四边形 常考题提高练习（二）（word版含解析）

人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》
常考题提高练习（二）
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求△OEC的面积．
2．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
3．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．
（1）求证：DE平分∠AEC；
（2）若AD＝，求出DG的长．
5．如图，在?BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若CA＝CB，则?ADCF为　
　（填矩形、菱形、正方形中的一个）．
6．（1）已知四边形ABCD是边长为6cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜6）．
①如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；
②如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．
7．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．
（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度．
（2）若∠ACB＝∠AFE＝45°，求证AN+AF＝EF．
8．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AE＝FD；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，联结FD．
（1）求证：四边形DECF是菱形；
（2）如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积．
11．在菱形ABCD中，点Q为边AB上一点，点F为BC边上一点，连接DQ、DF和QF
（1）如图1，若∠ADQ＝∠FDQ，∠FQD＝90°．求证；AQ＝BQ；
（2）如图2，在（1）的条件下，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点P，以点P为顶点作∠MPN＝60°，PM与AB交于点M，PN与AD交于点N．求证：DN+QM＝AB．
12．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当EG＝EH时，连接AF
①求证：AF＝FC；
②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．
13．感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE＝AF．（不需要证明）
探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长．
应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，BF，AE相交于点G．若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△ABG的面积为　
　，△ABG的周长为　
　．
14．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．
（1）求证：GF＝GD＝CE．
（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．
15．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，点E，F分别为垂足，连接AG，EF．
（1）求证：AG＝EF；
（2）若∠DAG＝30°，GE＝1，求正方形ABCD的面积．
参考答案
1．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，
∴△OEC的面积＝?EC?OF＝．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DO＝BO，
∴∠EDO＝∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴四边形BFDE的周长＝．
4．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∵BC＝BE，
∴CE＝BC，
∵AB＝BC，
∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴∠AED＝∠DEC，
∴DE平分∠AEC；
（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠BEC＝45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠BEC＝45°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴CD＝DF，
∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，
∴BE＝DF＝CF＝BC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDG＝45°，
∴∠BEF＝∠EDF，
∵BC＝CF，∠BCF＝45°，
∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，
∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，
∴∠EBF＝∠DFG，
在△DFG和△EBF中，
∴△DFG≌△EBF（ASA），
∴DG＝EF，
∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，
∴DG＝2．
5．解：（1）在平行四边形BCFD中，
DE∥BC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴四边形ADCF是平行四边形．
（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，
∴AD＝AE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴?ADCF是矩形．
故答案为：矩形
6．解：（1）由题意得DQ＝t，AP＝2t，
∵四边形ABCD是边长为6cm的正方形，
∴CQ＝6﹣t，
当PQ，AC互相平分时，则四边形APCQ为平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴2t＝6﹣t，
解得，t＝2，
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵AP⊥BQ，
∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP≌△BCQ（ASA），
∴BP＝CQ，
∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣6，CQ＝6﹣t，
∴2t﹣6＝6﹣t，
解得，t＝4．
7．（1）解：如图1中，连接AE．
∵AB＝AM，BE＝EM，
∴AE⊥BM，
在Rt△ACE中，∵AC＝，EC＝EM+CM＝5，
∴AE＝＝，
在Rt△AEM中，AM＝＝；
（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于H，EG⊥DC交DC的延长线于G，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∵∠AFE＝∠ACE＝45°，
∴∠EFA＝∠EFG＝45°，
∵EH⊥FA，EG⊥FG，
∴EH＝EG，
∵∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴AE＝EC，
在Rt△EHA与Rt△EGC中，
，
∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），
∴AH＝CG，
在Rt△EHF与Rt△EGF中，
，
∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），
∴FH＝FG，
∵AB∥CD，
∴∠OAN＝∠OCF，
在△AON与△COF中，
，
∴△AON≌△COF（ASA），
∴AN＝CF，
∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，
∵EF＝FH，
∴AN+AF＝EF．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC＝AB＝BC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∵∠ADC＝∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，
∴∠DEC+∠DFC＝180°，
∵∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠DFC，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，
∵BH∥AC，
∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，
∴∠ABH＝120°＝∠ACF，
∵点G为BE的中点，
∴BG＝GE，
在△AGE和△HGB中，
，
∴△AGE≌△HGB（AAS），
∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF（SAS），
∴AF＝AH，
∴AF＝2AG．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AE＝CE，
∴∠FAD＝∠A，
∵点G是AD的中点，
∴GA＝GD，
在△AGF和△DGC中，，
∴△AGF≌△DGC（ASA），
∴AF＝CD，
∴AF＝AB，
∵AE＝CE，
∴AE是△BDF的中位线，
∴AE＝FD；
（2）解：四边形ACDF是矩形．理由如下：
由（1）得AF＝CD，AB＝AF，
又∵AB∥CD，
∴四边形是ACDF平行四边形，
∴FG＝CG，
又∵AG＝AB，
∴AG＝AF，
∴AB＝AG＝AF，
∵∠BAD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
10．解：（1）∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴BA﹣BD＝BC﹣BE，
∴AD＝CE，
∵AD＝DE，
∴DE＝EC，
∵CE＝CF，
∴DE＝CF，
∵DE∥FC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE＝CF，
∴四边形DECF是菱形；
（2）过点F作FG⊥BC交BC于G，
∵四边形DECF是菱形，CE＝4，
∴CF＝4，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝30°，
∴∠C＝30°，
∵∠FGC＝90°，∠C＝30°，
∴FG＝FC＝2，
∴四边形DECF的面积＝EC?FG＝4×2＝8．
11．证明：（1）如图1，分别延长FQ、DA交于L，
∵∠ADQ＝∠FDQ，DQ＝DQ，∠FQD＝∠LQD＝90°，
∴△FQD≌△LQD（ASA），
∴FQ＝LQ，
∵菱形ABCD，
∴LD∥BF，
∴∠ALQ＝∠BFQ，∠LAQ＝∠FBQ，
∴△ALQ≌△BFQ（AAS），
∴AQ＝BQ；
（2）如图2，连接QP，
∵菱形ABCD，
∴∠BAP＝∠DAP，PA＝PC，AC⊥BD，
∴∠APB＝∠APD＝90°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAP＝∠DAP＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴PA＝AB，
∵AQ＝BQ，
∴PQ＝AB，
∴PA＝PQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ＝∠PQA＝60°，
∵∠MPN＝60°，
∴∠APQ＝∠MPN＝60°，
∴∠QPM＝∠APN，
∵∠PQM＝∠PAN＝60°，
∴△PQM≌△PAN（ASA），
∴QM＝AN，
∵AB＝AD＝DN+AN，
∴AB＝DN+QM．
12．解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH＝∠EAG，
又∵CD＝AB，BE＝DF，
∴CF＝AE，
又∵CH＝AG，∠FCH＝∠EAG
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，
∴∠FHG＝∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）①如图，连接AF，
∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG＝CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF＝CF；
②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5．
13．感知：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△DAE和△ABF中，，
∴△DAE≌△ABF（ASA），
∴DE＝AF；
探究：
解：分别过点A、D作AN∥GH，DM∥EF，分别交BC、AB于点N、M，如图②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°，
∴四边形DMEF是平行四边形，
∴ME＝DF＝1，DM＝EF，
∵AN∥GH，GH⊥EF，
∴DM⊥GH，
同理，四边形AGHN是平行四边形，
∴GH＝AN，
∵DM∥EF，GH⊥EF，
∴AN⊥DM，
∴∠DAN+∠ADM＝90°，
∵∠DAN+∠BAN＝90°，
∴∠ADM＝∠BAN，
在△ADM和△BAN中，，
∴△ADM≌△BAN（ASA），
∴DM＝AN，
∴EF＝GH，
∴DM＝GH，
∵E为AB中点，
∴AE＝AB＝2，
∴AM＝AE﹣ME＝2﹣1＝1，
∴DM＝＝＝，
∴GH＝；
应用：
解：∵AB＝3，
∴S正方形ABCD＝3×3＝9，
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为：×9＝6，
∴空白部分的面积为：9﹣6＝3，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BEA＝∠BFC，S△ABG＝S四边形CEGF，
∴S△ABG＝×3＝，∠FBC+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
设AG＝a，BG＝b，
则ab＝，
∴2ab＝6，
∵a2+b2＝AB2＝32，
∴a2+2ab+b2＝32+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+AG＝，
∴△ABG的周长为+3，
故答案为：，
+3．
14（1）证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝60°，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADC+∠C＝180°，∠ADG＝∠DEC，
∴∠ADC＝120°，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴∠GDF＝30°，
∵AD＝FD，
∴∠DAF＝∠GDF＝30°，
∴∠BAF＝∠BAD﹣∠DAF＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠GFD＝∠BAF＝30°＝∠GDF，
∴GF＝GD，
在△ADG和△DEC中，，
∴△ADG≌△DEC（ASA），
∴GD＝CE，
∴GF＝GD＝CE；
（2）证明：∵AH⊥AD，DE⊥BC，
∴∠DAH＝∠DEC＝90°，
在△DAH与△DEC中，，
∴△DAH≌△DEC（SAS），
∴∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DAB＝∠C，∠DFA＝∠BAF，
∵AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DFA＝∠C，
在DH上截取HM＝AH，如图所示：
∴∠HAM＝∠HMA，
∴∠H＝180°﹣2∠HAM，
∵∠MAD＝90°﹣∠HAM，
∴∠DAM＝∠H，
∴∠MAD＝∠GFD，
在△ADM与△FDG中，，
∴△ADM≌△FDG（ASA），
∴DM＝DG，
∵AB＝CD＝DH＝HM+DM，
∴AB＝AH+DG．
15．证明：（1）连接GC，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°＝∠ECF，
∴四边形GFCE是矩形．
∴EF＝GC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD．
又DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS）．
∴AG＝CG．
∴AG＝EF．
（2）∵GE⊥DE，∠GDE＝45°，
∴DE＝GE＝1．
∵△ADG≌△CDG，
∴∠GCE＝∠DAG＝30°，
∴在Rt△GCE中，GC＝2GE＝2，
利用勾股定理可得CE＝．
则正方形ABCD的边长为CD＝CE+DE＝+1．
正方形ABCD的面积＝CD2＝（+1）2＝4+2．