第18章《平行四边形》周末培优训练卷（Word版 含解析）

1061720012674600第18章《平行四边形》周末培优训练卷
1．已知，△ABC、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，D是BC上一点，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线交AB于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）如图2，连接BE、DF，若AD⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于BC的长的的线段．
2．如图，在?ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，AP，BD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA＝PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
3．如图，四边形ACFD是平行四边形，B，E，C，F在一条直线上，已知BE＝CF．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形．
（2）若∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，BF＝5，求AD的长．
4．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．
（1）求DE的长；
（2）求?ABCD的面积．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．
7．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设＝λ（λ＞0）．
（1）若λ＝1，求证：CE＝FE；
（2）若AB＝3，AD＝4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
8．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？
（3）直接回答：当△ABC满足　 　时，四边形ADCE是正方形．
10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
11．已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝2，d2＝3．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”．
（1）如图1，正方形ABCD为“线上四边形”，BE⊥l于点E，EB的延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．
（2）如图2，菱形ABCD为“线上四边形”且∠ADC＝60°，△AEF是等边三角形，点E在直线k上，连接DF，且直线DF分别交直线l、k于点G、M，求证：EC＝DF．
12．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．
13．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接DE，AD，EF，DF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AC＝8，BC＝10，求EF的长．
14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
15．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是菱形；
（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
参考答案
1．（1）如答图1，证明：连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EB＝EF，
∴EF＝CD，
∵EF∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
由（1）知CD＝BE＝EF，
∴BD＝EF，
∵E作BC的平行线交AB于点F，即BD||EF，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BE＝DF，
∴BD＝CD＝BE＝EF＝DF＝BC，
故答案为：BD，CD，BE，EF，DF．
2．解：（1）∵PM∥DC，且PM＝DC，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴PD＝MC，
∵AB∥DC，且AB＝DC，PM∥DC，且PM＝DC，
∴AB∥PM，且AB＝PM，
∴四边形ABMP是平行四边形，
∴AP＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴△ADP≌△BCM（SSS）；
（2）由（1）可得S△ADP＝S△BCM，
∴S四边形BMCP＝S△BCM+S△BCP＝S△ADP+S△BCP＝S平行四边形ABCD，
又∵PA＝PC，
∴S△ABP＝S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴的值为＝．
3．证明：（1）∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵B，E，C，F在一条直线上，
∴AD∥BE，
∵BE＝CF．
∴AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形；
（2）∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AD＝CF，
∵∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝3，
∵BF＝5，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∴AD＝2．
4．解：（1）∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝6；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，
∴在Rt△EAD中，，
∴AE＝3（cm），
∴S?ABCD＝BC?AE＝．
5．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，
∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，
即×6×4＝13×AE，
解得：AE＝12．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵EA⊥AO，DE⊥DO，
∴∠EAO＝∠DOA＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，
∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，
∵四边形AODE的面积为12，
∴OA?OD＝12，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，
∴（OA+OD）2＝OA2+2OA?OD+OD2＝25+24＝49，
∴OA+OD＝7，
∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．
7．解：（1）证明：连接DE，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵＝λ＝1，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠FED，
∴∠FED＝∠CED，
在△DFE和△DCE中，
，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴CE＝FE；
（2）当D、B、F在同一直线上时，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝4，
∴tan∠ABD＝＝，
∵DF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
∵∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠ABD，
∴＝tan∠FEB＝tan∠ABD＝，
∵AB＝3，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，
∴λ＝
＝
＝
＝．
8．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
9．（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，
∵BC＝AB＝4，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，
∴AD＝2，
∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2＝4；
（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
10．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
11．解：（1）如图1，∵l∥m∥n∥k，BE⊥l，
∴BE⊥k，BE⊥m，BE⊥n，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，BE＝5，BF＝2，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∵正方形ABCD为“线上四边形”，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴FC＝BE＝5，
∴BC＝＝＝；
（2）如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC，∠CAD＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠EAF＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAF，
∴△EAC≌△FAD（SAS），
∴EC＝DF．
12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形BFDE是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
13．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∵AF＝AB，
∴DE＝AF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，
∴EF＝AD，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BC＝5，
∴EF＝AD＝5．
14．（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2±，
∵0＜x＜2，
∴x＝2﹣．
15．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
作CM⊥BF于M，如图：
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．