山东省济南市长清一中2020-2021学年高一下学期第一次质量检测数学试题（3月） Word版含答案

长清一中高一下学期第一次质量检测试题
（120分钟，150分）
一．单项选择题（共8小题，每小题只有一项符合题意，5
8=40分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．
只有零向量的模长等于0
C．向量就是有向线段
D．单位向量都相等
2．已知点A（1，3），B（﹣2，7），则与向量方向相反的单位向量是（　　）
A．
B．（3，﹣4）
C．
D．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若，满足||＞||且与同向，则＞
D．对于任意向量，，必有||≤||+||
4．在△ABC中，C＝90°，点D在AB上，，||＝4，则?＝（　　）
A．16
B．12
C.10
D．8
5．若△ABC的外心为O，且∠A＝60°，AB＝2，AC＝3，则等于（　　）
A．5
B．8
C．10
D．13
6．向量＝（1，2），＝（﹣2，k），若⊥，则|3+|＝（　　）
A．
B．2
C．5
D．5
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若A＞B，则sinA＞sinB；②若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③若sin2A+sin2B＝sin2C，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB．以上结论中正确的有（　　）
A．①③
B．①④
C．①②④
D．①③④
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则△ABC的周长的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．多项选择题（共4小题，每小题至少有两个正确选项，错选或多选不得分，部分选对得3分，共20分）
9．已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．与可以作为基底
C．
D．与方向相反
10．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．下列说法错误的是
A.
若，，则
B.
若，则存在唯一实数使得
C.
两个非零向量，，若，则与共线且反向
D.
已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
12．如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则（　　）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题，共5
4=20分）
13．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，设AC与BD交于点O，则＝　
　．
14．两个单位向量，满足||＝|+|，则|﹣|＝_　
　．
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则AB两点的距离为　
　m．
16．在△ABC中，若，则△ABC是　
　三角形．
四．解答题（共6小题，共70分）
17（10分）．
（1）已知点O与A，B，C三点满足，求证：A，B，C三点共线；
（2）设和是两个单位向量、其夹角是，求向量与的数量积以及向量的模．
18（12分）．平面内三个向量＝（7，5），＝（﹣3，4），＝（1，2）．
（1）求|+﹣|；
（2）求满足＝m+n的实数m，n；
（3）若，求实数k．
19（12分）．如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC和OA交于点E，设．
（1）用和表示向量．
（2）若，求实数λ的值．
20（12分）．已知平面向量与，且|＝1，．
（1）求与的夹角；
（2）求在方向上的投影．
21（12分）．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C＝sin2A+sinA?sinBsinC．
（1）若b＝c，△ABC的面积为3，求b与c；
（2）若sinB+sinC＝?，求C．
22（12分）．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且?．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2?，且S△ABC＝2?，求△ABC的周长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．B．2．D．3．D．4．B．5．C．6．C．7．D．8．A．
二．多选题（共4小题）
9．AD．10．BCD．11．ABD．12．BD．
三．填空题（共4小题）
13．﹣．
14．．
15．45．
16．等腰直角．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）证明：∵＝＝，
∴与共线，且与有公共点A，
∴A，B，C三点共线；
（2）∵，
∴，
∴＝＝，＝．
18．解：（1）∵，
∴；
（2）由，得（7，5）＝（﹣3m+n，4m+2n），
∴，解得；
（3），，
∵，∴2（7k+1）+4（5k+2）＝0，
解得．
19．解：（1）∵，
，
∴，
∵，
∴．
（2）设，
∴，
＝
＝
∵，
∴
又，且不共线．
所以由平面向量基本定理知：，
∴
20．解：（1）∵，，
∴，解得，
∴，且，
∴与的夹角为；
（2）＝，
∴在方向上的投影为：．
21．解：由sin2B+sin2C＝sin2A+sinA?sinBsinC得，b2+c2﹣a2＝?bcsinA＝2bccosA，
故，即tanA＝，
由A为三角形内角得A＝，
因为b＝c，
△ABC的面积为S＝3＝＝，
故c＝2，b＝2；
（2）因为A＝，
故sinB+sinC＝sinC+sin（）＝＝?，
即，
所以sin（C+）＝，
由C为三角形内角得，C＝．
22．解：（1）由?，
利用正弦定理可得：（a+c）（c﹣a）＝b（c﹣b），
化为：c2+b2﹣a2＝bc，
∴cosA＝＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝．
（2）∵a＝2?，且S△ABC＝2?，
∴＝c2+b2﹣bc，bcsin＝2，
化为：（b+c）2＝3bc+12＝3×8+12＝36，
解得b+c＝6，
∴△ABC的周长＝b+c+a＝6+2．
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日期：2021/3/24
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