曲线运动 平抛运动
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文档简介
扬州市高中优秀学业质量监测
专题资源包评审
申 报 资 料
专 题 名 称 曲线运动 平抛运动
所 属 学 科 物 理
作 者 姓 名 耿玉盛
工 作 单 位 江苏省邗江中学
联 系 电 话 051487983605
申 报 时 间 2011年5月20日
扬州市教育局
二〇一一年三月制
曲线运动、平抛运动监测目标
线运动学习目标
1．知道物体运动轨迹为曲线的运动，叫曲线运动。
2．知道质点做曲线运动时，在某一位置的速度方向就是曲线在这一点的切线方向。
3．理解物体受到的合力跟它的速度方向不在一条直线上，物体就做曲线运动。
运动的合成和分解学习目标
1．理解运动合成和分解的概念。将几个运动合成为一个运动，叫运动的合成；将一个运动分解为几个运动，叫运动的分解。合成和分解遵循平行四边形定则。
2．知道和运动和分运动是同时发生的，并且互不影响，各自独立。而合运动就是物体表现出来的实际运动。
3．能够用作图法和直角三角形知识解决有关位移和速度的合成和分解的问题。
平抛运动学习目标
1．知道平抛运动的概念：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用的运动叫做平抛运动。其条件是：初速度沿水平方向，只有重力作用。
2．知道平抛运动的轨迹是抛物线。理解平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动，且两个分运动互不影响。
斜抛运动学习目标
1．知道斜抛运动的概念：以一定的初速度将物体与水平方向成一定的角速度斜向上抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
2．知道斜抛运动可以分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
3．知道斜抛运动中射高、射程跟速度和抛射角的关系。知道当初速度的方向一定时，初速度越大，射程越大；如果初速度的大小一定，当抛射角为450时，射程最大。
曲线运动、平抛运动知识框架
曲线运动、平抛运动重难点知识诠释
物体做曲线运动的条件
1．曲线运动是变速运动，凡物体做变速运动必有加速度，而加速度是由于力的作用产生的，因而做曲线运动的物体在任何时刻所受的合外力皆不为零，不受力的物体不可能做曲线运动。
2．当物体受到的合外力的方向与运动方向在一条直线上时，产生的加速度也在这条直线上，所以运动方向（速度方向）只能沿该直线（或正或反），其运动依然是直线。
3．当物体受到合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上，而是成一定角度时，产生的加速度方向跟速度方向也成一定的角度。一般情况下，这时的加速度不仅反映了速度大小的变化，还包含了速度方向的变化，其运动必然是曲线运动。
曲线运动的性质
1．无论物体做怎样的曲线运动，由于轨迹上各点的切线方向不同，物体的速度时刻发生变化，因此，曲线运动一定是变速运动。
注意：曲线运动一定是变速运动。这里的变速有两种可能：速度大小不变，方向改变；速度大小和方向都改变。
2．曲线运动分为匀变速曲线运动和非匀变速曲线运动。如果物体受到的合外力为恒力，物体具有恒定的加速度，则物体做匀变速曲线运动；如果物体受到的合外力是变力，物体的加速度是变化的，则物体做非匀变速曲线运动。
合运动与分运动的关系
合运动是物体的实际运动，一个运动可以看成物体同时参与了几个运动，这几个运动就是物体的实际运动的分运动，实际运动的方向就是和运动的方向。
1．运动的等效性：合运动是由于各分运动共同产生的总运动效果，合运动和分运动总的运动效果可以“等效替代”（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；
2．等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等,即各个分运动与合运动总是同时开始、同时结束。
3．独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。
4．运动的矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
两个直线运动的合运动的性质和轨迹
1．物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。
2．物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。
3．常见的类型有：
（1）a=0：匀速直线运动或静止。
（2）a恒定：性质为匀变速运动，分为：
① v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）
（3）a变化：性质为变加速运动。
4．互成角度的两个直线运动的合运动的几种可能
（1）两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。
（2）一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。
（3）两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。
小船过河问题
处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 ，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为，合运动沿v的方向进行。
2．位移最小
（1）若
结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为
（2）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，
设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据船头与河岸的夹角应为
，船沿河漂下的最短距离为：
此时渡河的最短位移：
平抛运动的性质以及研究方法
做平抛运动的物体只受重力，初速度与重力垂直．
运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。
研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
探究平抛运动规律的实验
（1）竖直方向规律的探究：如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A球沿水平方向抛出，同时B球松开，自由下落，A、B两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A在竖直方向上的运动为自由落体运动。
（2）水平方向规律的探究：如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A、B两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A、B两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动。
平抛运动的规律
（1）速度：
水平速度：vx=v0，竖直速度：vy=gt
合速度（实际速度）的大小：
物体的合速度v与x轴之间的夹角为：
（2）位移：
水平位移：，
竖直位移
合位移（实际位移）的大小：
物体的总位移s与x轴之间的夹角为：
可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。
而且而
轨迹方程：由和消去t得到：。可见平抛运动的轨迹为抛物线。
（3）平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定：由得：
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：
③平抛物体任意时刻瞬时速度v与平抛初速度v0夹角θa的正切值为位移s与水平位移x夹角θ正切值的两倍。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：
⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下（与g同向）。任意相同时间内的Δv都相同（包括大小、方向），如右图。
⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）
如右图：所以
所以，θ为定值故a也是定值与速度无关。
⑦速度v的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，变大，，速度v与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。
类平抛运动
1．有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。
2．类平抛运动的受力特点：
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
3．类平抛运动的处理方法：
在初速度方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线规律来处理。
斜抛运动的研究方法和规律
1．研究方法：分解法
（1）抛射角：物体抛出方向与X轴正方向之间的夹角称为抛射角，用θ表示。
（2）斜抛运动物体在水平方向不受力，以水平初速度VX做匀速直线运动；在竖直方向有方向向上的初速度vy，且受到重力的作用，因此做初速度为vy的竖直上抛运动。
2．运动规律：
（1）速度关系：
水平速度：
竖直速度：
t时刻速度的大小：
（2）位移关系：
水平位移：
竖直位移：
t时间内的合位移：
（3）从抛出点到最高点的时间：，从抛出点到落回抛出点所在的水平面的时间
斜抛运动的特点及性质
1．受力及运动性质：
由于物体做斜抛运动时仅受重力作用，所以加速度为重力加速度g，因此运动轨迹为抛物线的匀变速曲线运动。
2．斜抛运动的特点：
由知，相等的时间内速度的变化大小相等，方向竖直向下，即相等的时间内速度变化相同。
3．对称性：
（1）时间的对称性：从抛出点到最高点与从最高点落回抛出点所在的水平面的时间相等。
（2）速度的对称性：物体经过同一高度上的两点时速度大小相等。
（3）轨迹的对称性：其轨迹关于过最高点的竖直线对称。
斜抛运动的射程和射高
1．射高：在斜抛运动中，物体能达到的最大高度（H）叫做射高；
由 ，
得
即射高：
2．射程：物体从抛出点到落地点的水平距离(x)叫做射程.
从抛出点到最高点的时间：，
从抛出点到落回抛出点所在的水平面的时间
物体在水平方向上做匀速运动
讨论：射高、射程与初速度和抛射角有关
（1）当抛射角；
（2）当抛射角；
（3）当抛射角；
（4）当抛射角；
（5）当抛射角
曲线运动、平抛运动诊断性测试题
1．下列所发正确的是 （ ）
A．做曲线运动的物体的速度大小和方向必定变化
B．做曲线运动的物体的速度必定变化
C．曲线运动必定是变速运动
D．速度变化的运动必定是曲线运动
答案：BC
解析：本题考查对曲线运动的理解，解答本题的关键是明确做曲线运动的速度特点。在曲线运动中，运动质点的方向时刻发生变化，速度大小不一定发生变化，所以A错误，B正确。速度是矢量，既有大小又有方向；速度的大小或方向其中一个变化或两个都变化，速度就变化。曲线运动中速度方向时刻变化，故曲线运动是变速运动，C正确。若速度大小变化、方向不变，物体做直线运动，D不正确。
2．如图所示，物体在恒力作用下沿曲线从A运动至B，此时突然使力F反向，大小不变。在此力的作用下，对物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．物体不可能沿曲线Ba运动
B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动
D．物体不可能沿原曲线由B返回A
答案：BCD
解析：物体做曲线运动时，所受的合外力在任何时刻都与速度不共线，合外力的方向总是指向曲线凹的一边。
物体从A点向B点做曲线运动，所受合外力可能的方向有如图所示的三种可能。由于物体所受的力是恒力，所以任何一种可能的情况也不会和过B的切线与Bb平行，那么当力F突然反向，物体受到的力也不会与Bb直线平行。所以物体不可能沿过B点的切线Bb做直线运动，B选项正确。物体仍做曲线运动，由于合力方向本变化，必然导致曲线弯曲的方向与原来相反。因此，物体在受力反响后沿曲线BC运动时可能的，C选项不正确，A、D选项正确。
3．关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动
C．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动
D．合运动的两个分运动的时间不一定相等
答案：C
解析：根据平行四边形定则，合速度的大小介于两个分速度的大小之差和大小之和之间，可以比每一个分速度大，也可以比每一个分速度小，所以A选项错。合运动和分运动具有等时性，所以D选项错。两个匀速直线运动各自的加速度为零，所以和加速度为零，其合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。
4．关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是 （ ）
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．以上都不对
答案：C
解析：两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。当a和v重合时，物体做直线运动，当a和v不重合时，物体做曲线运动，由于题设数值不确定，以上两种均有可能。答案选C
5．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A． B．0 C． D．
答案：C
解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，到达江岸所用时间t=；沿江岸方向的运动速度是水速v1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离。答案：C
6．关于平抛运动的性质，以下说法正确的是 （ ）
A．平抛运动是变加速运动
B．平抛运动是匀变速运动
C．平抛运动是匀速率曲线运动
D．平抛运动不可能是两个匀速直线运动的合运动
答案：BD
解析：平抛运动是水平抛出且只有重力作用的运动，所以是加速度恒为g的匀变速运动，故A、C选项错误，B选项正确。平抛运动可分为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，所以D选项正确。
7．一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一只铁球，先后共释放4只，若不计空气阻力，则4只球 （ ）
A．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直线；它们的落地点是等间距的
D．在中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直线；它们的落地点是不等间距的
答案：C
解析：由于惯性，每一个铁球离开飞机后都具有与飞机相同的水平速度，离开飞机后铁球做做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，落地前每一个铁球与飞机在相等的时间内通过的水平位移相等，所以铁球总在飞机的正下方。同时每个球落地的时间间隔相等，因此落地的距离也相等，所以答案C正确。
8．一平抛物体抛出后第一秒末的速度与水平方向成θ角，则其初速度大小为 （ ）
A．gsinθ B．gcosθ
C．gtanθ D．gcotθ
答案：D
解析：由平抛运动的速度规律可知：
故有
9．在“探究平抛运动的运动规律”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
A．让小球多次从 位置上滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置。
B．按图安装好器材，注意 ，记下平抛初位置O点和过O点的竖直线。
C．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体的轨迹。
（1） 完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。
（2）上述实验步骤的合理顺序是 。
（3）如图所示是研究平抛运动的实验装置简图，图是实验后白纸上的轨迹图。
①说明图中的两条坐标轴是如何作出的。
② 说明判断槽口的切线是否水平的方法。
③ 实验过程中需要经多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹，进行这一步骤时应注意什么？
解析： ⑴ A中为了保证小球每次平抛初速度相同，轨迹重合，应让小球从同一位置滚下。B中为了保证小球做平抛运动，要注意斜槽末端切线水平。
⑵ 上述实验步骤的合理顺序是B、A、C。
（3） ① 利用拴在槽口处的重锤线画出y轴，x轴与y轴垂直。
② 将小球放在槽口的水平部分，小球既不向里滚动，也不向外滚动，说明槽口的末端是水平的。
③ 应注意每次小球都从轨道上同一位置由静止释放。
小结 为研究平抛运动规律，就需先得到平抛运动的轨迹，实验时应注意以下问题：一是保证小球每次平抛初速度相同；二是保证小球初速度分向水平。当然，还需要力求准确地记下小球经过的一系列位置。正确画出坐标轴是研究平抛运动特点的必要准备，关键在于利用重垂线画出y轴和确定坐标原点的位置。
10．如图1所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
解法一：应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按如图2所示进行分解.
其中:v=v物cosθ，使绳子收缩.
v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动.
所以v物=
解法二：应用微元法
设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图3所示.过C点作CD⊥AB，当Δt→0时，∠BAC极小，在△ACD中，可以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD，即为在Δt时间内绳子收缩的长度.
由图可知：BC= ①
由速度的定义：物体移动的速度为v物= ②
人拉绳子的速度v= ③
由①②③解之：v物=
12．河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：
(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河 最短时间是多少
(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河 最短的航程是多少
解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间
(2)渡河航程最短有两种情况：
①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；
②船速v2小于水流速度vl时，即v2设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则
，
最短行程，
小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m。
13．如图所示，某滑板爱好者在离地h= 1.8 m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移= 3 m。求：
人与滑板离开平台时的水平初速度以及空中飞行的时间。（空气阻力忽略不计，g取10)
解析：人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为，飞行时间为t，
根据平抛运动规律有 ，
解得
14．在倾角为θ的斜面上以初速度v0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜面的最大距离是多少？
解析：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远
由，则运动时间为
，此时横坐标为：。
又此时速度方向反向延长线交横轴于处：
。
曲线运动、平抛运动形成性测试题
1．一质点做曲线运动，在某一位置，它的速度方向、加速度方向以及所受合外力的方向的关系式 （ ）
A．速度、加速度、合外力的方向有可能都相同
B．加速度与合外力的方向一定相同
C．加速度方向与速度方向一定不同
D．速度方向与合外力方向可能相同相同，也可能不同
答案：BC
解析：由物体做曲线运动的条件可知，做曲线运动的速度方向与加速度的方向一定不同；由牛顿第二定律可知加速度方向就是合外力的方向，故A、D错，B、C正确。
2．设有一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2的作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1+△F，则质点以后 （ ）
A．一定做匀变速曲线运动
B．在相等的时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
答案：AB
解析：本题考查曲线运动的条件，解题关键是明确物体所受合外力与速度方向的关系。因为质点同时受到了恒力F1和F2的共同作用，并且是由静止开始沿F1、F2的合力F合的方向做匀加速直线运动，所以速度方向与F合相同。当力F1变大为F1+ΔF时，力F1+ΔF与F2的合力的大小和方向也必定发生变化，成为F’合。如图所示。此合力F’合虽然仍为恒力，但其方向与速度方向不再共线，因而此质点在F1增大为F1+ΔF之后必将做匀变速曲线运动。故选项A、B正确。
3．如图所示，若已知物体运动的初速度V0的方向及它受到的恒定的合外力F的方向，则可能的轨迹是（ )
答案：B
解析：由题可知，物体的速度v0与所受的合外力F并不在同一直线上，而是互成一个锐角。由物体做曲线运动的条件可知，此物体必然做曲线运动，其轨迹是曲线。又因为曲线运动的轨迹必夹在速度方向与合外力方向之间，切合外力的方向偏向轨迹的凹侧，由此可以判定物体运动的可能轨迹如图B所示，故B选项正确。
4．一质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度 （ ）
A．若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
B．若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
C．若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
D．若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
答案：BD
解析：做曲线运动的物体受到的合外力总是指向曲线凹陷的一侧，若x方向始终匀速，则开始阶段y方向受力应垂直于x轴向上，即y方向应为先减速后加速，故B对A错。若y方向始终匀速，则开始阶段x方向受力应垂直于y周向右，后一阶段x方向受力应垂直于y轴向左，即x方向应为先加速后减速，故C错D对。
5．某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设船速为 ，水速为 ，河宽为d ，则由题意可知 ： ①
当此人用最短位移过河时，即合速度方向应垂直于河岸，如图所示，则②
联立①②式可得： ，进一步得
6．互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动（ ）
A．有可能是直线运动 B．一定是曲线运动
C．有可能是匀速运动 D．一定是匀变速运动
答案：BD
解析： 互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，是匀变速，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B、 D。
7．对于只在重力作用下的物体所做的平抛运动，以下认识中正确的是 （ ）
A．物体运动过程中每1s内增加的速度都是一样的
B．在同一高度抛出的物体，初速度越大者在空中运动的时间越长
C．从抛出点开始，连续相等时间内竖直方向位移分量的比是1︰3︰5
D．初速度越大时，物体的水平射程一定越大
答案：A、C
解析：首先平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g是一个恒量，每1s内Δv都相同，因此A项正确，下落时间t只与下落高度y有关，与其他因素无关，与初速度也无关，因此B选项错误。平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动，对于这个初速度为零的匀加速运动有推论xⅠ︰xⅡ︰xⅢ=1︰3︰5，因此C选项正确，平抛运动的射程既与v0有关还与运动时间t有关，因此D选项错误。
8．如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53°，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L=20m处同时以速度v2沿斜面向下匀加速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10 m/s2） （ ）
A．v1=15m/s，v2=4 m/s，t=4s
B．v1=15 m/s，v2=6 m/s，t=3s
C．v1=18 m/s，v2=4 m/s，t=4s
D．v1=18m/s，v2=6 m/s，t=3s
答案：A。
解析：由平抛运动知识得，得4v1＝15t，把各选项中的时间t和速度v1代入上式，只有A项能使关系式有解。故正确答案为A。
小结：本题考查考点“平抛运动”，涉及到运动的合成与分解、匀变速直线运动等知识。本题重在考查考生对“物体A和物体B在斜面上相遇”这一条件的理解应用能力。本题不仅考查对平抛运动规律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。如果不采用代入法而自接推导会复杂得多。平抛运动还可结合牛顿运动定律、天体运行、电场等知识进行综合命题。
9．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab =bc =cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的 （ ）
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
答案：A
解析：当水平速度变为2v0时，如果作过b点的直线be，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A对。
10．在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.25cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度为v0＝ （用L、g表示），其值是 。（g取9.8m/s2）
解析：由水平方向上ab＝bc＝cd可知，相邻两点的时间间隔相等，设为T，竖直方向相邻两点间距之差相等，Δs＝L，则由 Δs＝aT2，
即得 T＝＝。
时间T内，水平方向位移为s＝2L，所以
v0＝＝2 m/s＝0.70m/s。
小结：充分利用平抛运动的轨迹及其特点是本题求解的关键。因为平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，即初速度为零的匀加速直线运动，水平分运动是匀速直线运动，由运动学规律即可求解平抛运动物体的初速度。
11．在“研究平抛物体的运动”的实验中，某同学只在竖直板面上记下了重锤线y的方向，但忘记了平抛的初位置，在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹，如图所示。现在曲线上取A、B两点，量出它们到y轴的距离，AA’=x1，BB’=x2，以及AB的竖直距离h，用这些可以求出求得小球平抛时的初速度为多大？
解析 设小球到达A点时，运动时间为t1，竖直方向的位移为y1；到达B点时，运动时间为t2，竖直方向的位移为y2。根据平抛运动的规律有
其中y2－y1=h，所以 。
小结 平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动，竖直方向的分运动为自由落体运动。有此列出方程求解，即可求得其初速度。
12．如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀的速度v0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？
解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。
设人运动到B点时，绳与地面的夹角为θ。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为
。
物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，
。
答案：，
[小结]分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动
13．已知排球网高H，半场长L，发球点高度h，发球点离网水平距离s，不计空气阻力。求：运动员水平发球的速度范围。
解析：假设运动员用速度v1扣球时，球刚好不会出界，用速度v2扣球时，球刚好不触网，排球做平抛运动。从图示关系可得：
；
实际扣球速度应在这两个值之间。
小结：本题以体育运动为背景，考查平抛运动的知识，涉及到临界分析。发球的速度过大，将会出界，发球的速度过小，将会触网，因此，运动员水平发球的速度要满足一定的范围，才能保证既不出界又不会触网。
14．从倾角为θ的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，试比较、的大小
解析：，
所以。即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。
曲线运动、平抛运动终结性测试卷
一、单选题
1、某物体在一个足够大的光滑水平面上向西运动，当它受到一个向南的恒定外力作用时，物体的运动将是（ ）
A．直线运动且是匀变速直线运动
B．曲线运动，但加速度方向不变，大小不变，是匀变速运动
C．曲线运动，但加速度方向改变，大小不变，是非匀变速曲线运动
D．曲线运动，加速度方向和大小均改变，是非匀变速曲线运动
答案B
解析：因为受到的力是恒定的，所以加速度是恒定的，是匀变速运动，因为加速度与速度不在同一直线上，所以是曲线运动。
2、如图所示，红蜡块在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v。若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的（ ）
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．无法确定
答案：B
解析：竖直方向匀速，则竖直方向相等的时间内位移相等，相反地相等的位移对应的时间相等，而水平方向相等的时间内位移越来越大。
3、一轮船以船头指向始终垂直于河岸方向以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下述说法正确的是（ ）
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程和时间都与水速无关
答案：C
解析：小船过河的时间可以由河的宽度d以及垂直于河岸的速度来求解，当船头指向河岸时，过河的时间等于 ，它与水流的速度无关，而过河的路程与水流的速度有关，水速越大，小船到达对岸的位置越偏向下游，过河路程越大。
4、关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等
B．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
C．只要两个分运动是匀加速直线运动，那么合运动也一定是匀加速直线运动
D．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动
答案：A
解析：.分运动与合运动具有等时性，即它们的时间相等，A对.合运动的速度可能比分运动的速度大，也可能小于分运动的速度，还可能与分运动的速度相等，B错.两个匀加速直线运动的合运动可能是匀加速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错.两个直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，D错.
5、柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到着地为止这一过程可以看作平抛运动，记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片，如图所示，相邻两次曝光时间间隔相等，已知汽车长度为L，则 （ ）
A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度
B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经到达的最大高度
C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小和汽车曾到达的最大高度
D．根据实验测得的，数据从右边一幅照片可推算出汽车水平分速度的大小
答案：A
解析：对于左边一幅照片，水平方向汽车做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，在竖直方向利用：，水平方向x＝v0t，将Δs、x与车的长度做比较，可求出v0t，左边一幅照片无法求出最大高度，因为不知道最下边的车离地的距离．中间一副照片不能确定第三次曝光时是否汽车刚刚落地，因此无法计算，C错．右边一副照片数据不足，也无法计算，D错．
6、一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1秒钟释放一个铁球，先后共释放四个，若不计空气阻力，则四个球（ ）
A．在空中任意时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任意时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C．在空中任意时刻总在飞机正下方排成竖直的线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任意时刻总在飞机正下方排成竖直的线，它们的落地点是不等间距的
答案：C
解析：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，铁球离开飞机后具有跟飞机相同的水平速度，所以在水平方向相同时间内通过的位移相等，所以铁球总在飞机的正下方。而每一个铁球在空中飞行的时间相同，落地的时间间隔也相同，所以落地的距离是相等的。
二、多选题
7、下列说法中正确的是（ ）
A．由于曲线运动的速度一定变化，所以加速度也一定变化
B．由于曲线运动的速度一定变化，所以曲线运动的物体一定有加速度
C．由于曲线运动的速度大小可以不变，所以曲线运动的物体不一定具有加速度
D．物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上是产生曲线运动的条件
答案：BD
解析：速度大小和方向中任一改变了，速度就改变了，速度变化了就必有加速度。
8、关于平抛物体的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体只受的重力作用，是a＝g的匀变速运动
B．初速度越大，物体在空中运动的时间越长
C．物体落地时的水平位移与初速度无关
D．物体落地时的水平位移与抛出点的高度有关
答案：AD
解析：平抛运动是以水平初速度抛出，仅在重力作用下的运动，所以加速度为g，恒定不变。运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其运动时间有下落的高度决定，水平飞行距离由初速度和高度共同决定。
9、一个物体从高为h的位置以初速v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为 （ ）
A． B． C． D．
答案：BC
解析：根据平抛运动分解后分速度与合速度的关系，可以先求出落地时竖直方向的速度，因为竖直方向自由落体，所以时间有，再由可得
10、在进行飞镖训练时，打飞镖的靶上共标有10环，且第10环的半径最小，为1cm，第9环的半径为2cm，……，以此类推，若靶的半径为10cm，当人离靶的距离为5m，将非标对准10环中心以水平速度v投出，g=10m/s2。则下列说法中，正确的是 （ ）
A．当≥50m/s时，飞镖将射中第8环线以内
B．当≥50m/s时，飞镖将射中第6环线上
C．若要击中第10环的圆内，飞镖的速度v至少应为m/s
D．若要击中靶子，飞镖的速度至少应为m/s
答案：BCD
三、填空题
11、如图所示，高为h的车厢在平直的轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点正下方，则油滴滴落地点必在O点的__________方，离O点的距离为_________．
解：站在地面的人看油滴做平抛运动．油滴开始下落时，设车速为v0，油滴下落高度为h，油滴对地面的水平位移为s1，则有：?
h＝gt2，s1＝v0t＝v0
地面上的观察者看车厢做匀减速运动，设在油滴下落过程中车对地的位移为s2，则有：?
s2＝v0t－at2＝v0－a·＝v0－
油滴相对车厢的水平位移为：
Δs＝s1－s2＝>0?
Δs>0即表示油滴向右的水平位移大于车厢向右的水平位移，所以油滴落在O点的右方，并且只要加速度a一定，车厢高度h一定，油滴相对车厢的水平位移Δs就是一个定值，而与车速大小无关，因此当车做匀减速运动时，不论油滴何时下落，油滴始终落在车厢地板上的同一位置，落点至O点的距离为．我们还可得到：当车做匀速直线运动时，a＝0，Δs＝0，油滴落在O点；当车身加速向右运动时：Δs＝－<0，即油滴落在O点左方，因为车厢向右的位移大于油滴向右的水平位移．?
12、如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm，如果取g＝10m/s2，那么：
⑴照相机的闪光频率是 Hz；
⑵小球运动中水平分速度的大小是 m/s；
⑶小球经过B点时的速度大小是 m/s。
答案：⑴10，⑵1.5，⑶2.5
解析：千万不要认为A点是出发点，题目没说就是不知道，计算过后才能确定。
三、计算题
13、跳台滑雪是勇敢者的运动。它是利用山势特别建造的跳台所进行的。运动员靠着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后起跳，在空中飞行一段距离后着陆。这项运动极为壮观。如图所示，设一位运动员由a点沿水平方向跃起，到b点着陆时，测得ab间距离L＝40m，山坡倾角θ＝30°。
试计算运动员起跳的速度和他在空中飞行的时间。（不计空气阻力，g取10m/s2）
答案：v0＝17.3m/s； t＝2s。
解析：ab间距离就是整个过程人的位移，则有水平方向：，竖直方向有 两式结合有：
14、小球以初速度v0水平抛出，落地速度为vt，阻力不计．求：
①在空中飞行时间；
②抛出点离地面的高度；
③水平射程；
④小球的位移．
解析：①由做平抛运动的物体在t s末的合速度为：
vt＝＝
可得t＝
②由竖直方向做自由落体运动，可得：
sy＝gt2＝
③水平射程：sx＝v0t＝
④位移：
s＝
与水平夹角：tanφ＝＝ /2v0
φ＝
15、如图排球场总长为18m，设网高度为2.25m，运动员站在离网3m线上正对网前跳起将球水平击出。设击球点的高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界。（g=10m/s2）
答案：
解析：当球刚落到边界时速度为v1，此时有
代入数据解得：
当球刚擦网时的速度为v2，则有： 代入数据解得：
所以击球速度应满足：才能既不触网又不出界。
16、如图所示，水平台面AB距地面的高度h＝0.80m.有一滑块从A点以v0 ＝6.0m/s的初速度在台面上做匀变速直线运动，滑块与平台间的动摩擦因数μ＝0.25.滑块运动到平台边缘的B点后水平飞出.已知AB＝2.2m。不计空气阻力，g取10m/s2，结果保留2位有效数字.求：
（1）滑块从B点飞出时的速度大小
（2）滑块落地点到平台边缘的水平距离
解：（1）由牛顿第二定律 μ m g = m a
运动学公式 vt2 －v02 = －2 a s
解得滑块从B点飞出时的速度大小 v t = 5.0 m/s
（2） 由平抛运动公式 s = vt t
解得滑块落地点到平台边缘的水平距离 s = 2.0 m
题号 题型 分值 知识点 能力水平
识记 理解 掌握 应用
1 单选题 3 曲线运动的性质 √
2 单选题 3 合运动的轨迹 √
3 单选题 3 小船渡河 √
4 单选题 3 合运动和分运动的关系 √
5 单选题 3 平抛运动的研究方法 √
6 单选题 3 平抛运动的规律 √
7 多选题 4 曲线运动的条件和特点 √ √
8 多选题 4 平抛运动的性质 √
9 多选题 4 平抛运动的速度规律 √
10 多选课 4 平抛运动规律的应用 √
11 填空题 8 平抛运动规律的应用 √
12 填空题 12 平抛运动的实验 √
13 计算题 10 平抛运动的位移 √
14 计算题 12 平抛运动的规律 √
15 计算题 12 平抛运动规律的应用 √
16 计算题 14 平抛运动规律的应用 √
曲线运动时变速运动：速度的方向为轨迹的切线方向
曲线运动
物体做曲线运动的条件：物体所受合外力的方向与运动方向不共线
研究曲线运动的方法：运动的合成和分解
遵循的原则：平行四边形定则
运动的合成和分解
独立性
等效性
等时性
同体性
合运动和分运动的关系
最短渡河时间： EMBED Equation.3
小船渡河问题
最短渡河位移：当v船>V水，x=d
当v船水平方向：匀速直线运动
竖直方向：自由落体运动
合位移：大小：，方向：
合速度：大小：，方向：
规律
平抛运动
物体做平抛运动的条件：具有水平初速度且只受重力作用
研究的方法：运动的合成和分解
性质：匀变速曲线运动
水平方向：
竖直方向：
射高：，射程：
斜抛物体的运动规律
α
θ
A
v0
θ
vx
vy
y
x
v
A
B
c
b
a
A
B
b
F
O
x
y
图-1
图-2
图-3
F1
F2
F1+Δ F
m
F合
F’合
F
V0
A
F
V0
B
F
V0
C
F
V0
D
x
y
O
a
b
c
d
A
A’
B’
B
y
h
x2
x1
h
H
s L
v
A
B
C
D
R
Q
P
A
B
C
a
b
A
v0
B
h
A
专题资源包评审
申 报 资 料
专 题 名 称 曲线运动 平抛运动
所 属 学 科 物 理
作 者 姓 名 耿玉盛
工 作 单 位 江苏省邗江中学
联 系 电 话 051487983605
申 报 时 间 2011年5月20日
扬州市教育局
二〇一一年三月制
曲线运动、平抛运动监测目标
线运动学习目标
1．知道物体运动轨迹为曲线的运动，叫曲线运动。
2．知道质点做曲线运动时，在某一位置的速度方向就是曲线在这一点的切线方向。
3．理解物体受到的合力跟它的速度方向不在一条直线上，物体就做曲线运动。
运动的合成和分解学习目标
1．理解运动合成和分解的概念。将几个运动合成为一个运动，叫运动的合成；将一个运动分解为几个运动，叫运动的分解。合成和分解遵循平行四边形定则。
2．知道和运动和分运动是同时发生的，并且互不影响，各自独立。而合运动就是物体表现出来的实际运动。
3．能够用作图法和直角三角形知识解决有关位移和速度的合成和分解的问题。
平抛运动学习目标
1．知道平抛运动的概念：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用的运动叫做平抛运动。其条件是：初速度沿水平方向，只有重力作用。
2．知道平抛运动的轨迹是抛物线。理解平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动，且两个分运动互不影响。
斜抛运动学习目标
1．知道斜抛运动的概念：以一定的初速度将物体与水平方向成一定的角速度斜向上抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
2．知道斜抛运动可以分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
3．知道斜抛运动中射高、射程跟速度和抛射角的关系。知道当初速度的方向一定时，初速度越大，射程越大；如果初速度的大小一定，当抛射角为450时，射程最大。
曲线运动、平抛运动知识框架
曲线运动、平抛运动重难点知识诠释
物体做曲线运动的条件
1．曲线运动是变速运动，凡物体做变速运动必有加速度，而加速度是由于力的作用产生的，因而做曲线运动的物体在任何时刻所受的合外力皆不为零，不受力的物体不可能做曲线运动。
2．当物体受到的合外力的方向与运动方向在一条直线上时，产生的加速度也在这条直线上，所以运动方向（速度方向）只能沿该直线（或正或反），其运动依然是直线。
3．当物体受到合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上，而是成一定角度时，产生的加速度方向跟速度方向也成一定的角度。一般情况下，这时的加速度不仅反映了速度大小的变化，还包含了速度方向的变化，其运动必然是曲线运动。
曲线运动的性质
1．无论物体做怎样的曲线运动，由于轨迹上各点的切线方向不同，物体的速度时刻发生变化，因此，曲线运动一定是变速运动。
注意：曲线运动一定是变速运动。这里的变速有两种可能：速度大小不变，方向改变；速度大小和方向都改变。
2．曲线运动分为匀变速曲线运动和非匀变速曲线运动。如果物体受到的合外力为恒力，物体具有恒定的加速度，则物体做匀变速曲线运动；如果物体受到的合外力是变力，物体的加速度是变化的，则物体做非匀变速曲线运动。
合运动与分运动的关系
合运动是物体的实际运动，一个运动可以看成物体同时参与了几个运动，这几个运动就是物体的实际运动的分运动，实际运动的方向就是和运动的方向。
1．运动的等效性：合运动是由于各分运动共同产生的总运动效果，合运动和分运动总的运动效果可以“等效替代”（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；
2．等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等,即各个分运动与合运动总是同时开始、同时结束。
3．独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。
4．运动的矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
两个直线运动的合运动的性质和轨迹
1．物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。
2．物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。
3．常见的类型有：
（1）a=0：匀速直线运动或静止。
（2）a恒定：性质为匀变速运动，分为：
① v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）
（3）a变化：性质为变加速运动。
4．互成角度的两个直线运动的合运动的几种可能
（1）两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。
（2）一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。
（3）两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。
小船过河问题
处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 ，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为，合运动沿v的方向进行。
2．位移最小
（1）若
结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为
（2）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，
设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据船头与河岸的夹角应为
，船沿河漂下的最短距离为：
此时渡河的最短位移：
平抛运动的性质以及研究方法
做平抛运动的物体只受重力，初速度与重力垂直．
运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。
研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
探究平抛运动规律的实验
（1）竖直方向规律的探究：如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A球沿水平方向抛出，同时B球松开，自由下落，A、B两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A在竖直方向上的运动为自由落体运动。
（2）水平方向规律的探究：如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A、B两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A、B两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动。
平抛运动的规律
（1）速度：
水平速度：vx=v0，竖直速度：vy=gt
合速度（实际速度）的大小：
物体的合速度v与x轴之间的夹角为：
（2）位移：
水平位移：，
竖直位移
合位移（实际位移）的大小：
物体的总位移s与x轴之间的夹角为：
可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。
而且而
轨迹方程：由和消去t得到：。可见平抛运动的轨迹为抛物线。
（3）平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定：由得：
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：
③平抛物体任意时刻瞬时速度v与平抛初速度v0夹角θa的正切值为位移s与水平位移x夹角θ正切值的两倍。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：
⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下（与g同向）。任意相同时间内的Δv都相同（包括大小、方向），如右图。
⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）
如右图：所以
所以，θ为定值故a也是定值与速度无关。
⑦速度v的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，变大，，速度v与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。
类平抛运动
1．有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。
2．类平抛运动的受力特点：
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
3．类平抛运动的处理方法：
在初速度方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线规律来处理。
斜抛运动的研究方法和规律
1．研究方法：分解法
（1）抛射角：物体抛出方向与X轴正方向之间的夹角称为抛射角，用θ表示。
（2）斜抛运动物体在水平方向不受力，以水平初速度VX做匀速直线运动；在竖直方向有方向向上的初速度vy，且受到重力的作用，因此做初速度为vy的竖直上抛运动。
2．运动规律：
（1）速度关系：
水平速度：
竖直速度：
t时刻速度的大小：
（2）位移关系：
水平位移：
竖直位移：
t时间内的合位移：
（3）从抛出点到最高点的时间：，从抛出点到落回抛出点所在的水平面的时间
斜抛运动的特点及性质
1．受力及运动性质：
由于物体做斜抛运动时仅受重力作用，所以加速度为重力加速度g，因此运动轨迹为抛物线的匀变速曲线运动。
2．斜抛运动的特点：
由知，相等的时间内速度的变化大小相等，方向竖直向下，即相等的时间内速度变化相同。
3．对称性：
（1）时间的对称性：从抛出点到最高点与从最高点落回抛出点所在的水平面的时间相等。
（2）速度的对称性：物体经过同一高度上的两点时速度大小相等。
（3）轨迹的对称性：其轨迹关于过最高点的竖直线对称。
斜抛运动的射程和射高
1．射高：在斜抛运动中，物体能达到的最大高度（H）叫做射高；
由 ，
得
即射高：
2．射程：物体从抛出点到落地点的水平距离(x)叫做射程.
从抛出点到最高点的时间：，
从抛出点到落回抛出点所在的水平面的时间
物体在水平方向上做匀速运动
讨论：射高、射程与初速度和抛射角有关
（1）当抛射角；
（2）当抛射角；
（3）当抛射角；
（4）当抛射角；
（5）当抛射角
曲线运动、平抛运动诊断性测试题
1．下列所发正确的是 （ ）
A．做曲线运动的物体的速度大小和方向必定变化
B．做曲线运动的物体的速度必定变化
C．曲线运动必定是变速运动
D．速度变化的运动必定是曲线运动
答案：BC
解析：本题考查对曲线运动的理解，解答本题的关键是明确做曲线运动的速度特点。在曲线运动中，运动质点的方向时刻发生变化，速度大小不一定发生变化，所以A错误，B正确。速度是矢量，既有大小又有方向；速度的大小或方向其中一个变化或两个都变化，速度就变化。曲线运动中速度方向时刻变化，故曲线运动是变速运动，C正确。若速度大小变化、方向不变，物体做直线运动，D不正确。
2．如图所示，物体在恒力作用下沿曲线从A运动至B，此时突然使力F反向，大小不变。在此力的作用下，对物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．物体不可能沿曲线Ba运动
B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动
D．物体不可能沿原曲线由B返回A
答案：BCD
解析：物体做曲线运动时，所受的合外力在任何时刻都与速度不共线，合外力的方向总是指向曲线凹的一边。
物体从A点向B点做曲线运动，所受合外力可能的方向有如图所示的三种可能。由于物体所受的力是恒力，所以任何一种可能的情况也不会和过B的切线与Bb平行，那么当力F突然反向，物体受到的力也不会与Bb直线平行。所以物体不可能沿过B点的切线Bb做直线运动，B选项正确。物体仍做曲线运动，由于合力方向本变化，必然导致曲线弯曲的方向与原来相反。因此，物体在受力反响后沿曲线BC运动时可能的，C选项不正确，A、D选项正确。
3．关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动
C．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动
D．合运动的两个分运动的时间不一定相等
答案：C
解析：根据平行四边形定则，合速度的大小介于两个分速度的大小之差和大小之和之间，可以比每一个分速度大，也可以比每一个分速度小，所以A选项错。合运动和分运动具有等时性，所以D选项错。两个匀速直线运动各自的加速度为零，所以和加速度为零，其合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。
4．关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是 （ ）
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．以上都不对
答案：C
解析：两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。当a和v重合时，物体做直线运动，当a和v不重合时，物体做曲线运动，由于题设数值不确定，以上两种均有可能。答案选C
5．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A． B．0 C． D．
答案：C
解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，到达江岸所用时间t=；沿江岸方向的运动速度是水速v1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离。答案：C
6．关于平抛运动的性质，以下说法正确的是 （ ）
A．平抛运动是变加速运动
B．平抛运动是匀变速运动
C．平抛运动是匀速率曲线运动
D．平抛运动不可能是两个匀速直线运动的合运动
答案：BD
解析：平抛运动是水平抛出且只有重力作用的运动，所以是加速度恒为g的匀变速运动，故A、C选项错误，B选项正确。平抛运动可分为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，所以D选项正确。
7．一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一只铁球，先后共释放4只，若不计空气阻力，则4只球 （ ）
A．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直线；它们的落地点是等间距的
D．在中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直线；它们的落地点是不等间距的
答案：C
解析：由于惯性，每一个铁球离开飞机后都具有与飞机相同的水平速度，离开飞机后铁球做做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，落地前每一个铁球与飞机在相等的时间内通过的水平位移相等，所以铁球总在飞机的正下方。同时每个球落地的时间间隔相等，因此落地的距离也相等，所以答案C正确。
8．一平抛物体抛出后第一秒末的速度与水平方向成θ角，则其初速度大小为 （ ）
A．gsinθ B．gcosθ
C．gtanθ D．gcotθ
答案：D
解析：由平抛运动的速度规律可知：
故有
9．在“探究平抛运动的运动规律”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
A．让小球多次从 位置上滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置。
B．按图安装好器材，注意 ，记下平抛初位置O点和过O点的竖直线。
C．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体的轨迹。
（1） 完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。
（2）上述实验步骤的合理顺序是 。
（3）如图所示是研究平抛运动的实验装置简图，图是实验后白纸上的轨迹图。
①说明图中的两条坐标轴是如何作出的。
② 说明判断槽口的切线是否水平的方法。
③ 实验过程中需要经多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹，进行这一步骤时应注意什么？
解析： ⑴ A中为了保证小球每次平抛初速度相同，轨迹重合，应让小球从同一位置滚下。B中为了保证小球做平抛运动，要注意斜槽末端切线水平。
⑵ 上述实验步骤的合理顺序是B、A、C。
（3） ① 利用拴在槽口处的重锤线画出y轴，x轴与y轴垂直。
② 将小球放在槽口的水平部分，小球既不向里滚动，也不向外滚动，说明槽口的末端是水平的。
③ 应注意每次小球都从轨道上同一位置由静止释放。
小结 为研究平抛运动规律，就需先得到平抛运动的轨迹，实验时应注意以下问题：一是保证小球每次平抛初速度相同；二是保证小球初速度分向水平。当然，还需要力求准确地记下小球经过的一系列位置。正确画出坐标轴是研究平抛运动特点的必要准备，关键在于利用重垂线画出y轴和确定坐标原点的位置。
10．如图1所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
解法一：应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按如图2所示进行分解.
其中:v=v物cosθ，使绳子收缩.
v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动.
所以v物=
解法二：应用微元法
设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图3所示.过C点作CD⊥AB，当Δt→0时，∠BAC极小，在△ACD中，可以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD，即为在Δt时间内绳子收缩的长度.
由图可知：BC= ①
由速度的定义：物体移动的速度为v物= ②
人拉绳子的速度v= ③
由①②③解之：v物=
12．河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：
(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河 最短时间是多少
(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河 最短的航程是多少
解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间
(2)渡河航程最短有两种情况：
①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；
②船速v2小于水流速度vl时，即v2
，
最短行程，
小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m。
13．如图所示，某滑板爱好者在离地h= 1.8 m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移= 3 m。求：
人与滑板离开平台时的水平初速度以及空中飞行的时间。（空气阻力忽略不计，g取10)
解析：人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为，飞行时间为t，
根据平抛运动规律有 ，
解得
14．在倾角为θ的斜面上以初速度v0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜面的最大距离是多少？
解析：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远
由，则运动时间为
，此时横坐标为：。
又此时速度方向反向延长线交横轴于处：
。
曲线运动、平抛运动形成性测试题
1．一质点做曲线运动，在某一位置，它的速度方向、加速度方向以及所受合外力的方向的关系式 （ ）
A．速度、加速度、合外力的方向有可能都相同
B．加速度与合外力的方向一定相同
C．加速度方向与速度方向一定不同
D．速度方向与合外力方向可能相同相同，也可能不同
答案：BC
解析：由物体做曲线运动的条件可知，做曲线运动的速度方向与加速度的方向一定不同；由牛顿第二定律可知加速度方向就是合外力的方向，故A、D错，B、C正确。
2．设有一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2的作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1+△F，则质点以后 （ ）
A．一定做匀变速曲线运动
B．在相等的时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
答案：AB
解析：本题考查曲线运动的条件，解题关键是明确物体所受合外力与速度方向的关系。因为质点同时受到了恒力F1和F2的共同作用，并且是由静止开始沿F1、F2的合力F合的方向做匀加速直线运动，所以速度方向与F合相同。当力F1变大为F1+ΔF时，力F1+ΔF与F2的合力的大小和方向也必定发生变化，成为F’合。如图所示。此合力F’合虽然仍为恒力，但其方向与速度方向不再共线，因而此质点在F1增大为F1+ΔF之后必将做匀变速曲线运动。故选项A、B正确。
3．如图所示，若已知物体运动的初速度V0的方向及它受到的恒定的合外力F的方向，则可能的轨迹是（ )
答案：B
解析：由题可知，物体的速度v0与所受的合外力F并不在同一直线上，而是互成一个锐角。由物体做曲线运动的条件可知，此物体必然做曲线运动，其轨迹是曲线。又因为曲线运动的轨迹必夹在速度方向与合外力方向之间，切合外力的方向偏向轨迹的凹侧，由此可以判定物体运动的可能轨迹如图B所示，故B选项正确。
4．一质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度 （ ）
A．若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
B．若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
C．若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
D．若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
答案：BD
解析：做曲线运动的物体受到的合外力总是指向曲线凹陷的一侧，若x方向始终匀速，则开始阶段y方向受力应垂直于x轴向上，即y方向应为先减速后加速，故B对A错。若y方向始终匀速，则开始阶段x方向受力应垂直于y周向右，后一阶段x方向受力应垂直于y轴向左，即x方向应为先加速后减速，故C错D对。
5．某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设船速为 ，水速为 ，河宽为d ，则由题意可知 ： ①
当此人用最短位移过河时，即合速度方向应垂直于河岸，如图所示，则②
联立①②式可得： ，进一步得
6．互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动（ ）
A．有可能是直线运动 B．一定是曲线运动
C．有可能是匀速运动 D．一定是匀变速运动
答案：BD
解析： 互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，是匀变速，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B、 D。
7．对于只在重力作用下的物体所做的平抛运动，以下认识中正确的是 （ ）
A．物体运动过程中每1s内增加的速度都是一样的
B．在同一高度抛出的物体，初速度越大者在空中运动的时间越长
C．从抛出点开始，连续相等时间内竖直方向位移分量的比是1︰3︰5
D．初速度越大时，物体的水平射程一定越大
答案：A、C
解析：首先平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g是一个恒量，每1s内Δv都相同，因此A项正确，下落时间t只与下落高度y有关，与其他因素无关，与初速度也无关，因此B选项错误。平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动，对于这个初速度为零的匀加速运动有推论xⅠ︰xⅡ︰xⅢ=1︰3︰5，因此C选项正确，平抛运动的射程既与v0有关还与运动时间t有关，因此D选项错误。
8．如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53°，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L=20m处同时以速度v2沿斜面向下匀加速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10 m/s2） （ ）
A．v1=15m/s，v2=4 m/s，t=4s
B．v1=15 m/s，v2=6 m/s，t=3s
C．v1=18 m/s，v2=4 m/s，t=4s
D．v1=18m/s，v2=6 m/s，t=3s
答案：A。
解析：由平抛运动知识得，得4v1＝15t，把各选项中的时间t和速度v1代入上式，只有A项能使关系式有解。故正确答案为A。
小结：本题考查考点“平抛运动”，涉及到运动的合成与分解、匀变速直线运动等知识。本题重在考查考生对“物体A和物体B在斜面上相遇”这一条件的理解应用能力。本题不仅考查对平抛运动规律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。如果不采用代入法而自接推导会复杂得多。平抛运动还可结合牛顿运动定律、天体运行、电场等知识进行综合命题。
9．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab =bc =cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的 （ ）
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
答案：A
解析：当水平速度变为2v0时，如果作过b点的直线be，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A对。
10．在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.25cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度为v0＝ （用L、g表示），其值是 。（g取9.8m/s2）
解析：由水平方向上ab＝bc＝cd可知，相邻两点的时间间隔相等，设为T，竖直方向相邻两点间距之差相等，Δs＝L，则由 Δs＝aT2，
即得 T＝＝。
时间T内，水平方向位移为s＝2L，所以
v0＝＝2 m/s＝0.70m/s。
小结：充分利用平抛运动的轨迹及其特点是本题求解的关键。因为平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，即初速度为零的匀加速直线运动，水平分运动是匀速直线运动，由运动学规律即可求解平抛运动物体的初速度。
11．在“研究平抛物体的运动”的实验中，某同学只在竖直板面上记下了重锤线y的方向，但忘记了平抛的初位置，在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹，如图所示。现在曲线上取A、B两点，量出它们到y轴的距离，AA’=x1，BB’=x2，以及AB的竖直距离h，用这些可以求出求得小球平抛时的初速度为多大？
解析 设小球到达A点时，运动时间为t1，竖直方向的位移为y1；到达B点时，运动时间为t2，竖直方向的位移为y2。根据平抛运动的规律有
其中y2－y1=h，所以 。
小结 平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动，竖直方向的分运动为自由落体运动。有此列出方程求解，即可求得其初速度。
12．如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀的速度v0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？
解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。
设人运动到B点时，绳与地面的夹角为θ。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为
。
物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，
。
答案：，
[小结]分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动
13．已知排球网高H，半场长L，发球点高度h，发球点离网水平距离s，不计空气阻力。求：运动员水平发球的速度范围。
解析：假设运动员用速度v1扣球时，球刚好不会出界，用速度v2扣球时，球刚好不触网，排球做平抛运动。从图示关系可得：
；
实际扣球速度应在这两个值之间。
小结：本题以体育运动为背景，考查平抛运动的知识，涉及到临界分析。发球的速度过大，将会出界，发球的速度过小，将会触网，因此，运动员水平发球的速度要满足一定的范围，才能保证既不出界又不会触网。
14．从倾角为θ的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，试比较、的大小
解析：，
所以。即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。
曲线运动、平抛运动终结性测试卷
一、单选题
1、某物体在一个足够大的光滑水平面上向西运动，当它受到一个向南的恒定外力作用时，物体的运动将是（ ）
A．直线运动且是匀变速直线运动
B．曲线运动，但加速度方向不变，大小不变，是匀变速运动
C．曲线运动，但加速度方向改变，大小不变，是非匀变速曲线运动
D．曲线运动，加速度方向和大小均改变，是非匀变速曲线运动
答案B
解析：因为受到的力是恒定的，所以加速度是恒定的，是匀变速运动，因为加速度与速度不在同一直线上，所以是曲线运动。
2、如图所示，红蜡块在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v。若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的（ ）
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．无法确定
答案：B
解析：竖直方向匀速，则竖直方向相等的时间内位移相等，相反地相等的位移对应的时间相等，而水平方向相等的时间内位移越来越大。
3、一轮船以船头指向始终垂直于河岸方向以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下述说法正确的是（ ）
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程和时间都与水速无关
答案：C
解析：小船过河的时间可以由河的宽度d以及垂直于河岸的速度来求解，当船头指向河岸时，过河的时间等于 ，它与水流的速度无关，而过河的路程与水流的速度有关，水速越大，小船到达对岸的位置越偏向下游，过河路程越大。
4、关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等
B．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
C．只要两个分运动是匀加速直线运动，那么合运动也一定是匀加速直线运动
D．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动
答案：A
解析：.分运动与合运动具有等时性，即它们的时间相等，A对.合运动的速度可能比分运动的速度大，也可能小于分运动的速度，还可能与分运动的速度相等，B错.两个匀加速直线运动的合运动可能是匀加速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错.两个直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，D错.
5、柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到着地为止这一过程可以看作平抛运动，记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片，如图所示，相邻两次曝光时间间隔相等，已知汽车长度为L，则 （ ）
A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度
B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经到达的最大高度
C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小和汽车曾到达的最大高度
D．根据实验测得的，数据从右边一幅照片可推算出汽车水平分速度的大小
答案：A
解析：对于左边一幅照片，水平方向汽车做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，在竖直方向利用：，水平方向x＝v0t，将Δs、x与车的长度做比较，可求出v0t，左边一幅照片无法求出最大高度，因为不知道最下边的车离地的距离．中间一副照片不能确定第三次曝光时是否汽车刚刚落地，因此无法计算，C错．右边一副照片数据不足，也无法计算，D错．
6、一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1秒钟释放一个铁球，先后共释放四个，若不计空气阻力，则四个球（ ）
A．在空中任意时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任意时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C．在空中任意时刻总在飞机正下方排成竖直的线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任意时刻总在飞机正下方排成竖直的线，它们的落地点是不等间距的
答案：C
解析：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，铁球离开飞机后具有跟飞机相同的水平速度，所以在水平方向相同时间内通过的位移相等，所以铁球总在飞机的正下方。而每一个铁球在空中飞行的时间相同，落地的时间间隔也相同，所以落地的距离是相等的。
二、多选题
7、下列说法中正确的是（ ）
A．由于曲线运动的速度一定变化，所以加速度也一定变化
B．由于曲线运动的速度一定变化，所以曲线运动的物体一定有加速度
C．由于曲线运动的速度大小可以不变，所以曲线运动的物体不一定具有加速度
D．物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上是产生曲线运动的条件
答案：BD
解析：速度大小和方向中任一改变了，速度就改变了，速度变化了就必有加速度。
8、关于平抛物体的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体只受的重力作用，是a＝g的匀变速运动
B．初速度越大，物体在空中运动的时间越长
C．物体落地时的水平位移与初速度无关
D．物体落地时的水平位移与抛出点的高度有关
答案：AD
解析：平抛运动是以水平初速度抛出，仅在重力作用下的运动，所以加速度为g，恒定不变。运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其运动时间有下落的高度决定，水平飞行距离由初速度和高度共同决定。
9、一个物体从高为h的位置以初速v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为 （ ）
A． B． C． D．
答案：BC
解析：根据平抛运动分解后分速度与合速度的关系，可以先求出落地时竖直方向的速度，因为竖直方向自由落体，所以时间有，再由可得
10、在进行飞镖训练时，打飞镖的靶上共标有10环，且第10环的半径最小，为1cm，第9环的半径为2cm，……，以此类推，若靶的半径为10cm，当人离靶的距离为5m，将非标对准10环中心以水平速度v投出，g=10m/s2。则下列说法中，正确的是 （ ）
A．当≥50m/s时，飞镖将射中第8环线以内
B．当≥50m/s时，飞镖将射中第6环线上
C．若要击中第10环的圆内，飞镖的速度v至少应为m/s
D．若要击中靶子，飞镖的速度至少应为m/s
答案：BCD
三、填空题
11、如图所示，高为h的车厢在平直的轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点正下方，则油滴滴落地点必在O点的__________方，离O点的距离为_________．
解：站在地面的人看油滴做平抛运动．油滴开始下落时，设车速为v0，油滴下落高度为h，油滴对地面的水平位移为s1，则有：?
h＝gt2，s1＝v0t＝v0
地面上的观察者看车厢做匀减速运动，设在油滴下落过程中车对地的位移为s2，则有：?
s2＝v0t－at2＝v0－a·＝v0－
油滴相对车厢的水平位移为：
Δs＝s1－s2＝>0?
Δs>0即表示油滴向右的水平位移大于车厢向右的水平位移，所以油滴落在O点的右方，并且只要加速度a一定，车厢高度h一定，油滴相对车厢的水平位移Δs就是一个定值，而与车速大小无关，因此当车做匀减速运动时，不论油滴何时下落，油滴始终落在车厢地板上的同一位置，落点至O点的距离为．我们还可得到：当车做匀速直线运动时，a＝0，Δs＝0，油滴落在O点；当车身加速向右运动时：Δs＝－<0，即油滴落在O点左方，因为车厢向右的位移大于油滴向右的水平位移．?
12、如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm，如果取g＝10m/s2，那么：
⑴照相机的闪光频率是 Hz；
⑵小球运动中水平分速度的大小是 m/s；
⑶小球经过B点时的速度大小是 m/s。
答案：⑴10，⑵1.5，⑶2.5
解析：千万不要认为A点是出发点，题目没说就是不知道，计算过后才能确定。
三、计算题
13、跳台滑雪是勇敢者的运动。它是利用山势特别建造的跳台所进行的。运动员靠着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后起跳，在空中飞行一段距离后着陆。这项运动极为壮观。如图所示，设一位运动员由a点沿水平方向跃起，到b点着陆时，测得ab间距离L＝40m，山坡倾角θ＝30°。
试计算运动员起跳的速度和他在空中飞行的时间。（不计空气阻力，g取10m/s2）
答案：v0＝17.3m/s； t＝2s。
解析：ab间距离就是整个过程人的位移，则有水平方向：，竖直方向有 两式结合有：
14、小球以初速度v0水平抛出，落地速度为vt，阻力不计．求：
①在空中飞行时间；
②抛出点离地面的高度；
③水平射程；
④小球的位移．
解析：①由做平抛运动的物体在t s末的合速度为：
vt＝＝
可得t＝
②由竖直方向做自由落体运动，可得：
sy＝gt2＝
③水平射程：sx＝v0t＝
④位移：
s＝
与水平夹角：tanφ＝＝ /2v0
φ＝
15、如图排球场总长为18m，设网高度为2.25m，运动员站在离网3m线上正对网前跳起将球水平击出。设击球点的高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界。（g=10m/s2）
答案：
解析：当球刚落到边界时速度为v1，此时有
代入数据解得：
当球刚擦网时的速度为v2，则有： 代入数据解得：
所以击球速度应满足：才能既不触网又不出界。
16、如图所示，水平台面AB距地面的高度h＝0.80m.有一滑块从A点以v0 ＝6.0m/s的初速度在台面上做匀变速直线运动，滑块与平台间的动摩擦因数μ＝0.25.滑块运动到平台边缘的B点后水平飞出.已知AB＝2.2m。不计空气阻力，g取10m/s2，结果保留2位有效数字.求：
（1）滑块从B点飞出时的速度大小
（2）滑块落地点到平台边缘的水平距离
解：（1）由牛顿第二定律 μ m g = m a
运动学公式 vt2 －v02 = －2 a s
解得滑块从B点飞出时的速度大小 v t = 5.0 m/s
（2） 由平抛运动公式 s = vt t
解得滑块落地点到平台边缘的水平距离 s = 2.0 m
题号 题型 分值 知识点 能力水平
识记 理解 掌握 应用
1 单选题 3 曲线运动的性质 √
2 单选题 3 合运动的轨迹 √
3 单选题 3 小船渡河 √
4 单选题 3 合运动和分运动的关系 √
5 单选题 3 平抛运动的研究方法 √
6 单选题 3 平抛运动的规律 √
7 多选题 4 曲线运动的条件和特点 √ √
8 多选题 4 平抛运动的性质 √
9 多选题 4 平抛运动的速度规律 √
10 多选课 4 平抛运动规律的应用 √
11 填空题 8 平抛运动规律的应用 √
12 填空题 12 平抛运动的实验 √
13 计算题 10 平抛运动的位移 √
14 计算题 12 平抛运动的规律 √
15 计算题 12 平抛运动规律的应用 √
16 计算题 14 平抛运动规律的应用 √
曲线运动时变速运动：速度的方向为轨迹的切线方向
曲线运动
物体做曲线运动的条件：物体所受合外力的方向与运动方向不共线
研究曲线运动的方法：运动的合成和分解
遵循的原则：平行四边形定则
运动的合成和分解
独立性
等效性
等时性
同体性
合运动和分运动的关系
最短渡河时间： EMBED Equation.3
小船渡河问题
最短渡河位移：当v船>V水，x=d
当v船
竖直方向：自由落体运动
合位移：大小：，方向：
合速度：大小：，方向：
规律
平抛运动
物体做平抛运动的条件：具有水平初速度且只受重力作用
研究的方法：运动的合成和分解
性质：匀变速曲线运动
水平方向：
竖直方向：
射高：，射程：
斜抛物体的运动规律
α
θ
A
v0
θ
vx
vy
y
x
v
A
B
c
b
a
A
B
b
F
O
x
y
图-1
图-2
图-3
F1
F2
F1+Δ F
m
F合
F’合
F
V0
A
F
V0
B
F
V0
C
F
V0
D
x
y
O
a
b
c
d
A
A’
B’
B
y
h
x2
x1
h
H
s L
v
A
B
C
D
R
Q
P
A
B
C
a
b
A
v0
B
h
A