广东省执信中学2011-2012学年高二上学期期末考试试题（数学文）

广东省执信中学2011-2012学年高二上学期期末考试试题（数学文）
第一部分 选择题 (共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，那么集合 等于（ * ）
A． B． C． D．
2．若函数是函数的反函数，且，则（ * ）
A． B． C． D．
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ * ）
A． 63 B．31 C．27 D．15
4. 在中，，则（ * ）
A． B． C． D．
5．到椭圆左焦点的距离与到定直线
距离相等的动点轨迹方程是（ * ）
A． B．
C． D．
6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ * ）
7．已知等差数列中，若，则数列的前项和等于（ * ）
A． B． C． D．
8. 使“”成立的一个充分不必要条件是 （ * ）
A． B． C． D．
9. 设且满足，则的最小值等于（ * ）
A． B． C． D．
10．若函数满足且时，，
函数，则函数在区间内的零点的
个数为（ * ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题 (共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11. 命题“”的否定是：___***_____；
12. 平面向量、的夹角为，，， 则___***_____；
13. 已知圆的圆心为，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为___***_____；
14. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为___***_____ .
三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
16. (本小题满分12分)
某车间将名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件
若干，其中合格零件的个数如下表：
1号 2号 3号 4号 5号
甲组 4 5 7 9 10
乙组 5 6 7 8 9
（Ⅰ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此比较两组技工的技术水平；
（Ⅱ）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
18. （本小题满分14分）
已知椭圆的方程为：，其中，直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
19. （本小题满分14分）
已知函数定义域为且同时满足： ①图像向左平移1个单位后所得函数为偶函数；②对于任意大于1的不等实数，总有成立.
（Ⅰ）的图像是否有对称轴？如果有，写出对称轴方程，并说明在区间上的单调性；
（Ⅱ）设，如果，判断是否有负实根并说明理由；
（Ⅲ）如果且，比较与的大小并说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.
（Ⅰ）分别求数列、的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C D C B D B C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11． 12． 13． 14．
16. (本小题满分12分)
【解析】（Ⅰ）依题意，
……………………………… 2分
……… 3分
…………… 4分
因为，
所以，两组技工的总体水平相同，甲组技工的技术水平差异比乙组大 …………… 6分
（Ⅱ）记该车间“质量合格”为事件A，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种 ………… 8分
事件A包含的基本事件为：（4，9），（5，8），（5，9），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），
（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），
（10，9）共17种 ……………………………… 10分
所以 ……………………………… 11分
答：该车间“质量合格”的概率为 ……………………………… 12分
17．(本小题满分14分)
【解析】（Ⅰ）证明：方法一：，连结CG，
∵分别为、的中点 ∴且
……………………………… 2分
平面，平面
平面 ……………………………… 4分
方法二： ∵分别为、的中点
∴且 ……………………………… 1分
平面，平面
平面
平面，平面
平面
∴平面平面 ……………………………… 3分
∵平面平面 ……………… 4分(Ⅱ) ∵ ∴ ∴在中 =
∴即……………………… 6分
又∵
∴平面 ∴ ……………………8分
∴平面 …………………… 9分
(Ⅲ) 方法一： ∵平面 ∴
∵ ∴平面
∴为三棱锥的高 …………………… 11分
面，
……………………… 12分
……………………… 14分
方法二： ……………………… 10分
平面 为三棱锥的高 ………………… 11分
面
……………………………… 12分
………………………… 14分
方法三： ……………………… 10分
面 为三棱锥的高 …………………… 11分
平面
………………………… 12分
………………………… 14分
18. （本小题满分14分）
【解析】 (Ⅰ)方法一：设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是， ………………………… 2分
根据椭圆的定义得：，
即，即， ………………… 4分
又，，联立三式解得 …………………… 6分
所以椭圆的方程为： ……………………………… 7分
方法二：设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是，……………… 2分
将点坐标代入椭圆的方程得
化简整理得 ………………………… 4分
解得或
或 或（此时，舍去）
………………………… 6分
所以椭圆的方程为： ………………………… 7分
(Ⅱ)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为，
则以为直径的圆方程是，圆心为，半径为 …… 9分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是，圆心是，半径是 ………… 11分
两圆心距为，所以两圆内切. …………………………… 14分
19、(本小题满分14分)
【解析】(Ⅰ)由条件①得的图像关于直线对称 ……………………… 2分
由条件②得时，恒成立，时，恒成立，
在上单调递增 …………………………… 4分
又的图像关于直线对称，在上单调递减 ……… 5分
（Ⅱ）方法一：若有负根，则，　
…………………………… 6分
， 在上单调递减 ……………… 8分
，与矛盾 故无负实根 ………… 10分
方法二：若有负根，则　
…………………………… 6分
， 在上单调递减
结合图像如右图所示
………………………… 8分
知与的图象在轴左侧无交点，故无负实根 ……… 10分
（Ⅲ）解：点与点为上关于直线对称的两点
…………………………… 11分
， …………………………… 12分
又在上单调递增， …… 14分
20．（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ） …………………………… 1分
时满足上式，故 ……………………………2分
∵=1∴ ……………………………3分
∵ ①
∴ ②
∴①+②，得 …………………………… 5分
（Ⅱ）∵，∴ ………………………………6分
∴， ①
， ②
①－②得 …………………………8分
即 ………………………… 9分
要使得不等式恒成立，
结束
输出
否
是
开始