第一章 三角形的证明单元提高测试卷（Word版 含解析）

第1章三角形的证明
一、选择题
1．如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（　　）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定
2．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．60°或30°
4．把一根长50cm的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少5cm，则该三角形的边长不可能为（　　）
A．12cm B．19cm C．22.5cm D．13cm
5．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（　　）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线．若在边AC上截取CE＝CB，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BD＝BC＝AD，则∠ADB的度数（　　）
A．36° B．72° C．108° D．120°
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，若∠DAB的角平分线AE交BC于E，连接DE，且DE边平分∠ADC，则以下命题正确的个数是（　　）
①CD+AB＝BC；②E为BC中点；③∠AED＝90°；④S△ADE＝S四边形ABCD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．等腰三角形的一个外角是130°，它的顶角的度数是（　　）
A．50° B．80° C．50°和80° D．80°或65°
10．在直角坐标系中，已知A（4，4），在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A．2个 B．4个 C．5个 D．8个
二、填空题
11．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　 　cm．
12．已知，△ABC中，∠ABC＝30°，过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点Q，若PQ＝CQ＝1，则BC＝　 　．
13．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，且BC＝CD，连接AD，作CE∥AB交AD于点E，若AB＝4cm，则ED＝　 　cm．
14．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于　 　．
15．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为　 　．
16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．
17．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为　 　度．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝8，点E是AB上一动点，DE的最小值为　 　．
19．如图，CE平分∠ACB．且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝9，△CBD的周长为14，则DB的长为　 　．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是　 　．
21．如图，已知等边△ABC的边长是6，点D在AC上，且CD＝4．延长BC到E，使CE＝CD，连接DE．点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为　 　．
22．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为　 　．
三、解答题
23．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
24．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连接PB交线段AF相交于点M．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
25．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF；
（3）求△BDE的面积．
26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；
（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
28．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）一般情况，证明结论：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC． 若△ABC的边长为1，AE＝2，则CD的长为　 　（请直接写出结果）．
参考答案
1．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝10，
∴∠EAC＝∠C＝15°，
∴∠AEB＝30°，
∴AB＝AE＝5（cm），
故选：B．
2．解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
3．解：如图，分两种情况：
①在左图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝∠ABC＝＝60°；
②在右图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，
∴∠DAB＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC＝＝30°．
故选：D．
4．解：设一边为x（cm），则另一边为（2x﹣5）（cm），
①当底边为xcm，腰长为（2x﹣5）cm时，2x﹣5+2x﹣5+x＝50，
解得x＝12，
∴2x﹣5＝19，
②当腰长为xcm，底边为（2x﹣5）cm时，x+2x﹣5+x＝50，
解得x＝13.75，
∴2x﹣5＝22.5，
③当两腰分别为xcm和（2x﹣5）cm时，x＝，不符合三角形三边关系；
综上所述，该三角形的边长为12cm或19cm或22.5cm或13.5cm，
故选：D．
5．解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
6．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
7．解：∵BD＝BC＝AD，AC＝AB，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠ABC＝∠CDB，
设∠A＝x°，
则∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠C＝∠ABC＝∠CDB＝∠A+∠ABD＝2x°
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
∴x＝36，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故选：C．
8．解：如图所示，过E作EF⊥AD于F，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴∠B＝∠AFE＝∠C＝∠DFE＝90°，
又∵AE＝AE，DE＝DE，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），Rt△DCE≌Rt△DFE（HL），
∴DC＝DF，AB＝AF，
∴CD+AB＝AD≠BC，故①错误；
∵EF＝BE，EF＝CE，
∴BE＝CE，
即E是BC的中点，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA＝180°，
又∵AE平分∠DAB，DE平分∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°，故③正确；
∵Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），Rt△DCE≌Rt△DFE（HL），
∴S△ADE＝S四边形ABCD．故④正确；
故选：C．
9．解：∵一个外角为130°，
∴三角形的一个内角为50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
∴等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
10．解：①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（O除外）；
②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交坐标轴于四个点；
③作线段AO的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点；
∴符合条件的点P共：2+4+2＝8（个）．
故选：D．
11．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD＝AC＝3cm．
故填3．
12．解：分两种情况：
①当点Q在线段BC上时，如图1，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴BQ＝2PQ＝2，
又∵PQ＝CQ＝1，
∴BC＝BQ+CQ＝2+1＝3；
②当点Q在线段BC的延长线上时，如图2，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴BQ＝2PQ＝2，
又∵PQ＝CQ＝1，
∴BC＝BQ﹣CQ＝2﹣1＝1；
综上所述，BC＝1或3．
故答案为：1或3．
13．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠BAC＝60°，
∵BC＝CD，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+30°＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠BAD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴CE＝CD＝2cm，
∴ED＝2（cm）．
故答案为：2．
14．解：如下图，分三种情况：
①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD＝BC＝AB，
∴∠B＝30°，∠C＝（180°﹣∠B）＝75°，
∴∠BAC＝∠C＝75°；
②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD＝BC＝AC，
∴sin∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝30°＝∠B+∠CAB，
∵∠B＝∠CAB，
∴∠BAC＝∠ACD＝15°；
③如图3，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，
由题意知，AD＝BC＝CD＝BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故答案为：90°或75°或15°．
15．解：如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD．设AB＝x，BC＝y，
①当AC+AD＝15，BD+BC＝12时，则x+x＝15，x+y＝12，
解得x＝10，y＝7．
②当AC+AD＝12，BC+BD＝15时，则x+x＝12，x+y＝15，
解得x＝8，y＝11，
综上所述，这个三角形的底边BC的长为7或11．
故答案为：7或11．
16．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
17．解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，
∴∠A＝30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
18．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，由垂线段最短可知DE最短，
∵AD平分∠CAB交BC于D，
∴DE＝CD＝8，
即DE长的最小值为8．
故答案为：8．
19．解：∵CE平分∠ACB且CE⊥DB，
∴∠DCE＝∠BCE，∠CED＝∠CEB，
又∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE（ASA），
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝9，
又∵△CBD的周长为14，
∴BC＝14﹣9＝5，
∴CD＝5，
∴AD＝9﹣5＝4＝BD，
故答案为：4．
20．解：分三种情况：
①当CD＝DE时，
∵∠CDE＝40°，
∴∠DCE＝∠DEC＝70°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝110°，
②当DE＝CE时，
∵∠CDE＝40°，
∴∠DCE＝∠CDE＝40°，
∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝80°．
③当EC＝CD时，
∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵∠ACB＝100°，
∴此时，点D与点A重合，不合题意．
综上所述，若△ADC是等腰三角形，则∠ADC的度数为80°或110°．
故答案为：80°或110°．
21．解：如图，连接CF，CG，
∵AC＝BC，CE＝CD，点F，G分别是AB，DE的中点，
∴CF平分∠ACB，CG平分∠DCE，
∴∠FCG＝90°，
又∵CD＝CE＝4，BC＝6，
∴Rt△BCF中，BF＝3，CF＝＝3，
Rt△CEG中，CG＝CE＝2，
∴Rt△FCG中，FG＝＝＝，
故答案为：．
22．解：如图，过点E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB⊥AD，
∴∠A＝∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴AE＝EF＝BE，
∵AB＝8，
∴EF＝×8＝4，
即点E到CD的距离为4．
故答案为：4．
23．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
∵AB＝AC，DE＝CE，
∴BM＝BC＝3，CD＝2CN，
∵AM⊥BC，EN⊥BC，
∴BN＝，
∴CN＝BC﹣BN＝，
∴CD＝1，
综上所述，CD的长为1或3．
24．解：（1）∵BC垂直平分AD，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠CDA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠BAD，
∴AB∥CD；
（2）结论：∠F＝∠MCD，
理由：∵∠DAC＝∠CDA，∠DAC＝∠MPC，
∴∠CDA＝∠MPC，
又∵∠CDA+∠CDM＝180°，∠MPC+∠MPF＝180°，
∴∠CDM＝∠MPF；
又∵AF平分∠BAC，AE⊥BC，AE＝AE．
∴△ACE≌△ABE（ASA），
∴AC＝AB．
又∵AF平分∠BAC，AM＝AM，
∴△ACM≌△ABM（SAS），
∴∠AMC＝∠AMB，
又∵∠AMB＝∠PMF．
∴∠AMC＝∠PMF．
又∵∠AMC+∠MCD+∠CDM＝180°，∠PMF+∠MPF+∠F＝180°，
∴∠F＝∠MCD．
25．解：（1）∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3；
（2）证明∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF；
（3）∵AD＝CD，CE＝CD，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵∠DBE＝30°，DB＝3，
∴DF＝DB＝×3＝，
∴△BDE的面积＝BE?DF＝×9×＝．
26．解：（1）BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠5＝∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵BE垂直平分AD，
∴BA＝BD，
又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，
又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，
∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．
27．解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）DE+DF＝CG．
证明：如图，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
即AB?CG＝AB?DE+AC?DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
28．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
故答案为：＝；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD．
（3）解：分为四种情况：
如图3，
∵AB＝AC＝1，AE＝2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，
∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD＝1+2＝3．
如图4，
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC＝ED，
∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴，
∵△ABC边长是1，AE＝2，
∴＝，
∴MN＝1，
∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，
∴CD＝2CM＝1；
如图5，
∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC＝ED；
如图6，
∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1．
故答案为：1或3