辽宁省丹东四校协作体2012届高三下学期第一次联合模拟考试数学（文）试题

绝密★启用前
2011~2012学年度（下）第一次联合模拟考试
高三数学（供文科考生使用）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．第I卷1至2页，第II卷2至5页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知则等于
（A） （B） （C） （D）
（3）设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是
（A）当时，若，则
（B）当时，若，则
（C）当且是在内的射影时，若，则
（D）当且时，若，则
（4）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于
（A） （B） （C） （D）
（5）已知是定义在R上的函数，对任意都有，若函数的图象关于直线对称，且，则等于
（A）2 （B）3 （C）-2 （D）-3
（6）已知平面内一点满足，若实数满足：，则的值为
（A）6 （B）3 （C）2 （D）
（7）定义在上的函数满足，，任意的，都有是的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．
正视图 侧视图 俯视图
（A） （B） （C） （D）
（9）已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则等于
（A） （B） （C）2 （D）
（10）关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（11）从点出发的三条射线两两成角，且分别与球相切于三点，若球的体积为，则两点之间的距离为
（A） （B） （C） （D）2
（12）已知集合集合，则的概率为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置．
（13）函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则的值是_______；
（14）给出下列四个命题：
①；
②，使得成立；
③在中，若,则是锐角三角形.
④已知长方体的长、宽、高分别为对角线长为，则；
其中正确命题的序号是_______；
（15）已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______；
（16）函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（，1），p=（， ）且．求：
（I）求sin A的值；
（II）求三角函数式的取值范围．
（18）（本小题满分12分）
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PD、PC、BC的中点．
（I）求证：PA//平面EFG；
（II）求平面EFG平面PAD；
（III）若M是线段CD上一点，求三棱锥的体积．
（19）（本小题满分12分）
已知各项都是正数的等比数列，满足
（I）证明数列是等差数列；
（II）若，当时， 不等式对的正整数恒成立，求的取值范围.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（I）求椭圆的方程；
（II）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当＜ 时，求实数取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（I） 若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（II）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．
（I）求证：直线是⊙的切线；
（II）若⊙的半径为，求的长．
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
（I）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
（II）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（I）当时，求函数的定义域；
（II）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
（17）（本小题满分12分）
解：（I）∵，∴， …………（2分）
根据正弦定理，得，
又， …………（4分）
，，，
又；sinA= …………（6分）
（II）原式，
…………（8分）
， …………（10分）
∵，∴，∴，
∴，∴的值域是． …………（12分）
（18）（本小题满分12分）
（I）证明：取AD的中点H，连结EH，HG．
∵H，G为AD，BC的中点，∴HG//CD，
又EF//CD．∴EF//HG，∴E，F，G，H四点共面，
…………（2分）
又∵PA//EH，EH平面EFGH，PA平面EFGH，
∴PA//平面EFG． …………（4分）
（II）证明：，
∴平面PAD， ………（6分）
∵EF//CD，∴平面PAD，
∵平面EFG，∴平面EFG平面PAD； …………（8分）
（III）解：∵CD//EF，∴CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离
等于D到平面EFG的距离，∴， …………（10分）
，平面EFGH平面PBD于EH，
∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于
∴． …………（12分）
（II）由（Ⅰ）设的公差为，知，，，
令，则，
．
…………（8分）
∴函数单调递增， 当时，．
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.
设：，，，，
由得.
， .…………（6分）
，.
∵，∴，，
.
∵点在椭圆上，∴，
∴ …………（8分）
（21）（本小题满分12分）
解：（I）当时，
则 …………（2分）
因为函数存在单调递减区间，所以<0有解.
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，若ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则需△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞） …………（5分）
（II） 设点A,B的坐标分别是（x1, 0），（x2, 0），0则点AB的中点横坐标为
则 …………（7分）
…………（9分） 设则
令则
因为时，，所以在）上单调递减. 故
而. 故 …………（12分）
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：（I）当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．…………（5分）
（II）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.
A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
A
C
B
E
O
D