8.1.1棱柱、棱锥、棱台-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

8.1.1棱柱、棱锥、棱台 同步练习
一．选择题
1．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是　　
A．只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱
2．下列命题正确的是　　
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台
3．如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是　　
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
4．棱台不具备的性质是　　
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
5．下列命题中正确的个数是　　
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是　　
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
7．下列几何体是棱台的是　　
A． B．
C． D．
8．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是　　
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
9．下列说法正确的是　　
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
10．（理水平桌面上放置着一个容积为的密闭长方体玻璃容器，其中装有的水，给出下列操作与结论：
①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；
②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；
③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；
④在③中水与容器的接触面积始终不变．以上说法正确的是　　
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
二．填空题
11．一个棱柱至少有　　个面；面数最少的一个棱锥有　　个顶点；顶点最少的一个棱台有　　条侧棱．
12．如图．是棱长为的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点到点的最短路程是　　．
13．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是　　．（写出所有正确结论的编号）
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为　　．
三．解答题
15．如图为长方体．
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
（2）用平面把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱，分别指出它们的底面与侧棱．
16．如图，正方形中，，分别为，的中点，现在沿，及把，和折起，使，，三点重合，重合后的点记为．
（1）这个几何体由几个面构成？每个面的三角形分别是什么三角形？
（2）若正方形的边长为，则每个面的三角形面积为多少？
8.1.1棱柱、棱锥、棱台 同步练习答案
1．解：棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：．
2．解：对于，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错；
对于，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错；
对于，它符合棱柱的定义，故对；
对于，它的截面与底面不一定互相平行，故错；
故选：．
3．解：如图所示，
三棱台中，沿截去三棱锥，
剩余部分是四棱锥．
故选：．
4．解：根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．
棱台的两底面是相似多边形；侧面的上下底边平行；侧棱延长后交于一点，故、、成立，
不一定成立，
故选：．
5．解：由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①错误；
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥便可得到棱台，故②错误；
仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错误；
有一个面是多边形，其余各面是具有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故错误．
正确命题的个数是0个．
故选：．
6．解：根据棱柱的几何性质可得，棱柱的侧棱长都相等，故选项正确；
根据棱锥定点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选项错误；
根据棱台的定义可知，棱台的上下底面是相似多边形，侧棱长都相等，故选项，正确．
故选：．
7．解：选项和都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，所以选项和都不满足题意；
选项中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，所以选项不满足题意．
故选：．
8．解：若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，
则正六棱锥的侧面构成等边三角形，侧面的六个顶角都为60度，
六个顶角的和为360度，
这样一来，六条侧棱在同一个平面内，
这是不可能的，
故选：．
9．解：选项，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体是棱锥，
即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故选项错误；
选项，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，
因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故选项错误；
选项，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出这个棱锥不可能为六棱锥，即选项错误；
选项，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，即选项正确．
故选：．
10．解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面平行平面即可判断①正确；如图．
②在①中的运动过程中，水面四边形的对边始终保持平行，且，故水面始终是矩形，②是正确的；
③由于始终装有的水，而平分正方体体积的平面必定经过正方体的中心，即水面始终过长方体内一个定点；所以结论正确；
④在③中水与容器的接触时，由于水的体积是定值，所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半，故始终保持不变，所以正确．
故选：．
11．解：面最少的三棱柱是三棱柱，
它有五个面；
面数最少的棱锥是三棱锥，
它有4个顶点；
顶点最少的一个棱台是三棱台，
它有三条侧棱．
故答案为：5，4，3．
12．解：由题意，若以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，3，
故两点之间的距离是
若以以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，
故两点之间的距离是
故沿正方体表面从点到点的最短路程是
故答案为
13解：如图：①正确，如图四边形为矩形
②错误任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形为正方形，四边形为矩形；
③正确，如四面体；
④正确，如四面体；
⑤正确，如四面体；
则正确的说法是①③④⑤．
故答案为①③④⑤．
14．解：由题意知，半正多面体的中间层是一个正八棱柱，且正8棱柱的每个侧面都是正方形，
对应的表面三角形是等边三角形，所以所有的棱长都相等，
由半正多面体的棱长是中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的倍，
设其棱长为，则，解得，
所以该半正多面体的所有棱长和为．
故答案为：．
15．解：（1）这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，它们互相想平行且都是全等的四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义；
（2）截面的右侧部分是棱柱，且是三棱柱，其中△和△是底面，，，是侧棱；
左侧部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形和是底面，，，，是侧棱．
16．解：（1）根据题意，得到的几何体为三棱锥，
则这个几何体由四个面构成，即面、面、面、面．
又由，，
所以为等腰三角形，、、为直角三角形；
（2）由（1）可得：中，，，则，
同理在中，，，则，
中，，则，
则．