1.2.2组合第1课时组合与组合数公式学案2020-2021学年高二数学下学期人教A版选修2-3 第一章计数原理

1．2.2　组合
第1课时　组合与组合数公式
[目标] 1.能分析组合的意义，并能正确区分排列、组合.2.能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题．
[重点] 掌握组合数公式，能用组合数公式及其性质进行计算、化简．
[难点] 组合与排列的区别与联系．
知识点一　　组合的概念
[填一填]
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
[答一答]
1．组合与排列的概念有何异同点？
提示：共同点：都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”；
不同点：组合“不管顺序并成一组”，而排列是要“按照一定顺序排成一列”．
2．从a，b，c，d中选取2个，ab与ba是同一个组合吗？
提示：是，组合与顺序无关．
知识点二　　组合数与组合数公式
[填一填]
[答一答]
3．在组合数公式C中，m，n应满足什么条件？
提示：m，n∈N*，且m≤n.
4．一个组合与组合数有何区别？
提示：一个组合与组合数是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数．解题时应分清求组合还是组合数．
5．组合数公式C＝与C＝在作用上有什么不同？
提示：C＝一般用于求值、计算，而C＝一般用于化简、证明，但二者上述作用不是绝对的，有时要相结合使用．
1．对组合的三点认识
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素自然也是不同的，即“从n个不同的元素中取出m个元素”．
(2)组合的特性是：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．
(3)相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，也是相同的组合．
2．组合数两个性质的应用
要注意性质C＝C＋C的顺用、逆用、变形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式C＝C－C的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用.
　　　　　　　　　　　　　　
类型一　　组合的概念
【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)某铁路上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学．
【分析】　判断一个问题是组合问题还是排列问题，关键看元素之间是否与顺序有关．
【解】　(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
　,
排列问题与组合问题的区别是元素之间是否有顺序问题，元素与顺序无关是组合问题，元素与顺序有关是排列问题.
有甲、乙、丙、丁四人相见，他们相互握手1次，问他们握手共有多少种不同的组合？
解：将甲、乙、丙、丁按照一定顺序排好，然后按顺序用如图所示的方法将各个组合逐个写出：
由图可知他们握手的组合有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁6种．
类型二　　　组合数的计算与证明
【例2】　(1)求值：C＋C
(2)证明：C＝C.
【分析】　(1)首先确定n的值；
(2)按组合数公式的阶乘形式展开．
【解】　(1)由组合数定义知：
所以4≤n≤5，又因为n∈N*，所以n＝4或5.
当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；
当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16.
(2)证明：C＝·＝＝C.
　
(1)式子可表示为(　D　)
A．A B．C
C．101C D．101C
解析：分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n.
故
＝101·＝101C.
(2)证明：mC＝nC
证明：mC＝m·＝
＝n·＝nC.所以原式成立．
类型三　　　组合的简单应用
【例3】　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【分析】　首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．
【解】　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45.
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法，即C＋C＝21种．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有选法C×C＝×＝90种．
　
解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数.在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏.
某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？
解：需分两步：
第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C种选法；
第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C种选法．
根据分步乘法计数原理，此人有C·C＝17 325种不同的投资方式．
规范解答系列：组合数性质巧用
【例4】　(1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A．C B．C
C．C－1 D．C－1
(2)求证：C＝C＋2C＋C.
【解析】　(1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C－C
＝C＋C＋…＋C－1＝…
＝C＋C－1＝C－1.
(2)证明：由组合数的性质C＝C＋C可知，
右边＝(C＋C)＋(C＋C)
＝C＋C＝C＝左边．
所以原式成立．
【答案】　(1)C　(2)见解析
【解后反思】　本题是组合数公式和组合数性质的应用，多个组合数的和化简为一个组合数的关键在于掌握性质2两边的上、下标的特征，并注意观察和分析待化简的组合式的特征．
(1)计算C＋C；
(2)已知C＝C，求n；
(3)已知C－C＝C，求n的值．
解：(1)C＋C＝C＋C＝＋200＝5 150.
(2)由题意得3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，解得n＝2或n＝8.
而3n＋6≤18且4n－2≤18，即n≤4，且n∈N*，
∴n＝8不合题意，应舍去，∴n＝2.
(3)根据题意C－C＝C，变形可得，C＝C＋C，
由组合数的性质，可得C＋C＝C，即C＝C，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.
1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　C　)
①由1,2,3,4构成的2个元素集合；
②五个队进行单循环比赛的分组情况；
③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
A．①③　　　B．②④　　　C．①②　　　D．①②④
2．若C＝C，则x的值为(　C　)
A．2 B．4
C．4或2 D．3
解析：由组合数性质知x＝2或6－x＝2，即x＝2或4.
3．C＋C＋C＋…＋C＝165.
解析：由组合数性质知C＋C＝C，C＋C＝C，…，
∴C＋C＋C＋…＋C＝C＝＝165.
4．若C＝C，则C＝45.
解析：∵C＝C，∴n－4＝6，∴n＝10，
∴C＝C＝C＝45.
5．计算：(1)C＋C·C；
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C；
解：(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)＝2×(6＋)＝32.