1.2.2组合第2课时组合的应用 学案2020-2021学年高二数学下学期人教A版选修2-3 第一章计数原理
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| 名称 | 1.2.2组合第2课时组合的应用 学案2020-2021学年高二数学下学期人教A版选修2-3 第一章计数原理 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 301.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-31 07:59:30 | ||
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文档简介
第2课时 组合的应用
[目标] 1.理解组合的概念，会利用组合数公式解决组合问题.2.能够解决组合、排列的综合问题．
[重点] 1.求解组合的应用问题.2.求解排列与组合的综合应用题．
[难点] 排列与组合的综合应用．
知识点 组合的实际应用
[填一填]
1．无限制条件的组合问题
无约束条件的组合问题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数．有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步．
2．有限制条件的组合问题
解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．
(1)用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则．
(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
[答一答]
1．如何解决组合中的“含”与“不含”问题？
提示：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用间接法．
2．如何解决组合中的“至多”或“至少”问题？
提示：一般采用直接法或间接法．若直接法情况较复杂，则考虑间接法．
3．如何处理组合中的几何问题？
提示：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．
排列组合综合问题求解策略
1．区分排列与组合：在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质．容易产生的错误是重复和遗漏计数．
2．附加条件的排列组合问题的处理策略：
①以元素为主，特殊元素优先考虑；
②以位置为主，特殊位置优先考虑；
③间接法，暂不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的部分．
3．解答排列组合综合性问题的整体思路：一般思路方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”．总的来说是：①整体分类；②局部分步；③辩证地看元素的位置；④一些具体问题要把它抽象成组合模型.
类型一 无限制条件的组合问题
【例1】 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
【解析】 从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝6(种)赠送方法．因此共有4＋6＝10(种)赠送方法．
【答案】 B
将实际问题合理转化为组合模型，才能应用组合数公式，同时注意分步和分类两原理的应用.
若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( D )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：分三种情况：(1)4个都是偶数；(2)两个为偶数，两个为奇数；(3)4个都是奇数．故共有C＋CC＋C＝66(种)．故选D.
类型二 有限制条件的组合问题
【例2】 某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？
【解】 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)．
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)．
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有C·C＋C＝6 936(种)．
(4)方法1：(直接法)男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女．
所以共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝14 656(种)．
方法2：(间接法)由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)．
解决“含与不含”问题常用优先法来解，“至多至少”问题常采用直接分类法或间接排除法来求解，在选取元素时注意“搭配原则”，一定要做到“不重不漏”.
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两名队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选．
解：(1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(种)．
(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165(种)．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．
故共有：C·C＋C·C＝825(种)，或采用排除法：C－C＝825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
故选法为：C·C＋C·C＋C＝966(种)．
类型三 几何组合应用题
【例3】 在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？
【分析】 要想组成三角形需找不在同一直线上的三点．因为O为射线OM与射线ON的公共点，所以对O取与不取需进行讨论．
【解】 解法1：(直接法)分几种情况考虑：以O为顶点的三角形中，另外两个顶点必须分别在OM、ON上，所以有C·C个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有C·C个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有C·C个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．
解法2：(间接法)先不考虑共线顶点的问题，从10个不同元素中任取3个点的组合数是C，但其中OM上的6个点(含O)中任取3个点不能得到三角形，ON上的5个点(含O)中任取3个点也不能得到三角形，所以共可以得到(C－C－C)个三角形，即C－C－C＝120－20－10＝90个．
解法3：把O看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O)中取两点，ON上的4点(不含O)中取一点，有C·C个三角形，再从OM上的5点(不含O)中取一点，从ON上的4点(不含O)中取两点，可得C·C个三角形，所以共有C·C＋C·C＝15×4＋5×6＝90个三角形．
在四棱锥P?ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有( C )
A．40种 B．48种
C．56种 D．62种
解析：满足要求的点的取法可分为3类：
第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C种取
法；
第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C种取法；
第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C种取法．
所以，满足题意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56(种)，选C.
1．分组分配问题的求解策略
【例4】 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
【思路分析】 解题的关键是要搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
【解】 (1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C·C·C＝60种．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360种．
(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15种．
(4)在(3)问的基础上再分配即可，共有分配方式·A＝90种．
【解后反思】 本题是一道十分典型的“分组分配”问题，它的每一个小题都是一种类型，我们要认真领会．计数时常有下面的结论：“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数，对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，后排列．
某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有( D )
A．6种 B．24种
C．180种 D．90种
解析：先把4名学生分两组有＝3(种)，然后再把这两组给这6个班中的两个班有A＝30(种)，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有3×30＝90(种)．
2．排列与组合的综合应用
【例5】 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_________
(用数字作答)．
【思路分析】 分别计算课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课和6节课随机排列的基本事件数，则概率易求．
【解】 相邻两节文化课之间分别间隔1节艺术课有2AA种排法，三节文化课相邻有AA种排法，三节文化课中两节相邻，与另一节之间间隔1节艺术课有CAACA种排法．故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为＝.
【解后反思】 组合与排列的综合问题是高考重点考查的内容之一，题目有一定的难度，求解时注意分清是组合问题还是排列问题，按照“先选后排”的原则进行．
两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( C )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：需根据比赛的局数进行分类讨论．
由题意可分3类：
第1类，恰好打3局，共有2种情形；
第2类，恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有CA＝6种情形；
第3类，恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有CA＝12种情形．
故所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种.
1．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( A )
A．C·C B．C·C
C．C D．A·A
解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有C·C种．
2．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( C )
A．72种 B．84种
C．120种 D．168种
解析：插空法，从9盏不关闭的灯组成的10个空隙中选3个位置，即需关闭的3盏灯的位置，有C＝120种．
3．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有34种．
解析：(间接法)共有C－C＝34种不同的选法．
4．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于或等于6的方法共有15种．
解析：当选用信息量为4的网线时有C种；当选用信息量为3的网线时有(CC＋C)种，共有C＋CC＋C＝15种．
5．在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
解：(1)有C＝220种抽法．
(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，所以共有CC＝90种抽法．
(3)解法1：分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与第(2)小题类似共有CC＋CC＝100种抽法．
解法2(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种，所以至少有1件次品的抽法有C－C＝100种．
[目标] 1.理解组合的概念，会利用组合数公式解决组合问题.2.能够解决组合、排列的综合问题．
[重点] 1.求解组合的应用问题.2.求解排列与组合的综合应用题．
[难点] 排列与组合的综合应用．
知识点 组合的实际应用
[填一填]
1．无限制条件的组合问题
无约束条件的组合问题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数．有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步．
2．有限制条件的组合问题
解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．
(1)用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则．
(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
[答一答]
1．如何解决组合中的“含”与“不含”问题？
提示：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用间接法．
2．如何解决组合中的“至多”或“至少”问题？
提示：一般采用直接法或间接法．若直接法情况较复杂，则考虑间接法．
3．如何处理组合中的几何问题？
提示：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．
排列组合综合问题求解策略
1．区分排列与组合：在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质．容易产生的错误是重复和遗漏计数．
2．附加条件的排列组合问题的处理策略：
①以元素为主，特殊元素优先考虑；
②以位置为主，特殊位置优先考虑；
③间接法，暂不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的部分．
3．解答排列组合综合性问题的整体思路：一般思路方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”．总的来说是：①整体分类；②局部分步；③辩证地看元素的位置；④一些具体问题要把它抽象成组合模型.
类型一 无限制条件的组合问题
【例1】 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
【解析】 从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝6(种)赠送方法．因此共有4＋6＝10(种)赠送方法．
【答案】 B
将实际问题合理转化为组合模型，才能应用组合数公式，同时注意分步和分类两原理的应用.
若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( D )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：分三种情况：(1)4个都是偶数；(2)两个为偶数，两个为奇数；(3)4个都是奇数．故共有C＋CC＋C＝66(种)．故选D.
类型二 有限制条件的组合问题
【例2】 某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？
【解】 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)．
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)．
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有C·C＋C＝6 936(种)．
(4)方法1：(直接法)男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女．
所以共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝14 656(种)．
方法2：(间接法)由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)．
解决“含与不含”问题常用优先法来解，“至多至少”问题常采用直接分类法或间接排除法来求解，在选取元素时注意“搭配原则”，一定要做到“不重不漏”.
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两名队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选．
解：(1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(种)．
(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165(种)．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．
故共有：C·C＋C·C＝825(种)，或采用排除法：C－C＝825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
故选法为：C·C＋C·C＋C＝966(种)．
类型三 几何组合应用题
【例3】 在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？
【分析】 要想组成三角形需找不在同一直线上的三点．因为O为射线OM与射线ON的公共点，所以对O取与不取需进行讨论．
【解】 解法1：(直接法)分几种情况考虑：以O为顶点的三角形中，另外两个顶点必须分别在OM、ON上，所以有C·C个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有C·C个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有C·C个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．
解法2：(间接法)先不考虑共线顶点的问题，从10个不同元素中任取3个点的组合数是C，但其中OM上的6个点(含O)中任取3个点不能得到三角形，ON上的5个点(含O)中任取3个点也不能得到三角形，所以共可以得到(C－C－C)个三角形，即C－C－C＝120－20－10＝90个．
解法3：把O看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O)中取两点，ON上的4点(不含O)中取一点，有C·C个三角形，再从OM上的5点(不含O)中取一点，从ON上的4点(不含O)中取两点，可得C·C个三角形，所以共有C·C＋C·C＝15×4＋5×6＝90个三角形．
在四棱锥P?ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有( C )
A．40种 B．48种
C．56种 D．62种
解析：满足要求的点的取法可分为3类：
第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C种取
法；
第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C种取法；
第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C种取法．
所以，满足题意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56(种)，选C.
1．分组分配问题的求解策略
【例4】 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
【思路分析】 解题的关键是要搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
【解】 (1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C·C·C＝60种．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360种．
(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15种．
(4)在(3)问的基础上再分配即可，共有分配方式·A＝90种．
【解后反思】 本题是一道十分典型的“分组分配”问题，它的每一个小题都是一种类型，我们要认真领会．计数时常有下面的结论：“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数，对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，后排列．
某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有( D )
A．6种 B．24种
C．180种 D．90种
解析：先把4名学生分两组有＝3(种)，然后再把这两组给这6个班中的两个班有A＝30(种)，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有3×30＝90(种)．
2．排列与组合的综合应用
【例5】 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_________
(用数字作答)．
【思路分析】 分别计算课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课和6节课随机排列的基本事件数，则概率易求．
【解】 相邻两节文化课之间分别间隔1节艺术课有2AA种排法，三节文化课相邻有AA种排法，三节文化课中两节相邻，与另一节之间间隔1节艺术课有CAACA种排法．故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为＝.
【解后反思】 组合与排列的综合问题是高考重点考查的内容之一，题目有一定的难度，求解时注意分清是组合问题还是排列问题，按照“先选后排”的原则进行．
两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( C )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：需根据比赛的局数进行分类讨论．
由题意可分3类：
第1类，恰好打3局，共有2种情形；
第2类，恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有CA＝6种情形；
第3类，恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有CA＝12种情形．
故所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种.
1．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( A )
A．C·C B．C·C
C．C D．A·A
解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有C·C种．
2．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( C )
A．72种 B．84种
C．120种 D．168种
解析：插空法，从9盏不关闭的灯组成的10个空隙中选3个位置，即需关闭的3盏灯的位置，有C＝120种．
3．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有34种．
解析：(间接法)共有C－C＝34种不同的选法．
4．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于或等于6的方法共有15种．
解析：当选用信息量为4的网线时有C种；当选用信息量为3的网线时有(CC＋C)种，共有C＋CC＋C＝15种．
5．在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
解：(1)有C＝220种抽法．
(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，所以共有CC＝90种抽法．
(3)解法1：分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与第(2)小题类似共有CC＋CC＝100种抽法．
解法2(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种，所以至少有1件次品的抽法有C－C＝100种．