2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.2 任意角的三角函数5课时课件（ 共142张PPT）

本章内容
1.1 任意角和弧度制
1.2 任意角的三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数 y=Asin(wx+j) 的图象
1.6 三角函数模型的简单应用
第一章 小结
1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)
复习与提高
1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.2.1 任意角的三角函数(第二课时)
1.2.1 任意角的三角函数(第三课时)
1.2.1
任意角的三角函数
(第一课时)
定义三角函数
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1. 一个角的正弦、余弦、正切是怎样定义的?如果知道一个角的终边上一点的坐标, 怎样求这个角的三角函数值?
2. 角的终边与坐标轴重合时, 它的正弦、余弦、正切函数值分别是多少?
3. 同一条终边的三角函数值是否相等? 如果相等, 得到一组什么样的等式?
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎样定义的? 在直角坐标系中, 如果知道锐角 a 终边上一点的坐标, 你能求出 a 的三角函数吗?
x
y
o
a
·
(x, y)
P
M
设 |OP| = r, 则
作PM⊥x 轴于M,
于是得
点P(x, y)是角 a 终边上任一点(除原点), r 是点P到原点的距离,
【终边上一点的坐标定义三角函数】
x
y
o
a
P(x, y)
r
正弦:
余弦:
正切:
即 r = |OP|
当点P(x, y)取角 a 终边与单位圆的交点时, r =1,则a 的三角函数为:
正弦:
余弦:
1
-1
r=1
例2. 已知角 a 的终边经过点P0(-3, -4), 求 a 的正弦﹑余弦和正切值 .
解:
∵x = -3, y = -4,
则
2. 已知角q 的终边过点 P(-12, 5), 求角q 的三角函数值.
解:
∵x = -12, y = 5,
则 sin a =
cos a =
tan a =
=13.
练习: (课本15页)
例1. 求 的正弦、余弦和正切值.
解:
x
y
o
1
如图,
作单位圆与终边交于点P,
P
M
作PM⊥x 轴于M,
则∠POM=60?,
得
于是得P点的坐标为
1. 利用三角函数的定义求 的三个三角函数值.
x
y
o
1
P
M
解:
如图,
则∠POM=30?,
得
于是得P点的坐标为
练习: (课本15页)
x
y
o
P
a的终边
终边在 x 轴非负半轴上时, (如图)
=1,
=0.
=0,
【终边在坐标轴上的角的三角函数】
终边与其它半轴重合时同理.
tan a
cos a
sin a
角 a 的弧度数
360?
270?
180?
90?
0?
角 a
0
p
2p
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
0
0
3. 填表:
练习: (课本15页)
问题2. 30? 角和 390? 角的三角函数值相等吗? 为什么? 由此能得到什么样的三角等式?
由终边上一点的坐标定义三角函数, 则三角函数的值只与终边的位置有关.
30? 和 390? 的终边相同, 则 30? 角和 390? 角的三角函数值相等.
与 a 终边相同的角有 a+k·360? (k?Z), 则可得
sin(a+k·360?)=sina,
cos(a+k·360?)=cosa,
tan(a+k·360?)=tana.
或
sin(a+2kp)=sina,
cos(a+2kp)=cosa,
tan(a+2kp)=tana.
诱导公式一
?
例5. 求下列三角函数值:
(1) sin1480?10?; (2) (3)
解:
(1)
sin1480?10?= sin(40?10?+4?360?)
= sin40?10?
≈0.6450.
(2)
(3)
7. 求下列三角函数值(可用计算器):
(1) cos1109?; (2)
(3) sin(-1050?); (4)
解:
(1)
cos1109?= cos(29?+3?360?)
= cos29?
≈0.8746.
(2)
练习: (课本15页)
7. 求下列三角函数值(可用计算器):
(1) cos1109?; (2)
(3) sin(-1050?); (4)
解:
(4)
=1.
(3)
sin(-1050?)= sin(30?-3?360?)
= sin30?
练习: (课本15页)
【课时小结】
1. 三角函数的定义
角 a 终边上一点 P(x, y),
x
y
O
a
P(x, y)
r
正弦:
余弦:
正切:
r = |OP|
r 是点 P 到原点的距离,
【课时小结】
2. 角的终边与坐标轴重合的三角函数
tan a
cos a
sin a
角 a 的弧度数
360?
270?
180?
90?
0?
角 a
0
p
2p
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
0
0
【课时小结】
3. 诱导公式一
sin(a+k·360?)=sina,
cos(a+k·360?)=cosa,
tan(a+k·360?)=tana.
sin(a+2kp)=sina,
cos(a+2kp)=cosa,
tan(a+2kp)=tana.
习题 1.2
A 组
第 1、2、3、4、5、8 题
习题 1.2
A 组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数的值:
(1) (2) (3) (4) 1500?.
解:
(1)
定义法:
因为 与 的终边相同, 如图:
x
y
o
1
p
取终边上一点P, x =1,
得
则 r =2.
习题 1.2
A 组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数的值:
(1) (2) (3) (4) 1500?.
解:
(1)
用公式一:
习题 1.2
A 组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数的值:
(1) (2) (3) (4) 1500?.
解:
(1)
用计算器:
同理求得下面几个小题:
习题 1.2
A 组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数的值:
(1) (2) (3) (4) 1500?.
解:
(2)
习题 1.2
A 组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数的值:
(1) (2) (3) (4) 1500?.
解:
(3)
习题 1.2
A 组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数的值:
(1) (2) (3) (4) 1500?.
解:
(4)
2. 已知角 a 的终边上有一点的坐标是P(3a, 4a),其中 a≠0, 求 sina, cosa, tana 的三角函数值.
解:
∵ x = 3a, y = 4a,
= 5|a|,
则
3. 计算:
(1) 6sin(-90?)+3sin0?-8sin270?+12cos180?;
(2) 10cos270?+4sin0?+9tan0?+15cos360?;
(3)
(4)
解:
(1)
原式 =
6?(-1) + 3?0 - 8?(-1) + 12?(-1)
= -10.
(2)
原式 =
10?0 + 4?0 + 9?0 + 15?1
= 15.
原式 =
(3)
(4)
原式 =
4. 化简:
(1) asin0?+bcos90?+ctan180?;
(2) -p2cos180?+q2sin90?-2pqcos0?;
(3)
(4)
解:
(1)
原式 = 0.
(2)
原式 = p2+q2-2pq
(3)
原式 = a2+b2-ab-ab
= (a-b)2.
(4)
原式 = 0.
=(p-q)2.
5. 根据下列条件求函数
的值:
(1) (2)
解:
(1)
= 1 + 0 - 0 - 3
= -2.
(2)
= 0 + 2 - 0 - 0
= 2.
8. 求下列三角函数值 (可用计算器):
(1) (2)
(3) cos398?13?; (4) tan766?15?.
解:
(1)
(2)
≈0.9659.
=sin75?
= 1.
8. 求下列三角函数值 (可用计算器):
(1) (2)
(3) cos398?13?; (4) tan766?15?.
解:
(3)
cos398?13?=cos(360?+38?13?)
(4)
tan766?15?=tan(720?+46?15?)
=cos38?13?
≈0.7857.
=tan46?15?
≈1.045.
1.2.1
任意角的三角函数
(第二课时)
函数值的正负
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1. 什么样的角正弦值为正? 什么样的角正弦值为负? 余弦和正切呢?
2. 角的终边的位置能否确定这个角的三角函数值的正负? 如能确定, 怎样确定法?
3. 如果知道一个角的一种三角函数值的正负, 你能判断这个角是几象限角吗?
问题1. 不同象限角时, 终边上点的坐标的正负怎样? 由此你能得出各象限角的三角函数值的正负吗?
一象限角终边上的点的坐标, x>0, y>0, r>0;
第一象限角的三种三角函数值都为正.
>0.
>0.
>0.
问题1. 不同象限角时, 终边上点的坐标的正负怎样? 由此你能得出各象限角的三角函数值的正负吗?
二象限角终边上的点的坐标, x<0, y>0, r>0;
第二象限角正弦值为正,
>0.
<0.
<0.
余弦值为负,
正切值为负.
(如此, 请同学们思考三、四象限的角)
练习: (课本13页“探究”)
在下列图形的括号中填写 “+” 或 “-”:
x
y
o
( )
( )
( )
( )
sina
x
y
o
( )
( )
( )
( )
cosa
x
y
o
( )
( )
( )
( )
tana
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
请同学们归纳后记住各象限角的符号:
正弦上正下负,
余弦右正左负,
正切一三正二四负.
证明:
若 sinq <0
?q 是三、四象限的角,
且tanq >0
?q 是一、三象限的角,
则 q 只能是第三象限的角,
反之,
如果 q 是第三象限的角,
定得 sinq <0, tanq >0,
∴所证命题成立.
例3. 求证: 当且仅当下列不等式组成立时, 角q 为第三象限角.
解:
例4. 确定下列三角函数的符号, 然后用计算器验证:
(1) cos250?; (2)
(3) tan(-672?); (4) tan 3p.
(1)
因为250?是第三象限角, 所以
cos250?<0;
∵ cos250?≈-0.34,
检验知 cos250?<0 成立.
解:
例4. 确定下列三角函数的符号, 然后用计算器验证:
(1) cos250?; (2)
(3) tan(-672?); (4) tan 3p.
(2)
因为 是第四象限角, 所以
因为 与 是同终边的,
而
≈-0.71,
检验知 成立.
解:
例4. 确定下列三角函数的符号, 然后用计算器验证:
(1) cos250?; (2)
(3) tan(-672?); (4) tan 3p.
(3)
因为-672?是第一象限角, 所以
tan(-672?) > 0;
∵ -672? 与 48?同终边,
检验知 tan(-672?)>0 成立.
tan48?≈1.1,
解:
例4. 确定下列三角函数的符号, 然后用计算器验证:
(1) cos250?; (2)
(3) tan(-672?); (4) tan 3p.
(4)
因为3p 的终边与 x 轴负半轴重合, 所以
tan3p = 0;
tan3p = tan540?
检验知 tan3p = 0 成立.
= 0,
练习: (课本15页)
第 4、5、6 题.
4. (口答) 设 a 是三角形的一个内角, 在 sina,
cosa, tana, 中, 哪些有可能取负值?
∵ 0?则
cosa 和 tana 有可能取负值.
∴ 当 a 是钝角时,
5. 确定下列三角函数值的符号:
(1) sin156?; (2)
(3) cos(-450?); (4)
(5) (6) tan556?.
解:
(1)
∵ 156?是第二象限角,
∴ sin156?>0.
(2)
是第三象限角,
5. 确定下列三角函数值的符号:
(1) sin156?; (2)
(3) cos(-450?); (4)
(5) (6) tan556?.
解:
(3)
∵ -450?= -720?+270?,
∴ cos(-450?) = 0.
(4)
y 轴负半轴上的角,
第四象限角,
5. 确定下列三角函数值的符号:
(1) sin156?; (2)
(3) cos(-450?); (4)
(5) (6) tan556?.
解:
(5)
∵ 556?= 196?+360?,
∴ tan556? > 0.
(6)
第三象限角,
第二象限角,
6. 选择 “① sinq >0, ② sinq <0, ③ cosq >0, ④cosq <0, ⑤ tanq >0, ⑥ tanq <0” 中适当的关系式的序号填空:
(1) 当角q 为第一象限角时, , 反之也对;
(2) 当角q 为第二象限角时, , 反之也对;
(3) 当角q 为第三象限角时, , 反之也对;
(4) 当角q 为第四象限角时, , 反之也对.
①③或①⑤或③⑤
①④或①⑥或④⑥
x
y
o
正弦正
余弦正
正切正
正切正
②⑤或④⑤或②④
②③或③⑥或②⑥
练习: (课本15页)
【课时小结】
三角函数值的正负
由 得
x
y
o
sina
x
y
o
cosa
x
y
o
tana
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
正弦上正下负,
余弦右正左负,
正切一三正二四负.
习题 1.2
A 组
第 6、7、9 题.
6. 确定下列三角函数值的符号:
(1) sin186?; (2) tan505?; (3) sin7.6p;
(4) (5) cos940?; (6)
解:
(1)
∵ 186?是第三象限角,
∴ sin186?<0.
(2)
∵ 505?是第二象限角,
∴ tan505?<0.
(3)
∵ 7.6p 是第四象限角,
∴ sin7.6p <0.
6. 确定下列三角函数值的符号:
(1) sin186?; (2) tan505?; (3) sin7.6p;
(4) (5) cos940?; (6)
解:
(4)
(5)
∵ 940?是第三象限角,
∴ cos940?<0.
(6)
∵ 是第一象限角,
∵ 是第二象限角,
7. 确定下列式子的符号:
(1) tan125?·sin273?; (2)
(3) (4)
解:
(1)
∵ 125?是第二象限角, 273?是第四象限角,
∴ tan125?<0, sin273?<0,
则 tan125?·sin273?>0.
(2)
∵ 108?是第二象限角, 305?是第四象限角,
∴ tan108?<0, cos305?>0,
则
7. 确定下列式子的符号:
(1) tan125?·sin273?; (2)
(3) (4)
解:
(3)
∵ 是第三象限角, 是第二象限角,
是第四象限角,
则
7. 确定下列式子的符号:
(1) tan125?·sin273?; (2)
(3) (4)
解:
(4)
∵ 是第二象限角, 是第四象限角,
是第二象限角,
则
9. 求证:
(1) 角q为第二或第三象限角当且仅当 sinq·tanq<0;
(2) 角q为第三或第四象限角当且仅当 cosq·tanq<0;
(3) 角q为第一或第四象限角当且仅当
(4) 角q为第一或第三象限角当且仅当 sinq·tanq>0.
证明:
(1)
当 q 是第二象限角时, sinq >0, tanq <0,
当 q 是第三象限角时, sinq <0, tanq >0,
∴ q 为第二象限或第三象限角时都有
sinq·tanq<0;
反之, 当 sinq·tanq<0 时, 即 sinq 与 tanq 异号,
而正弦一二正, 三四负, 正切一三正, 二四负,
∴ q 是第二或第三象限角.
则命题得证.
9. 求证:
(1) 角q为第二或第三象限角当且仅当 sinq·tanq<0;
(2) 角q为第三或第四象限角当且仅当 cosq·tanq<0;
(3) 角q为第一或第四象限角当且仅当
(4) 角q为第一或第三象限角当且仅当 sinq·tanq>0.
证明:
(2)(3)(4)与(1) 同理:
先证 q 是哪象限角时, 不等式成立,
再证不等式成立时, 角必定是那象限角.
1.2.1
任意角的三角函数
(第三课时)
三角函数线
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1. 什么是有向线段? 怎样用有向线段表示三角函数的值?
2. 什么是正弦线、余弦线、正切线? 怎样画正弦线、余弦线、正切线?
我们设想用线段的长度直观地观察这个比值.
由定义知三角函数的值是一个比值,
已知角 a 的终边如图:
画一个单位圆与终边交于点 P,
作 PM⊥x 轴于点 M,
x
o
y
1
P
M
a的终边
角 a 的正、余弦函数值就可用线段长度表示了.
1. 有向线段
当角 a 的终边不在
坐标轴上时, 以O为始点, M为
终点, 若线段OM与 x 轴同向,
则OM的方向为正, 且有正值 x;
若线段OM与 x 轴反向, 则OM的方向为负, 且有负值 x, 其中 x 为P点的横坐标.
规定:
以M为始点, P为终点时, 若线段MP与 y 轴同向, 则MP的方向为正, 且有正值 y; 若线段MP与 y 轴反向, 则MP的方向为负, 且有负值 y, 其中 y 为P点的纵坐标.
x
o
y
1
P
M
a的终边
象这样规定了方向的线段叫做有向线段.
2. 三角函数线
x
o
y
1
P
M
a的终边
由于规定了方向, 即可得
x = OM, y = MP,
有向线段MP叫角 a 的正弦线,
有向线段OM叫角 a 的余弦线.
请同学们检验一下, 角 a 分别是二、三、四象限时, 正、余弦线的正负.
x
o
y
1
P
M
a 的终边
a 的终边在右半平面时,
a 的终边在左半平面时,
a 的终边在上半平面时,
a 的终边在下半平面时,
a 的终边
P
M
P
M
P
M
问题1: 正弦线、余弦线的思想基础是将定义正、余弦的坐标比的分母 r 设定为 1, 根据这一思想, 你能画出角 a 的正切线吗?
只要将角 a 终边上一点的 x 坐标设定为 1, 表示 y 的线段即为正切线.
x
o
y
1
A
a 的终边
如图, 设单位圆与 x 轴正半轴交于点 A(1, 0);
过点 A 作单位圆的切线, 交 a 的终边于点 T(1, y),
T
则
AT 即为 a 的正切线.
问题2: 如图, BT是否是角 a 的正切线? 为什么?
x
o
y
1
T
a 的终边
B
不是.
因为有向线段 BT>0,
但二象限角的正切值为负,
∴不正确.
作正切线时, 如果角的终边在右半平面时, 直接作正切线;
如果角的终边在左半平面时, 作其反向延长线到右半平面, 在右半平面作正切线. (如图)
A
T
T
如何解决这一问题呢?
处理办法:
角 a 的正弦线MP, 余弦线OM, 正切线AT统称为角 a 的三角函数线.
练习 (补充)
1. 分别作出 150?、300? 的正弦线, 余弦线, 正切线.
2. 如图, 角 a 的终边在一象限角平分线的上方, 你能比较 sina、cosa 和 tana 的大小吗?
x
o
y
a
1. 分别作出 150?、300? 的正弦线, 余弦线, 正切线.
T
M
P
1
x
o
y
A
解:
150?
① 作150?角的终边与单位圆交于点P,
② 作PM⊥x 轴, 垂足为M,
则150?角的正弦线是 MP, 余弦线是 OM, 正切线是AT.
③ 过点A作单位圆的切线, 与OP的反向延长线交于点T,
如图, 设单位圆交 x 轴正半轴于点 A(1, 0).
x
o
y
1
A
1. 分别作出 150?、300? 的正弦线, 余弦线, 正切线.
解:
同理, 300?的三角函数线如图:
T
M
P
300?
正弦线MP,
余弦线OM,
正切线AT.
2. 如图, 角 a 的终边在一象限角平分线的上方, 你能比较 sina、cosa 和 tana 的大小吗?
x
o
y
a
解:
作 a 的正弦线, 余弦线,
正切线.
1
A
M
P
sina =MP,
cosa =OM,
tana =AT,
T
∵AT>MP>OM,
∴tana > sina > cosa.
【课时小结】
1. 有向线段
规定了方向的线段叫做有向线段.
有向线段的方向与坐标轴同向.
2. 三角函数线
正弦线 MP
=sina.
余弦线 OM
=cosa.
正切线 AT
=tana.
二、三象限角的正切线
分别作在四、一象限.
x
o
y
a
1
A
M
P
T
练习: (课本17页)
第 1、2、3、4 题.
1. 你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质?
答:
(1) 可看出函数值的正负:
上半平面的角, MP为正,
下半平面的角, MP为负;
一、三象限的角, AT为正, 二、四象限的角, AT为负.
左半平面的角, OM为负,
右半平面的角, OM为正;
(2) 可看出函数值的大小:
终边靠近 y 轴正半轴时, MP较大,
靠近 y 轴负半轴时, MP较小;
靠近 x 轴正半轴时, OM较大, 靠近负半轴则OM较小.
x
o
y
1
A
a 的终边
T
M
P
练习: (课本17页)
1. 你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质?
答:
x
o
y
1
A
a 的终边
T
M
P
练习: (课本17页)
(3) 可看出函数值的范围:
-1≤MP≤1,
正方向AT可以很长,
(4) 可比较不同函数值的大小:
如图的情况时,
AT > MP > OM.
-1≤OM≤1,
负方向AT也可以很长.
o
x
y
1
A
2. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1) (2) (3) (4)
解:
o
P
M
T
x
y
1
A
(1)
正弦线 MP,
余弦线 OM,
正切线 AT.
(2)
P
M
T
2. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1) (2) (3) (4)
解:
(3)
正弦线 MP,
余弦线 OM,
正切线 AT.
(4)
P
M
T
o
x
y
1
A
M
T
o
x
y
1
A
P
3. 作一个以 5 cm 为单位长度的圆, 然后分别作出225?, 330?角的正弦线、余弦线、正切线, 量出它们的长度, 从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值.
解:
M1
P1
T1
225?
x
o
y
5
A
取 R=5 cm,
量得 M1P1= OM1≈3.5cm,
AT1=5cm,
tan225?=5?5=1.
sin225?= cos225?= -(3.5?5)
= - 0.7
先作225?,
3. 作一个以 5 cm 为单位长度的圆, 然后分别作出225?, 330?角的正弦线、余弦线、正切线, 量出它们的长度, 从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值.
解:
T2
M2
P2
330?
x
o
y
5
A
取 R=5 cm,
量得 M2P2=2.5cm,
OM2≈4.3cm,
AT2≈2.9cm.
sin330?= -(2.5?5) = -0.5.
cos330?=4.3?5=0.86
tan330?= -(2.9?5)
作300?,
4. 你认为三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用?
(1) 从单位圆中的函数线认识定义中函数的比值;
(2) 从终边的变化引起函数线的变化, 认识角的变化引起函数值的变化;
提示:
(4) 从函数线的长短范围认识三角函数的值域.
(3) 从函数线的方向认识函数值的正负;
……
1.2.2
同角三角函数的关系
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1. 已知一个角的正弦值, 要求这个角的余弦值或正切值怎么办?
2. sina、cosa、tana 有什么相等关系? 用这些关系你可以解决一些什么问题?
平方关系:
商数关系:
=1,
=tana,
sin2a + cos2a = 1
问题1. 根据三角函数的定义, 你能推出角 a 的正、余弦函数的关系吗? 如果知道一个角的正弦函数值, 你能算出这个角的余弦函数值吗?
又
即得 (sina)2+(cosa)2=1.
同理,
例6. 已知 sina = 求 cosa, tana 的值.
解:
∵ sina<0, 且 sina≠-1,
∴ a 是第三、四象限角,
当 a 是三象限角时, cosa <0,
∵ sin2a+cos2a=1,
当 a 是四象限角时, cosa >0,
则
练习: (课本20页)
第 1、2、3 题.
1. 已知 cosa = 且 a 为第三象限角, 求 sina, tana 的值.
解:
∵sin2a +cos2a =1, 且a 是第三象限的角,
则 tana =
2. 已知 tanj = 求 sinj, cosj 的值.
解:
当j 是第二象限的角时,
思路:
由商数关系将切化弦,
平方后, 由平方关系化为一元方程求解.
整理得
4sin2j =3,
解得
当j 是第四象限的角时,
2. 已知 tanj = 求 sinj, cosj 的值.
解:
当j 是第二象限角时,
思路二:
可考虑用定义, 设出点的坐标.
当j 是第四象限角时, sinj<0, cosj>0,
设终边上点的 x= -1, y=
则
=2,
3. 已知 sinq =0.35, 求cosq, tanq 的值 (计算结果保留两个有效数字).
解:
∵sin2q +cos2q =1,
≈±0.94,
由 sinq = 0.35 知 q 是一、二象限角,
当 q 是第一象限角时,
cosq≈0.94,
≈0.37;
当 q 是第二象限角时,
cosq≈-0.94,
≈-0.37.
例7. 求证:
思路:
若从左推到右,
右边目标分母有cosx,
可将左边分子母同乘以cosx.
证明:
左边=
=右边,
等式得证.
例7. 求证:
思路二:
将左边分母构造平方关系.
证明:
左边=
=右边,
等式得证.
例7. 求证:
思路三:
由 sin2x+cos2x=1 进行变化推出.
证明:
∵ sin2x+cos2x=1,
得 cos2x=1-sin2x,
cos2x=(1+sinx)(1-sinx),
两边同除以 cosx(1-sinx), 即得
练习: (课本20页)
第 4、5 题
4. 化简:
(1) cosq tanq; (2)
解:
(1)
= sinq.
(2)
=1.
5. 求证:
(1) sin4a-cos4a=sin2a-cos2a;
(2) sin4a+sin2acos2a+cos2a=1.
解:
(1)
左边=
(sin2a+cos2a)(sin2a-cos2a)
= sin2a-cos2a
= 右边.
(2)
左边=
sin2a(sin2a+cos2a)+cos2a
= sin2a+cos2a
=1
= 右边.
【课时小结】
1. 同角三角函数的基本关系
sin2a + cos2a = 1
平方关系:
商数关系:
2. 同角函数关系的应用
(1) 已知一个角的一种三角函数值, 求这个角的其他三角函数值.
(2) 化简三角函数式.
(3) 证明三角函数等式.
习题 1.2
A 组
第 10、11、12、13 题.
10. (1) 已知 sina = 且 a 为第四象限角, 求 cosa, tana 的值;
(2) 已知 cosa = 且 a 为第二象限角, 求 sina, tana 的值;
(3) 已知 tana = 求 sina, cosa 的值;
(4) 已知 cosa =0.68, 求 sina, tana 的值 (计算结果保留两个有效数字);
解:
(1)
∵ sina = 且 a 是第四象限角,
习题 1.2
A组
10. (1) 已知 sina = 且 a 为第四象限角, 求 cosa, tana 的值;
(2) 已知 cosa = 且 a 为第二象限角, 求 sina, tana 的值;
(3) 已知 tana = 求 sina, cosa 的值;
(4) 已知 cosa =0.68, 求 sina, tana 的值 (计算结果保留两个有效数字);
解:
(2)
∵ cosa = 且 a 是第二象限角,
习题 1.2
A组
(3) 已知 tana = 求 sina, cosa 的值;
解:
当 a 是第二象限角时,
得
解得
由 知 a 是第二或第四象限角,
当 a 是第四象限角时,
(4) 已知 cosa =0.68, 求 sina, tana 的值 (计算结果保留两个有效数字);
解:
由 cosa = 0.68 知 a 是第一、四象限角,
当 a 是第一象限角时,
≈0.73,
≈1.1.
当 a 是第四象限角时,
≈-0.73,
≈-1.1.
11. 已知 sinx = 求 cosx, tanx 的值.
解:
x是三、四象限的角,
当 x 是第三象限的角时,
当 x 是第四象限的角时,
12. 已知 tana = p解:
由 得
则解得
于是得
13. 求证:
(1)
(2) tan2a-sin2a = tan2a·sin2a;
(3) (cosb-1)2+sin2b = 2-2cosb;
(4) sin4x+cos4x = 1-2sin2xcos2x.
证明:
(1)
左边 =
= 右边.
习题 1.2
A 组
13. 求证:
(1)
(2) tan2a-sin2a = tan2a·sin2a;
(3) (cosb-1)2+sin2b = 2-2cosb;
(4) sin4x+cos4x = 1-2sin2xcos2x.
证明:
(2)
左边 =
= tan2a - tan2a·cos2a
= tan2a (1- cos2a)
= tan2a sin2a
= 右边.
习题 1.2
A 组
13. 求证:
(1)
(2) tan2a-sin2a = tan2a·sin2a;
(3) (cosb-1)2+sin2b = 2-2cosb;
(4) sin4x+cos4x = 1-2sin2xcos2x.
证明:
(2)
法二,
∵ (tan2a - sin2a) - (tan2a·sin2a)
= tan2a (1- sin2a) - sin2a
= tan2a cos2a - sin2a
= sin2a - sin2a
= 0,
∴ tan2a - sin2a = tan2a·sin2a.
习题 1.2
A 组
13. 求证:
(1)
(2) tan2a-sin2a = tan2a·sin2a;
(3) (cosb-1)2+sin2b = 2-2cosb;
(4) sin4x+cos4x = 1-2sin2xcos2x.
证明:
(3)
cos2b - 2cosb +1 + sin2b
左边 =
= 2 - 2cosb
= 右边.
习题 1.2
A 组
13. 求证:
(1)
(2) tan2a-sin2a = tan2a·sin2a;
(3) (cosb-1)2+sin2b = 2-2cosb;
(4) sin4x+cos4x = 1-2sin2xcos2x.
证明:
(4)
左边 =
sin4x+cos4x+2sin2xcos2x-2sin2xcos2x
= (sin2x+cos2x)2 -2sin2xcos2x
= 1-2sin2xcos2x
= 右边.
习题 1.2
A 组
13. 求证:
(1)
(2) tan2a-sin2a = tan2a·sin2a;
(3) (cosb-1)2+sin2b = 2-2cosb;
(4) sin4x+cos4x = 1-2sin2xcos2x.
证明:
(4)
∵ (sin4x+cos4x) - (1-2sin2xcos2x)
= sin4x+cos4x +2sin2xcos2x -1
= (sin2x+cos2x)2 -1
= 1-1
= 0,
∴ sin4x+cos4x = 1-2sin2xcos2x.
法二, 求差:
习题 1.2
A 组
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知识要点
1. 三角函数的定义
角 a 终边上一点 P(x, y),
x
y
O
a
P(x, y)
r
正弦:
余弦:
正切:
r = |OP|
r 是点 P 到原点的距离,
知识要点
2. 诱导公式一
sin(a+k·360?)=sina,
cos(a+k·360?)=cosa,
tan(a+k·360?)=tana.
sin(a+2kp)=sina,
cos(a+2kp)=cosa,
tan(a+2kp)=tana.
知识要点
3. 三角函数值的正负
x
y
o
sina
x
y
o
cosa
x
y
o
tana
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
正弦上正下负,
余弦右正左负,
正切一三正二四负.
知识要点
4. 三角函数线
正弦线 MP
=sina.
余弦线 OM
=cosa.
正切线 AT
=tana.
二、三象限角的正切线
分别作在四、一象限.
x
o
y
a
1
A
M
P
T
知识要点
5. 同角三角函数的基本关系
sin2a + cos2a = 1
平方关系:
商数关系:
(1) 已知一个角的一种三角函数值, 求这个角的其他三角函数值.
(2) 化简三角函数式.
(3) 证明三角函数等式.
例题选讲
例1. 如图, OA是第四象限的角平分线, 角 a 的终边在阴影范围内, 试判断 cos2a 正负.
x
O
y
a
A
分析:
(1) 写出角 a 的范围.
(2) 计算出 2a 的范围.
要判断 cos2a 的正负, 需
知道 2a 是几象限角.
思路:
(3) 根据 2a 所在象限判断 cos2a 的正负.
例题选讲
例1. 如图, OA是第四象限的角平分线, 角 a 的终边在阴影范围内, 试判断 cos2a 正负.
x
O
y
a
A
解:
2a
2a 是四象限角.
∴ cos2a>0.
例2. 已知 tana=m(m<0), 求 sina, cosa.
分析:
由 m<0 可知 a 是二象限或四象限角.
知道一个角的一种三角函数, 要求这个角的其他三角函数, 可用同角三角函数的关系式.
还可用三角函数的定义.
思路一:
(1) 将条件 tana=m 转换成正余弦的平方.
(2) 由平方关系式解出正弦或余弦值.
思路二:
(2) 分象限:
a 为二象限时, 终边上的点为
(-1, -m),
a 为二象限时, 终边上的点为
(1, m).
例2. 已知 tana=m(m<0), 求 sina, cosa.
解:
法一:
由 tana=m 平方后化弦得
(1+m2)sin2a=m2,
(1) 当 a 是二象限角时,
例2. 已知 tana=m(m<0), 求 sina, cosa.
解:
法一:
由 tana=m 平方后化弦得
(1+m2)sin2a=m2,
(2) 当 a 是四象限角时,
例2. 已知 tana=m(m<0), 求 sina, cosa.
解:
法二:
(1) a 为二象限角时,
终边过点 (-1, -m),
则
(2) a 为四象限角时,
终边过点 (1, m),
例3. 化简
分析:
(1) 角不相同, 有负角, 有大于360?的角.
(2) 含有根号.
思路:
(1) 用诱导公式一将角化在0?~360?之间.
(2) 用平方关系构造平方便于去根号.
例3. 化简
解:
∵sin(-220?)=sin(-360?+140?)
=sin140?.
sin500?=sin(360?+140?)
=sin140?.
∴原式=
例3. 化简
解:
∵sin(-220?)=sin(-360?+140?)
=sin140?.
sin500?=sin(360?+140?)
=sin140?.
∴原式=
∵140?是二象限角,
∴sin140?>0,
cos140?<0,
即 1+sin140?>0, 1-sin140?>0.
∴原式=
例4. 已知 tana>1, 求证:
分析:
(3) 用商数关系化弦为切.
(1) 左边有根号, 右边无根号, 左边根号内
需要构造平方数.
(2) 数字 1 可写成正、余弦平方和, 构造完全平方.
例4. 已知 tana>1, 求证:
证明:
左边=
=右边.
例 5 (B 组第 4 题). 从本节的例 7 可以看出,
就是 sin2x+cos2x=1 的一个变形,
你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?
由 sin2x+cos2x=1 可得
由 sin2x+cos2x=1 可得
例 5 (B 组第 4 题). 从本节的例 7 可以看出,
就是 sin2x+cos2x=1 的一个变形,
你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?
由 sin2x+cos2x=1 可得
1+2sinxcosx=(sinx+cosx)2.
1-2sinxcosx=(sinx-cosx)2.
例 5 (B 组第 4 题). 从本节的例 7 可以看出,
就是 sin2x+cos2x=1 的一个变形,
你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?
由 sin2x+cos2x=1 可得
例 5 (B 组第 4 题). 从本节的例 7 可以看出,
就是 sin2x+cos2x=1 的一个变形,
你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?
【练习与习题】
补充: 第 1、2、3、4、5、6 题.
习题1.2 B组: 第 1、2、3 题.
1. 已知角 a 的终边交单位圆于点 P, 点 P 的横坐标是 求角 a 的正弦、余弦和正切值.
2. cos(-300?) = . .
4. 已知 求 cosa-sina 的值.
3. 已知 sina>0, cosa<0, 试确定 的正负.
6. 角 a、b 的终边位置如图所示, 试比较 sina 和 sinb, cosa 和 cosb, tana 和 tanb 的大小.
x
o
y
a
b
5. 化简下列各式:
(1) (2) (1+tan2a)cos2a.
1. 已知角 a 的终边交单位圆于点 P, 点 P 的横坐标是 求角 a 的正弦、余弦和正切值.
x
o
y
a
1
P
解:
如图,
∵|OP|=1, 点 P 的横坐标为
∴点 P 纵坐标为
即有两点满足条件:
则 sina1=y1
cosa1=x1
sina2=y2
cosa2=x2
2. cos(-300?) = . .
解:
cos(-300?)=cos(-360?+60?)
=cos60?
= -1.
-1
3. 已知 sina>0, cosa<0, 试确定 的正负.
x
o
y
sina>0
cosa>0
解:
由 sina>0 知 a 是上半平面
的角.
由 cosa<0 知 a 是左半平面的角.
于是知 a 是第二象限的角.
即
得
即 是一、三象限角,
4. 已知 求 cosa-sina 的值.
解:
即 a 是三象限.
由 得
解得
则
解:
原式 =
5. 化简下列各式:
(1) (2) (1+tan2a)cos2a.
(1)
= cos80?.
解:
原式 =
=1.
5. 化简下列各式:
(1) (2) (1+tan2a)cos2a.
(2)
cos2a+tan2acos2a
= cos2a+sin2a
6. 角 a、b 的终边位置如图所示, 试比较 sina 和 sinb, cosa 和 cosb, tana 和 tanb 的大小.
x
o
y
a
b
解:
作三角函数线.
P1
P2
M1
M2
T1
T2
A
sina=M1P1.
sinb=M2P2.
cosa=OM1.
cosb=OM2.
tana=AT1.
tanb=AT2.
M1P1>M2P2,
?sina>sinb.
OM1>OM2,
?cosa>cosb.
AT1?tanaB 组
1. 化简 (1+tan2a)cos2a.
解:
原式 =
= cos2a+sin2a
= 1.
2. 化简 其中 a 为第二象限角.
解:
原式 =
∵ a 是第二象限角,
? cosa<0,
又由三角函数线知, 1+sina >0, 1-sina >0,
∴ 原式 =
= -2tana.
3. 已知 tana = 2, 求 的值.
解:
= 3.