2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.6 三角函数模型的简单应用2课时课件（共35张PPT）
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| 名称 | 2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.6 三角函数模型的简单应用2课时课件（共35张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-31 17:15:22 | ||
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文档简介
本章内容
1.1 任意角和弧度制
1.2 任意角的三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数 y=Asin(wx+j) 的图象
1.6 三角函数模型的简单应用
第一章 小结
第一课时
第二课时
(第一课时)
返回目录
2. 根据正弦函数 y=Asinx 变形后的图象, 讨论其性质.
1. 由函数图象求 y=Asin(wx+j) 中的参数 A、w、j 的实际应用.
3. 任意角的三角函数在实际中的应用.
问题1. (1) 三角函数值是一个比值, 这个比值在直角三角形中是怎样的比? 在平面直角坐标系中是怎样的比? 这个比在实际应用中有什么作用? (2) 三角函数具有周期性, 奇偶性, 有界性等特性, 从图象上可以直观看出这些特性, 你能应用这些特性解决实际问题吗?
在直角三角形中
在平面直角坐标系中
三角函数的这个比可解决有关角与线段长度的一些实际问题. 本课时的例 3 就是一个实例.
问题1. (1) 三角函数值是一个比值, 这个比值在直角三角形中是怎样的比? 在平面直角坐标系中是怎样的比? 这个比在实际应用中有什么作用? (2) 三角函数具有周期性, 奇偶性, 有界性等特性, 从图象上可以直观看出这些特性, 你能应用这些特性解决实际问题吗?
利用三角函数的性质, 对一些带周期性的问题, 函数值在一定范围内的问题, 即可考虑三角函数模型.
正余弦函数有明确的最大值和最小值以及取得最值时所对应的自变量的值. 这在实际中也经常得到应用.
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足
y=Asin(wx+j)+b.
(1) 求这一天的最大温差;
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
6
8
10
12
14
10
20
30
x
y
O
T/℃
t/h
解:
(1)
由图知从 6~14 时的最
大值是30?C,
最小值是10℃,
∴ 这一天的最大温差是
30-10=20(℃).
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足
y=Asin(wx+j)+b.
(1) 求这一天的最大温差;
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
6
8
10
12
14
10
20
30
x
y
O
T/℃
t/h
解:
(2)
由最大值和最小值得
A =
=10;
半个周期为:
解得
∴ b = 20;
图象是由 的图象向上平易移
20个单位而得,
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足
y=Asin(wx+j)+b.
(1) 求这一天的最大温差;
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
6
8
10
12
14
10
20
30
x
y
O
T/℃
t/h
解:
(2)
由最大值和最小值得
A =
=10;
半个周期为:
解得
∴ b = 20;
图象是由 的图象向上平易移
20个单位而得,
∴ 这段曲线的解析式为
由图象确定待定系数 A, w, j, b. 并注意定义域.
图象又由 的图象向右平易移了
10个单位得到,
即
例 2. 画出函数 y = |sinx| 的图象并观察其周期.
解:
将原函数化为分段函数得
y =
sinx
-sinx
x?[2kp, 2kp +p),
x?[2kp +p, 2kp +2p),
k?Z.
画函数的图象如下:
O
x
y
p
2p
3p
-p
-2p
-3p
1
-1
函数的周期是 T = p.
由基本函数的图象画变形函数的图象, 并由图象观察性质.
例3. 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 q, d 为此时太阳直射纬度, j 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 q = 90?- |j -d |. 当地夏半年 d 取正值, 冬半年 d 取负值. 如果在北京地区 (纬度数约为北纬 40?) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少?
d
j
q
j-d
太阳光
阳光在地球上直射的最北界线是北回归线, 最南界线是南回归线. 北回归线是北纬23?26?, 南回归线是南纬23?26?.
分析:
北面, 则太阳直射北回归线时, 北京处的影子最短, 太阳直射南回归线时, 北京处的影子最长.
在楼房北面所建的新楼与原楼房的距离应大于或等于太阳直射南回归线时的影子长.
北纬 40?上的北京, 在北回归线的
例3. 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 q, d 为此时太阳直射纬度, j 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 q = 90?- |j -d |. 当地夏半年 d 取正值, 冬半年 d 取负值. 如果在北京地区 (纬度数约为北纬 40?) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少?
d
j
q
j-d
太阳光
解:
d
j = 40?
q
j-d
南23?26?
P
A
B
O
C
D
如图,
光线CD直射南纬
23?26?时, 原楼房AP的影长PB最长.
在Rt△APB中, ∠ABP=q
= 90?-|j-d |,
= 90?-|40?+23?26?|
= 26?34?,
又AP = h0,
则
≈2.000h0.
答: 两楼的距离不得小于原楼高的2倍.
d
j
q
j-d
太阳光
d
j = 40?
q
j-d
南23?26?
P
A
B
O
C
D
这是一个解三角形的实际问题,
背景是一个地理知识,
我们从中要学习从复杂的背景
实际问题时, 往往需要用到多学科
在解决一些
知识.
中抽取基本的数学关系, 然后应用
数学知识解决问题.
例3. 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 q, d 为此时太阳直射纬度, j 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 q = 90?- |j -d |. 当地夏半年 d 取正值, 冬半年 d 取负值. 如果在北京地区 (纬度数约为北纬 40?) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少?
练习: (课本65页)
习题 1.6
A 组
第 1 题.
第 1、2、3 题.
1. 下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图, 经过 周期后, 乙点的位置将移至何处?
O
x
y
-4 cm
+4 cm
·
·
·
·
·
v
甲
乙
丙
丁
戊
答: 经过半个周期后, 乙点的位置移到与原来位置关于 x 轴对称的点M, 如图.
·
M
经过半个周期,绳头由 A 点沿 y 轴移动到 B, 如图.
O
x
y
-4 cm
+4 cm
·
v
乙
·
A
B
A
B
练习: (课本65页)
习题 1.6
A 组
1. 根据下列条件, 求△ABC的内角A:
(1) (2)
(3) tanA=1; (4)
解:
(1)
A=30?, 或 A=150?.
(2)
A=135?.
(3)
A=45?.
(4)
A=150?.
2. 根据下列条件, 求 (0, 2p ) 内的角 x:
(1) (2) sinx = -1;
(3) cosx = 0; (4) tanx = 1.
解:
(1)
x = 240?, 或 x = 300?.
(2)
x = 270?.
(3)
x = 90?, 或 x=270?.
(4)
x = 45?, 或 x = 225?.
3. 天上有些恒星的亮度是会变化的, 其中一种称为造父 (型) 变星, 本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性变化. 下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图, 此变星的亮度变化的周期为多少天? 最亮时是几等星? 最暗时是几等星?
答: 此变星的亮度周期大约是5.5天.
最暗时大约是4.4等星.
最亮时大约是3.7等星;
(第二课时)
返回目录
三角函数有一个重要特性 — 周期性.
在实际应用中, 如果具有周期性的问题, 往往可
问题 2. 我们学习了一些基本函数的性质, 相比之下, 三角函数有一个什么特殊性质?
例 4 就是具有周期规律的实际问题.
借助三角函数模型解决问题.
例4. 海水受日月的引力, 在一定的时候发生涨落的现象叫潮, 一般地, 早潮叫潮, 晚潮叫汐. 在通常情况下, 船在涨潮时驶进航道, 靠近码头; 卸货后, 在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
5.0
24:00
7.5
15:00
5.0
6:00
2.5
21:00
5.0
12:00
7.5
3:00
5.0
18:00
2.5
9:00
5.0
0:00
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001).
(2) 一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为4米, 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的距离), 该船何时能进入港口? 在港口能呆多久?
(3) 若某船的吃水深度为 4 米, 安全间隙为 1.5 米, 该船在2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少, 那么该船在什么时间必须停止卸货, 将船驶向较深的水域?
5.0
24:00
7.5
15:00
5.0
6:00
2.5
21:00
5.0
12:00
7.5
3:00
5.0
18:00
2.5
9:00
5.0
0:00
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001).
解:
画出散点图.
O
时间 x
水深 y
12
6
3
15
9
18
21
24
2.5
5
7.5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
散点图具有周期性,
可近似用三角函数类
型 y=Asin(wx+j)+b 表示.
=2.5,
= 5,
左右不平移,
得函数为:
5.0
24:00
7.5
15:00
5.0
6:00
2.5
21:00
5.0
12:00
7.5
3:00
5.0
18:00
2.5
9:00
5.0
0:00
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001).
解:
水深
11:00
10:00
9:00
8:00
7:00
6:00
5:00
4:00
3:00
2:00
1:00
0:00
时刻
水深
23:00
22:00
21:00
20:00
19:00
18:00
17:00
16:00
15:00
14:00
13:00
12:00
时刻
5.000
6.250
7.165
7.500
5.000
6.250
7.165
3.750
2.835
2.500
5.000
2.835
5.000
6.250
7.165
7.500
5.000
6.250
7.165
3.750
2.835
2.500
5.000
2.835
解:
(2) 一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为4米, 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的距离), 该船何时能进入港口? 在港口能呆多久?
根据(1)中的三角函数模型, 需
即
由设算器得 sin11.537?≈0.2,
又 sin(180?-11.537?) = sin11.537?=0.2,
则
k·360?+
+k·360?, k?Z.
解得 12k+0.384≤x≤12k+5.615,
当 k=0 或 k=1 时有:
0.384≤x≤5.615,
或 12.384≤x≤17.615,
∴ 该船可在 0:24 或 12:24 进入港口, 在港口可呆5个小时.
又 5.615 - 0.384 = 5.231,
(化成弧度数)
(3) 若某船的吃水深度为 4 米, 安全间隙为 1.5 米, 该船在2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少, 那么该船在什么时间必须停止卸货, 将船驶向较深的水域?
解:
由(1)知在 x 时刻的水深为
在 x 时刻的吃水深度为
4-0.3(x-2),
则需
得
画三角函数与一次函数的图象:
O
时间 x
水深 y
12
6
3
15
9
18
21
24
2.5
5
7.5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
y=-0.3x+6.1
2
P
如图, 两点后, 船
需在 P 点时停止卸货.
检验 x=7 不是
x=6.5
∴船最好在 6:30时停止卸货, 驶向深水区.
不等式的解,
是不等式的解.
6.1
例 4 综合性较大, 基本步骤是:
1. 画散点图, 建立函数模型.
2. 求函数值.
3. 建立实际问题的不等式.
4. 已知三角函数值的范围, 求角的范围,
进而解决实际问题中的时间范围.
5. 图象法近似求解.
练习: (课本65页)
习题 1.6
第 3 题.
B 组
第 1 题.
3. 自出生之日起, 人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化. 根据心理学家的统计, 人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种. 这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天, 每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段. 以上三个节律周期的半数为临界日, 这就是说, 11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日, 临界日的前半期为高潮期, 后半期为低潮期. 生日前一天是起始位置 (平衡位置), 请根据自己的出生日期, 绘制自己的体力、情绪和智力曲线, 并总结自己在什么时候应当控制情绪, 在什么时候应当鼓励自己; 在什么时候应当加强锻炼, 在什么时候应当保持体力?
提示:
以生日前一天为原点, 到临界日为半周期, 绘制
正弦曲线.
如某人的生日是3月1日, 画出曲线如下:
O
x
y
3月23日
3月28日
3月33日
体力线
情绪线
智力线
O
x
y
3月23日
3月28日
3月33日
体力线
情绪线
智力线
情绪过高时, 应控制; 情绪太低时, 应鼓励.
体力高时, 应保持; 体力低时, 应锻炼.
根据同学们各自的生日, 去试试吧!
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
每年1月11日到6月6日，升旗由早晨7时36分逐渐提前到凌晨4时46分，平均每天依次提前约1分钟；6月22日至12月30日，升旗时间由4时46分逐渐推迟到7时36分，平均每天推迟52秒钟。12月31日到1月10日与6月7日到6月21日，每天的升旗时间分别为恒定的7时36分与4时46分。国旗的降旗时间同样分为逐渐推迟和逐渐提前的两个时段。遇到阴天、雨天和雪天，升旗和降旗的时间与前一天相同。每月1日、11日、21日天安门广场升旗时由军乐队奏国歌，整个升旗持续时间为2分零7秒钟。
资料一:
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
据天文计算, 这里每月1 日的日出时间是：1 月1 日7 时3 6 分，2 月1 日7 时2 4 分，3 月1 日6 时4 8 分，4 月1 日5 时5 8 分，5 月1 日5 时1 4 分，6 月1 日4 时4 6 分，7 月1 日4 时5 0 分，8 月1 日5 时1 3 分，9 月1 日5 时4 3 分，1 0 月1 日6 时 1 0 分，1 1 月1 日6 时4 4 分，1 2 月1 日7 时1 7 分（其他日期的日出时间可据此作大致推算)。这就是天安门广场升旗的时间。
资料二:
根据资料二画图解答如下:
O
x/月日
日出 y
4.1
2.1
1.1
5.1
3.1
6.1
7.1
8.1
4.5
5
5.5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
9.1
10.1
11.1
12.1
6
6.5
7
7.5
·
·
·
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
解:
(1)
画出散点图:
曲线近似于 y=Acos(wx+j)+b.
≈1.6,
≈6,
?w≈0.017,
向右平移了1个单位,
得函数 y=1.6cos(0.017x-0.017)+6, (x≥1).
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
解:
(2)
由(1)得函数 y=1.6cos(0.017x-0.017)+6, (x≥1).
当 x=121 时, y =1.6cos(0.017?121-0.017)+6
从1月1日到5月1日经过了121天,
≈5.3 (h)
≈5:18.
答: 这同学最好在5:00到天安门广场.
1.1 任意角和弧度制
1.2 任意角的三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数 y=Asin(wx+j) 的图象
1.6 三角函数模型的简单应用
第一章 小结
第一课时
第二课时
(第一课时)
返回目录
2. 根据正弦函数 y=Asinx 变形后的图象, 讨论其性质.
1. 由函数图象求 y=Asin(wx+j) 中的参数 A、w、j 的实际应用.
3. 任意角的三角函数在实际中的应用.
问题1. (1) 三角函数值是一个比值, 这个比值在直角三角形中是怎样的比? 在平面直角坐标系中是怎样的比? 这个比在实际应用中有什么作用? (2) 三角函数具有周期性, 奇偶性, 有界性等特性, 从图象上可以直观看出这些特性, 你能应用这些特性解决实际问题吗?
在直角三角形中
在平面直角坐标系中
三角函数的这个比可解决有关角与线段长度的一些实际问题. 本课时的例 3 就是一个实例.
问题1. (1) 三角函数值是一个比值, 这个比值在直角三角形中是怎样的比? 在平面直角坐标系中是怎样的比? 这个比在实际应用中有什么作用? (2) 三角函数具有周期性, 奇偶性, 有界性等特性, 从图象上可以直观看出这些特性, 你能应用这些特性解决实际问题吗?
利用三角函数的性质, 对一些带周期性的问题, 函数值在一定范围内的问题, 即可考虑三角函数模型.
正余弦函数有明确的最大值和最小值以及取得最值时所对应的自变量的值. 这在实际中也经常得到应用.
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足
y=Asin(wx+j)+b.
(1) 求这一天的最大温差;
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
6
8
10
12
14
10
20
30
x
y
O
T/℃
t/h
解:
(1)
由图知从 6~14 时的最
大值是30?C,
最小值是10℃,
∴ 这一天的最大温差是
30-10=20(℃).
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足
y=Asin(wx+j)+b.
(1) 求这一天的最大温差;
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
6
8
10
12
14
10
20
30
x
y
O
T/℃
t/h
解:
(2)
由最大值和最小值得
A =
=10;
半个周期为:
解得
∴ b = 20;
图象是由 的图象向上平易移
20个单位而得,
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足
y=Asin(wx+j)+b.
(1) 求这一天的最大温差;
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
6
8
10
12
14
10
20
30
x
y
O
T/℃
t/h
解:
(2)
由最大值和最小值得
A =
=10;
半个周期为:
解得
∴ b = 20;
图象是由 的图象向上平易移
20个单位而得,
∴ 这段曲线的解析式为
由图象确定待定系数 A, w, j, b. 并注意定义域.
图象又由 的图象向右平易移了
10个单位得到,
即
例 2. 画出函数 y = |sinx| 的图象并观察其周期.
解:
将原函数化为分段函数得
y =
sinx
-sinx
x?[2kp, 2kp +p),
x?[2kp +p, 2kp +2p),
k?Z.
画函数的图象如下:
O
x
y
p
2p
3p
-p
-2p
-3p
1
-1
函数的周期是 T = p.
由基本函数的图象画变形函数的图象, 并由图象观察性质.
例3. 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 q, d 为此时太阳直射纬度, j 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 q = 90?- |j -d |. 当地夏半年 d 取正值, 冬半年 d 取负值. 如果在北京地区 (纬度数约为北纬 40?) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少?
d
j
q
j-d
太阳光
阳光在地球上直射的最北界线是北回归线, 最南界线是南回归线. 北回归线是北纬23?26?, 南回归线是南纬23?26?.
分析:
北面, 则太阳直射北回归线时, 北京处的影子最短, 太阳直射南回归线时, 北京处的影子最长.
在楼房北面所建的新楼与原楼房的距离应大于或等于太阳直射南回归线时的影子长.
北纬 40?上的北京, 在北回归线的
例3. 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 q, d 为此时太阳直射纬度, j 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 q = 90?- |j -d |. 当地夏半年 d 取正值, 冬半年 d 取负值. 如果在北京地区 (纬度数约为北纬 40?) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少?
d
j
q
j-d
太阳光
解:
d
j = 40?
q
j-d
南23?26?
P
A
B
O
C
D
如图,
光线CD直射南纬
23?26?时, 原楼房AP的影长PB最长.
在Rt△APB中, ∠ABP=q
= 90?-|j-d |,
= 90?-|40?+23?26?|
= 26?34?,
又AP = h0,
则
≈2.000h0.
答: 两楼的距离不得小于原楼高的2倍.
d
j
q
j-d
太阳光
d
j = 40?
q
j-d
南23?26?
P
A
B
O
C
D
这是一个解三角形的实际问题,
背景是一个地理知识,
我们从中要学习从复杂的背景
实际问题时, 往往需要用到多学科
在解决一些
知识.
中抽取基本的数学关系, 然后应用
数学知识解决问题.
例3. 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 q, d 为此时太阳直射纬度, j 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 q = 90?- |j -d |. 当地夏半年 d 取正值, 冬半年 d 取负值. 如果在北京地区 (纬度数约为北纬 40?) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少?
练习: (课本65页)
习题 1.6
A 组
第 1 题.
第 1、2、3 题.
1. 下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图, 经过 周期后, 乙点的位置将移至何处?
O
x
y
-4 cm
+4 cm
·
·
·
·
·
v
甲
乙
丙
丁
戊
答: 经过半个周期后, 乙点的位置移到与原来位置关于 x 轴对称的点M, 如图.
·
M
经过半个周期,绳头由 A 点沿 y 轴移动到 B, 如图.
O
x
y
-4 cm
+4 cm
·
v
乙
·
A
B
A
B
练习: (课本65页)
习题 1.6
A 组
1. 根据下列条件, 求△ABC的内角A:
(1) (2)
(3) tanA=1; (4)
解:
(1)
A=30?, 或 A=150?.
(2)
A=135?.
(3)
A=45?.
(4)
A=150?.
2. 根据下列条件, 求 (0, 2p ) 内的角 x:
(1) (2) sinx = -1;
(3) cosx = 0; (4) tanx = 1.
解:
(1)
x = 240?, 或 x = 300?.
(2)
x = 270?.
(3)
x = 90?, 或 x=270?.
(4)
x = 45?, 或 x = 225?.
3. 天上有些恒星的亮度是会变化的, 其中一种称为造父 (型) 变星, 本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性变化. 下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图, 此变星的亮度变化的周期为多少天? 最亮时是几等星? 最暗时是几等星?
答: 此变星的亮度周期大约是5.5天.
最暗时大约是4.4等星.
最亮时大约是3.7等星;
(第二课时)
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三角函数有一个重要特性 — 周期性.
在实际应用中, 如果具有周期性的问题, 往往可
问题 2. 我们学习了一些基本函数的性质, 相比之下, 三角函数有一个什么特殊性质?
例 4 就是具有周期规律的实际问题.
借助三角函数模型解决问题.
例4. 海水受日月的引力, 在一定的时候发生涨落的现象叫潮, 一般地, 早潮叫潮, 晚潮叫汐. 在通常情况下, 船在涨潮时驶进航道, 靠近码头; 卸货后, 在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
5.0
24:00
7.5
15:00
5.0
6:00
2.5
21:00
5.0
12:00
7.5
3:00
5.0
18:00
2.5
9:00
5.0
0:00
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001).
(2) 一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为4米, 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的距离), 该船何时能进入港口? 在港口能呆多久?
(3) 若某船的吃水深度为 4 米, 安全间隙为 1.5 米, 该船在2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少, 那么该船在什么时间必须停止卸货, 将船驶向较深的水域?
5.0
24:00
7.5
15:00
5.0
6:00
2.5
21:00
5.0
12:00
7.5
3:00
5.0
18:00
2.5
9:00
5.0
0:00
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001).
解:
画出散点图.
O
时间 x
水深 y
12
6
3
15
9
18
21
24
2.5
5
7.5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
散点图具有周期性,
可近似用三角函数类
型 y=Asin(wx+j)+b 表示.
=2.5,
= 5,
左右不平移,
得函数为:
5.0
24:00
7.5
15:00
5.0
6:00
2.5
21:00
5.0
12:00
7.5
3:00
5.0
18:00
2.5
9:00
5.0
0:00
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001).
解:
水深
11:00
10:00
9:00
8:00
7:00
6:00
5:00
4:00
3:00
2:00
1:00
0:00
时刻
水深
23:00
22:00
21:00
20:00
19:00
18:00
17:00
16:00
15:00
14:00
13:00
12:00
时刻
5.000
6.250
7.165
7.500
5.000
6.250
7.165
3.750
2.835
2.500
5.000
2.835
5.000
6.250
7.165
7.500
5.000
6.250
7.165
3.750
2.835
2.500
5.000
2.835
解:
(2) 一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为4米, 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的距离), 该船何时能进入港口? 在港口能呆多久?
根据(1)中的三角函数模型, 需
即
由设算器得 sin11.537?≈0.2,
又 sin(180?-11.537?) = sin11.537?=0.2,
则
k·360?+
+k·360?, k?Z.
解得 12k+0.384≤x≤12k+5.615,
当 k=0 或 k=1 时有:
0.384≤x≤5.615,
或 12.384≤x≤17.615,
∴ 该船可在 0:24 或 12:24 进入港口, 在港口可呆5个小时.
又 5.615 - 0.384 = 5.231,
(化成弧度数)
(3) 若某船的吃水深度为 4 米, 安全间隙为 1.5 米, 该船在2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少, 那么该船在什么时间必须停止卸货, 将船驶向较深的水域?
解:
由(1)知在 x 时刻的水深为
在 x 时刻的吃水深度为
4-0.3(x-2),
则需
得
画三角函数与一次函数的图象:
O
时间 x
水深 y
12
6
3
15
9
18
21
24
2.5
5
7.5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
y=-0.3x+6.1
2
P
如图, 两点后, 船
需在 P 点时停止卸货.
检验 x=7 不是
x=6.5
∴船最好在 6:30时停止卸货, 驶向深水区.
不等式的解,
是不等式的解.
6.1
例 4 综合性较大, 基本步骤是:
1. 画散点图, 建立函数模型.
2. 求函数值.
3. 建立实际问题的不等式.
4. 已知三角函数值的范围, 求角的范围,
进而解决实际问题中的时间范围.
5. 图象法近似求解.
练习: (课本65页)
习题 1.6
第 3 题.
B 组
第 1 题.
3. 自出生之日起, 人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化. 根据心理学家的统计, 人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种. 这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天, 每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段. 以上三个节律周期的半数为临界日, 这就是说, 11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日, 临界日的前半期为高潮期, 后半期为低潮期. 生日前一天是起始位置 (平衡位置), 请根据自己的出生日期, 绘制自己的体力、情绪和智力曲线, 并总结自己在什么时候应当控制情绪, 在什么时候应当鼓励自己; 在什么时候应当加强锻炼, 在什么时候应当保持体力?
提示:
以生日前一天为原点, 到临界日为半周期, 绘制
正弦曲线.
如某人的生日是3月1日, 画出曲线如下:
O
x
y
3月23日
3月28日
3月33日
体力线
情绪线
智力线
O
x
y
3月23日
3月28日
3月33日
体力线
情绪线
智力线
情绪过高时, 应控制; 情绪太低时, 应鼓励.
体力高时, 应保持; 体力低时, 应锻炼.
根据同学们各自的生日, 去试试吧!
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
每年1月11日到6月6日，升旗由早晨7时36分逐渐提前到凌晨4时46分，平均每天依次提前约1分钟；6月22日至12月30日，升旗时间由4时46分逐渐推迟到7时36分，平均每天推迟52秒钟。12月31日到1月10日与6月7日到6月21日，每天的升旗时间分别为恒定的7时36分与4时46分。国旗的降旗时间同样分为逐渐推迟和逐渐提前的两个时段。遇到阴天、雨天和雪天，升旗和降旗的时间与前一天相同。每月1日、11日、21日天安门广场升旗时由军乐队奏国歌，整个升旗持续时间为2分零7秒钟。
资料一:
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
据天文计算, 这里每月1 日的日出时间是：1 月1 日7 时3 6 分，2 月1 日7 时2 4 分，3 月1 日6 时4 8 分，4 月1 日5 时5 8 分，5 月1 日5 时1 4 分，6 月1 日4 时4 6 分，7 月1 日4 时5 0 分，8 月1 日5 时1 3 分，9 月1 日5 时4 3 分，1 0 月1 日6 时 1 0 分，1 1 月1 日6 时4 4 分，1 2 月1 日7 时1 7 分（其他日期的日出时间可据此作大致推算)。这就是天安门广场升旗的时间。
资料二:
根据资料二画图解答如下:
O
x/月日
日出 y
4.1
2.1
1.1
5.1
3.1
6.1
7.1
8.1
4.5
5
5.5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
9.1
10.1
11.1
12.1
6
6.5
7
7.5
·
·
·
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
解:
(1)
画出散点图:
曲线近似于 y=Acos(wx+j)+b.
≈1.6,
≈6,
?w≈0.017,
向右平移了1个单位,
得函数 y=1.6cos(0.017x-0.017)+6, (x≥1).
B 组
1. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起, 在日落时降旗. 请根据年鉴或其他的参考资料, 统计过去一年不同时期的日出和日落时间.
(1) 在同一坐标系中, 以日期为横轴, 画出散点图, 并用曲线去拟合这些数据, 同时找到函数模型;
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗, 他应当几点到达天安门广场?
解:
(2)
由(1)得函数 y=1.6cos(0.017x-0.017)+6, (x≥1).
当 x=121 时, y =1.6cos(0.017?121-0.017)+6
从1月1日到5月1日经过了121天,
≈5.3 (h)
≈5:18.
答: 这同学最好在5:00到天安门广场.