2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.4 三角函数的图象与性质4课时课件（共154张PPT）

本章内容
1.1 任意角和弧度制
1.2 任意角的三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数 y=Asin(wx+j) 的图象
1.6 三角函数模型的简单应用
第一章 小结
1.4.1 正余弦函数的图象
复习与提高
1.4.2 正余弦函数的性质(第一课时)
1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.2 正余弦函数的性质(第二课时)
1.4.1
正弦函数
余弦函数
的图象
返回目录
1. 正弦函数 y=sinx 的图象是一条怎样的曲线? 与我们所学过的函数图象相比, 它的突出特点是什么? 余弦函数 y=cosx 的图象呢?
2. 正弦函数 y=sinx 与余弦函数 y=cosx 的图象有什么相同与区别? 能否相互转化?
3. 正弦函数和余弦函数图象上关键的五点各是哪五点? 怎样用这五点画函数的简图?
问题 1. 前面我们学了三角函数的定义及一些关系式, 接下来我们要学习三角函数的图象和性质. 你能写出正弦函数、余弦函数的解析式吗? 请你描几个点试一下, 正弦函数的图象是个什么形状?
正弦函数:
余弦函数:
y = sinx
y = cosx
正、余弦函数的图象是一个什么形状呢,
我们来看一个物理实验:
这是物理上的简谐运动的图象.
物理中把简谐运动的图象叫做 “正弦曲线” 或
“余弦曲线”.
正弦函数、余弦函数的图象是否如此, 下面我们
用正弦线、余弦线画它们的图象.
【用三角函数线画正弦函数y=sinx的图象】
1. 在坐标系的左半平面画一个单位圆;
x
o
y
2. 将单位圆分成 8 等分; (等分数越多, 图象越准确)
3. 在0~2p之间标出各分界线为终边的角的弧度数;
0
p
4. 画出各角的正弦线;
x
o
y
0
p
2p
5. 在x轴上标出 0,
6. 将各角的正弦线移到坐标平面内的对应位置;
7. 用平滑的曲线连接正弦线的各端点,
即得正弦函数 y=sinx 的图象 (正弦曲线).
【用三角函数线画正弦函数y=sinx的图象】
当再取 x<0 或 x>2p 时, 曲线周期地出现.
·
·
由诱导公式知,
x
o
y
2p
【余弦函数 y=cosx 的图象】
个单位得到.
这一函数的图象可由 y=sinx 的图象向左平移
正、余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
y=sinx
y=cosx
也可用余弦线作 y=cosx 的图象.
x
o
y
0
p
2p
1. 在x轴左边画单位圆, 并将其n等分;
2. 在0~2p上标出各分界线为终边的角的弧度数;
3. 画出各角的余弦线;
4. 在x轴上标出单位圆中相应各角的弧度数;
x
o
y
0
p
2p
6. 将各余弦线平移到坐标平面内的对应位置;
5. 将单位圆逆时针旋转90?;
7. 用平滑的曲线连接余弦线的各端点,
当 x<0 或 x>2p, 曲线周期地向两边延展,
即得余弦函数 y=cosx 的图象 (余弦曲线).
也可用余弦线作 y=cosx 的图象.
(0, 0),
o
y
2p
1
-1
x
正弦:
●
●
●
●
●
在0~2p 的一个周期内, 五个关键点画图象
用这关键的五点画正、余弦函数的简图,
称为五点法.
余弦:
x
o
y
2p
1
(0, 1),
-1
(p, -1),
(2p, 1).
●
●
●
●
●
在0~2p 的一个周期内, 五个关键点画图象
例1. 画出下列函数的简图:
(1) y=1+sinx, x∈[0, 2p];
(2) y= -cosx, x∈[0, 2p].
按五点列表:
x
sinx
y=1+sinx
0
p
2p
解:(1)
0
1
-1
0
0
0
1
1
1
2
x
o
y
2p
1
-1
2
其实,
y=1+sinx的图象是将y=sinx的图象向上平移 1 个单位得到的.
y=1+sinx
y=sinx
列表:
x
cosx
y= -cosx
0
p
2p
-1
0
0
1
1
0
-1
1
-1
0
x
o
y
2p
-1
1
其实,
y= -cosx的图象是将 y=cosx 的图象关于x轴对称地翻折后得到的.
y= -cosx
例1. 画出下列函数的简图:
(1) y=1+sinx, x∈[0, 2p];
(2) y= -cosx, x∈[0, 2p].
解:(2)
y=cosx
练习: (课本34页)
第 1、2 题.
练习: (补充)
1. 在0~2p 内画出下列函数的图象:
(1) (2)
练习: (补充)
1. 在0~2p 内画出下列函数的图象:
(1) (2)
解:
(1)
列表:
x
sin x
y
0
p
2p
0
1
0
-1
0
0
2
0
-2
0
x
y
o
2
-2
o
p
2p
练习: (补充)
1. 在0~2p 内画出下列函数的图象:
(1) (2)
解:
(2)
列表:
x
cos x
y
0
p
2p
0
1
0
-1
1
1
-1
-3
-1
1
x
y
o
1
-3
o
p
2p
-1
1. 用多种方法在同一直角坐标系中, 画出函数
y = sinx, x?[0, 2p],
y = cosx, x?[ ]
的图象. 通过观察两条曲线, 说出它们的异同.
提示:
可用列表、描点、连线的方法,
可用三角函数线的方法,
可用五点法,
也可用计算机画图象.
练习: (课本34页)
1. 用多种方法在同一直角坐标系中, 画出函数
y = sinx, x?[0, 2p],
y = cosx, x?[ ]
的图象. 通过观察两条曲线, 说出它们的异同.
x
y
o
p
2p
-p
1
-1
y=sinx
y=cosx
画出图象如下:
两条曲线形状一样,
将正弦曲线
但位置不同.
余弦曲线,
向左平移 个单位得
即
得正弦曲线,
将余弦曲线向右平移 个单位
即
练习: (课本34页)
2. 想一想函数 和 y = cosx 的图象,
并在同一直角坐标系中, 画出它们的草图.
解:
= cosx,
∴ 两函数是同一函数, 它们的图象是同一条曲线.
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
【课时小结】
1. 正弦函数的图象
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
特点:
(1) 周期出现;
(2) 在 y= -1 与 y=1 之间.
五个关键点:
0
-1
0
1
0
y
2p
p
0
x
·
·
·
·
·
(0, 0)
(p, 0)
(2p, 0)
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
【课时小结】
2. 余弦函数的图象
特点:
(1) 周期出现;
(2) 在 y= -1 与 y=1 之间.
五个关键点:
1
0
-1
0
1
y
2p
p
0
x
·
·
·
·
·
(0, 1)
(p, -1)
(2p, 1)
【课时小结】
3. 正弦、余弦函数图象的转化
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
正弦曲线向左平移 得余弦曲线,
余弦曲线向右平移 得正弦曲线,
习题 1.4
第 1 题.
A 组
习题 1.4
1. 画出下列函数的简图:
(1) y=1-sinx, x?[0, 2p];
(2) y=3cosx+1, x?[0, 2p].
A 组
解:
用五点法.
(1)
y
2p
p
0
x
1
0
1
2
1
x
y
o
p
2p
1
2
x
y
o
习题 1.4
1. 画出下列函数的简图:
(1) y=1-sinx, x?[0, 2p];
(2) y=3cosx+1, x?[0, 2p].
A 组
解:
用五点法.
(2)
y
2p
p
0
x
4
1
-2
1
4
p
2p
1
4
-2
1.4.2
正弦函数
余弦函数
的性质
(第一课时)
正弦函数
余弦函数
的性质
返回目录
1. 什么叫周期函数? 什么叫周期? 什么叫最小正周期? 周期函数的图象有什么特点?
2. 正弦函数 y=sinx 的周期是多少? 最小正周期是多少? 余弦函数 y=cosx 呢?
3. 正弦函数 y=sinx 和余弦函数 y=cosx 分别是奇函数还是偶函数?
1. 周期性
问题 1. 正弦曲线每隔多长的距离出现重复? 根据是什么?
sin(x+2p) = sin(x+4p) = sin(x+6p) = … = sinx.
由诱导公式知,
正弦函数随着自变量 x 每隔 2p 的变化而循环.
根据诱导公式, 余弦也是如此.
于是得 f (x) = f (x+2p) = f [(x+2p)+2p] = …
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
定义:
对于函数 f (x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有
f (x+T) = f (x),
那么函数 f (x) 就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期.
如:
f (x) = sinx,
∵ sin(x+2p) = sinx, sin(x-2p) = sinx, …
∴ T=2p, 或 T=4p, … 都是 y=sinx 的周期.
同样,
T=2p, 或 T=4p, … 也是 y=cosx 的周期.
k 取整数时, 2kp 都是正、余弦函数的周期.
sin(x+4p) = sinx, sin(x-4p) = sinx, …
定义:
对于函数 f (x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有
f (x+T) = f (x),
那么函数 f (x) 就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期.
周期中最小的一个正数叫最小正周期.
以后不加特别说明, 一般都是指最小正周期.
正弦函数和余弦函数都是周期函数, 2kp (k?Z 且 k≠0) 都是它的周期, 最小正周期是 2p.
例2. 求下列函数的周期:
(1) y = 3cosx, x?R;
(2) y = sin2x, x?R;
(3) y = 2sin x?R.
解:
(1)
3cosx=3cos(x+2p),
因为对任意实数 x 都有
∴ y=3cosx, x?R 的周期是 T=2p.
设 f(x)=2cosx,
则 f(x+2p)=2cos(x+2p).
? f(x+2p)=f(x),
T=2p
例2. 求下列函数的周期:
(1) y = 3cosx, x?R;
(2) y = sin2x, x?R;
(3) y = 2sin x?R.
解:
(2)
sin2x = sin(2x+2p)
因为对任意实数 x 都有
∴ y=sin2x, x?R 的周期是 T=p.
= sin2(x+p),
设 f(x)=sin2x,
则 f(x+p)=sin2(x+p).
? f(x+p)=f(x),
T=2p
T=p
解:
(3)
因为对任意实数 x 都有
的周期是 T=4p.
问: 从此例中可看出周期与函数中的哪个常量有关?
在正、余弦函数中, 周期与变量 x 的系数有关.
例2. 求下列函数的周期:
(1) y = 3cosx, x?R;
(2) y = sin2x, x?R;
(3) y = 2sin x?R.
T=2p
T=p
Asin(wx+j) =Asin(wx+j +2p)
∴y=Asin(wx+j)的周期是
同理可得余弦也如此.
y=Asin(wx+j), y=Acos(wx+j) 的周期是
问题2. 根据上面的例题, 你能求得函数y=Asin(wx+j), x?R, (A, w, j 为常数, w>0) 的周期吗?
因为对一切实数都有
当 w<0 时, 周期为
即
练习: (课本36页)
第 1、2 题.
1. 等式 sin(30?+120?) = sin30? 是否成立? 如果这个等式成立, 能否说120?是正弦函数的一个周期? 为什么?
答: 120?不是正弦函数的一个周期.
由定义, 必须对定义域内的一切变量 x 都有
f (x+T) = f (x),
f (x) 才是周期函数.
sin(40?+120?) ≠sin40?,
而在定义域内的
sin(50?+120?) ≠sin50?,
……
∴ 120?不是正弦函数的一个周期.
练习: (课本36页)
2. 求下列函数的周期:
(1) (2) y=cos4x, x?R;
(3) (4)
解:
(1)
的周期是
(2)
∵w =4,
∴ y = cos4x, x?R 的周期是
2. 求下列函数的周期:
(1) (2) y=cos4x, x?R;
(3) (4)
解:
(3)
的周期是 2p.
(4)
的周期是6p.
∵w =1,
=2p,
=6p,
2. 奇偶性
问题3. 函数奇偶性的代数定义是怎样的? 奇偶函数的图象有什么特点? 你能用奇偶性的定义判定正、余弦函数的奇偶性吗?
f(-x) = f(x)
f(-x) = - f(x)
f(-x)=sin(-x)
=-sinx
=-f(x),
f(-x)=cos(-x)
=cosx
= f(x),
偶函数.
奇函数.
f(x)=sinx,
设
f(x)=cosx,
设
奇函数.
偶函数.
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
正弦函数是奇函数, 图象关于原点对称.
余弦函数是偶函数, 图象关于 y 轴对称.
问题4. 正弦函数 y=sinx 是奇函数, 它的图象关于原点对称. 除了原点, 图象还有对称中心吗?
余弦函数 y=cosx 是偶函数, 它的图象关于 y 轴对称. 除了 y 轴, 图象还有对称轴吗?
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
·
·
·
·
·
·
正弦曲线除了原点, 还有很多对称中心, 正弦曲线与 x 轴的交点都是对称中心.
问题4. 正弦函数 y=sinx 是奇函数, 它的图象关于原点对称. 除了原点, 图象还有对称中心吗?
余弦函数 y=cosx 是偶函数, 它的图象关于 y 轴对称. 除了 y 轴, 图象还有对称轴吗?
余弦曲线除了 y 轴, 还有很多条对称轴, 过余弦曲线上下顶点平行 y 轴的直线都是对称轴.
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
【课时小结】
1. 周期函数
对于函数 f (x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有
f (x+T) = f (x),
那么函数 f (x) 就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期.
周期中最小的一个正数叫最小正周期.
【课时小结】
1. 周期函数
如果不加特别说明, 一般都是指最小正周期.
正弦函数和余弦函数都是周期函数, 2kp (k?Z 且 k≠0) 都是它的周期, 最小正周期是 2p.
y=sin(wx+j), y=cos(wx+j) 的最小正周期是
【课时小结】
2. 奇偶性
sin(-x)= -sinx.
正弦函数 y=sinx 奇函数, 图象关于原点对称.
cos(-x)=cosx.
余弦函数 y=cosx 偶函数, 图象关于 y 轴对称.
正、余弦函数的图象与 x 轴的交点是对称中心;过上下顶点且平行 y 轴的直线是对称轴.
y=sinx
y=cosx
对称中心
对称轴
(kp, 0)
x=kp
习题 1.4
A 组
第 3、10 题.
3. 求下列函数的周期:
(1)
(2)
解:
(1)
周期
= 3p.
(2)
周期
习题 1.4
A 组
10. 设函数 f(x) (x?R) 是以 2 为最小正周期的周
期函数, 且 x?[0, 2]时 f(x)=(x-1)2. 求 f(3), f( )的值.
解:
∵ f(x) 是以 2 为周期的周期函数, 则
f(3) = f(3-2)
= f(1),
又 1?[0, 2],
∴ f(3) = f(1) = (1-1)2
= 0.
(1)
(2)
又
1.4.2
正弦函数
余弦函数
的性质
(第二课时)
正弦函数
余弦函数
的性质
返回目录
1. 正弦函数 y=sinx 有怎样的单调性? 你能写出它的增区间和减区间吗? 余弦函数 y=cosx 呢?
2. 正弦函数 y=sinx 与余弦函数 y=cosx 的最大值是多少? x 分别取什么值的时候 y 取得最大值? 最小值呢?
3. 单调性与最大值, 最小值
问题 4. 函数的单调性可根据图象判定, 你能根据正弦曲线和余弦曲线判定正弦函数和余弦函数的单调性吗? 从图象上看, 正弦函数最大值是多少? 最小值是多少? x 等于多少时取得最大值或最小值? 余弦函数呢?
增
减
增
减
增
减
2kp 的代表点
x
y
O
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
时, 函数取得最大值 y最大=1.
时, 函数取得最小值 y最小= -1.
x
O
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=cosx
y
3. 单调性与最大值, 最小值
问题 4. 函数的单调性可根据图象判定, 你能根据正弦曲线和余弦曲线判定正弦函数和余弦函数的单调性吗? 从图象上看, 正弦函数最大值是多少? 最小值是多少? x 等于多少时取得最大值或最小值? 余弦函数呢?
增
减
增
减
增
减
2kp 的代表点
x=2kp 时, 函数取得最大值 y最大=1.
x=(2k+1)p 时, 函数取得最小值 y最小= -1.
[2kp-p, 2kp] 增.
[2kp, 2kp+p] 减.
y=sinx 在每一个闭区间
上都是增函数, 其值从 -1 增大到 1; 在每一个闭区间
上都是减函数, 其值从 1 减
小到 -1.
当且仅当 时, y=sinx 取得最大
值 1; 当且仅当 时, y=sinx 取得最小
值 -1.
x
y
O
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
y=cosx 在每一个闭区间 [2kp-p, 2kp] (k?Z)上
都是增函数, 其值从 -1 增大到 1; 在每一个闭区间
[2kp, 2kp+p] (k?Z) 上都是减函数, 其值从 1 减小
到 -1.
当且仅当 x=2kp (k?Z) 时, y=cosx 取得最大值 1;
当且仅当 x=2kp+p (k?Z)时, y=cosx 取得最小值 -1.
x
O
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=cosx
y
练习: (补充)
画出正弦函数和余弦函数的图象, 并根据图象写出正余弦函数的单调区间.
x
y
O
p
2p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
增区间:
减区间:
练习: (补充)
画出正弦函数和余弦函数的图象, 并根据图象写出正余弦函数的单调区间.
增区间:
减区间:
x
y
O
p
2p
-2p
-p
1
-1
y=cosx
例 3. 下列函数有最大值、最小值吗? 如果有, 请写出取得最大值、最小值时的自变量 x 的集合, 并说出最大值、最小值分别是什么.
(1) y=cosx+1, x?R; (2) y= -3sin2x, x?R.
解:
(1)
当 x=2kp, k?Z 时,
cosx 取得最大值1.
当 x=2kp +p, k?Z 时,
cosx 取得最小值 -1.
则 y=cosx+1 取得最大值 2.
则 y=cosx+1 取得最小值 0.
即函数取得最大值 2 时, x 的集合为:
{x|x = 2kp, k?Z};
函数取得最小值 0 时, x 的集合为:
{x|x = (2k+1)p, k?Z}.
例 3. 下列函数有最大值、最小值吗? 如果有, 请写出取得最大值、最小值时的自变量 x 的集合, 并说出最大值、最小值分别是什么.
(1) y=cosx+1, x?R; (2) y= -3sin2x, x?R.
解:
(2)
则 y= -3sin2x 取得最大值 3,
当 2x=2kp - 时,
sin2x 取得最小值 -1,
解得
则 y= -3sin2x 取得最小值 -3,
当 2x=2kp + 时,
sin2x 取得最大值 1,
解得
即 函数取得最大值 3 时, x 的取值集合为
例 3. 下列函数有最大值、最小值吗? 如果有, 请写出取得最大值、最小值时的自变量 x 的集合, 并说出最大值、最小值分别是什么.
(1) y=cosx+1, x?R; (2) y= -3sin2x, x?R.
解:
(2)
则 y= -3sin2x 取得最大值 3,
当 2x=2kp - 时,
sin2x 取得最小值 -1,
解得
则 y= -3sin2x 取得最小值 -3,
当 2x=2kp + 时,
sin2x 取得最大值 1,
解得
即 函数取得最大值 3 时, x 的取值集合为
函数取得最小值 -3 时, x 的取值集合为
例4. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组数的大小:
(1)
(2)
解:
(1)
又 y = sinx 在 上是增函数,
例4. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组数的大小:
(1)
(2)
解:
(2)
而
且
又 y=cosx 在 [0, p]上是减函数,
即
要点:
用诱导公式化在[0, 2p]内的一个单调区间进行比较.
解:
为增函数,
解不等式得
x?[-2p, 2p]时,
上式取 k=0得,
即函数 在 x?[-2p, 2p]上的单调
递增区间是:
例 5. 求函数 x?[-2p, 2p]的单调递增区间.
练习: (课本40页)
第 3、5、6 题.
3. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合, 并写出最大值、最小值各是多少?
(1) y=2sinx, x?R; (2)
解:
(1)
则 y = 2sinx 取得最大值 2;
当 x=2kp + 时,
sinx 取得最大值 1,
则 y = 2sinx 取得最小值 -2.
当 x=2kp - 时,
sinx 取得最小值 -1,
即 函数取得最大值 2 时, x 的取值集合为
函数取得最小值 -2 时, x 的取值集合为
3. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合, 并写出最大值、最小值各是多少?
(1) y=2sinx, x?R; (2)
解:
(2)
当 时,
解得 x = 6kp+3p ;
当 时,
取得最小值 -1,
则 取得最大值 3,
取得最大值 1,
则 取得最小值 1,
解得 x = 6kp.
x?{x|x=6kp, k?Z} 时, 函数取得最小值 1.
即 x?{x|x=6kp+3p, k?Z} 时, 函数取得最大值 3.
解:
(1)
∵ 250??[90?, 270?], 260?? [90?, 270?],
且 250?<260?,
又 y = sinx 在 [90?, 270?] 是减函数,
∴ sin250?>sin260?.
5. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin250?与sin260?; (2)
(3) cos515?与cos530?; (4)
解:
(2)
又 y = cosx 在 [0, p] 上是减函数,
即
5. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin250?与sin260?; (2)
(3) cos515?与cos530?; (4)
5. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin250?与sin260?; (2)
(3) cos515?与cos530?; (4)
解:
(3)
∵ 155??[0?, 180?], 170?? [0?, 180?],
且 155?<170?,
又 y = cosx 在 [0?, 180?] 上是减函数,
∴ cos155?>cos170?.
cos515?=cos(360?+155?)
=cos155?,
cos530?=cos(360?+170?)
=cos170?,
即 cos515?>cos530?.
解:
(4)
即
5. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin250?与sin260?; (2)
(3) cos515?与cos530?; (4)
又 y = sinx 在 上是增函数,
6. 求函数 y=3sin(2x+ ), x?[0, p ] 的单调递减区间.
解:
要使函数单调递减, 需
解得
当 k = 0 时得,
∴ 函数 的单调递减
区间是
【课时小结】
1. 正弦函数 y=sinx 的单调区间
增区间:
函数值从 -1 增到 1.
减区间:
函数值从 1 减到 -1.
【课时小结】
2. 余弦函数 y=cosx 的单调区间
增区间:
函数值从 -1 增到 1.
减区间:
函数值从 1 减到 -1.
[2kp-p, 2kp] (k?Z)
[2kp, 2kp+p] (k?Z)
【课时小结】
3. 正弦函数 y=sinx 的最值
最大值:
y最大= 1.
最小值:
y最小= -1.
【课时小结】
4. 余弦函数 y=cosx 的最值
最大值:
y最大= 1.
最小值:
y最小= -1.
x=2kp (k?Z) 时
x=2kp+p (k?Z) 时
练习: (课本40页)
第 1、2、4 题.
习题 1.4
第 2、4、5 题.
A 组
1. 观察正弦曲线和余弦曲线, 写出满足下列条件的区间:
(1) sinx>0; (2) sinx<0;
(3) cosx>0; (4) cosx<0.
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
sinx>0 ?
x?(2kp, 2kp+p).
sinx<0 ?
x?(2kp-p, 2kp).
(1)
(2)
练习: (课本40页)
1. 观察正弦曲线和余弦曲线, 写出满足下列条件的区间:
(1) sinx>0; (2) sinx<0;
(3) cosx>0; (4) cosx<0.
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
cosx>0 ?
cosx<0 ?
(3)
(4)
练习: (课本40页)
2. 下列各等式能否成立? 为什么?
(1) 2cosx=3; (2) sin2x=0.5.
答:
(1) 式不成立, (2)式成立.
因为正弦函数、余弦函数的最大值是 1, 最小
值是 -1,
而 (1) 式中
超过了最大值, 所
以不成立.
(2) 式在值域范围内, 所以(2)式成立.
4. 选择题:
下列关于函数 y=4sinx, x?[-p, p] 的单调性的叙述, 正确的是 ( )
(A) 在[-p, 0]上是增函数, 在[0, p]上是减函数.
(B) 在 上是增函数, 在 及 上是减函数.
(C) 在[0, p]上是增函数, 在[-p, 0]上是减函数.
(D) 在 及 上是增函数, 在 上是减函数.
x
y
o
p
-p
4
-4
y=4sinx
如图,
函数在 上减,
在 上增,
在 上减.
B
2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合, 并分别写出最大值、最小值是什么.
(1) (2)
(3) (4)
解:
(1)
得 x = 6k+3,
得 x = 6k,
y 取最大值
即 x?{x|x=6k+3, k?Z} 时, 函数取得最大值
y 取最小值
即 x?{x|x=6k, k?Z} 时, 函数取得最小值
习题 1.4
A 组
2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合, 并分别写出最大值、最小值是什么.
(1) (2)
(3) (4)
解:
(2)
y 取最大值 3.
即 x?{x|x=kp + k?Z} 时, 函数取得最大值 3.
y 取最小值 -3.
即 x?{x|x=kp - k?Z} 时, 函数取得最小值 -3.
习题 1.4
A 组
2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合, 并分别写出最大值、最小值是什么.
(1) (2)
(3) (4)
解:
(3)
y 取最大值
即 x?{x|x=4kp + k?Z} 时, 函数取得最大值
y 取最小值
即 x?{x|x=4kp + k?Z} 时, 函数取得最小值
习题 1.4
A 组
2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合, 并分别写出最大值、最小值是什么.
(1) (2)
(3) (4)
解:
(4)
y 取最大值
即 x?{x|x=4kp + k?Z} 时, 函数取得最大值
y 取最小值
即 x?{x|x=4kp - k?Z} 时, 函数取得最小值
习题 1.4
A 组
4. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin103?15? 与 sin164?30?;
(2)
(3) sin508? 与 sin144?;
(4) cos760? 与 cos(-770?).
解:
(1)
∵ 103?15??[90?, 270?], 164?30??[90?, 270?],
且 103?15?<164?30?,
又 y = sinx 在 [90?, 270?] 是减函数,
∴ sin103?15?>sin164?30?.
4. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin103?15? 与 sin164?30?;
(2)
(3) sin508? 与 sin144?;
(4) cos760? 与 cos(-770?).
解:
(2)
又 y = cosx 在 [0, p] 上是减函数,
4. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin103?15? 与 sin164?30?;
(2)
(3) sin508? 与 sin144?;
(4) cos760? 与 cos(-770?).
解:
(3)
∵ 148??[90?, 270?], 144?? [90?, 270?],
且 148?>144?,
又 y = sinx 在 [90?, 270?] 上是减函数,
∴ sin148?sin508?=sin(360?+148?)
=sin148?,
即 sin508? 4. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin103?15? 与 sin164?30?;
(2)
(3) sin508? 与 sin144?;
(4) cos760? 与 cos(-770?).
解:
(4)
∵ 40??[0?, 180?], 50?? [0?, 180?],
且 40?<50?,
又 y = cosx 在 [0?, 180?] 上是减函数,
∴ cos40?>cos50?,
cos760?=cos(720?+40?)
= cos40?,
cos(-770?)=cos(-720?-50?)
= cos50?,
即 cos760?>cos(-770?).
5. 求下列函数的单调区间:
(1) y=1+sinx, x?R; (2) y= -cosx, x?R.
解:
(1)
函数在 上是增函数,
函数在 上是减函数.
∵ cosx 的减区间就是 -cosx 增区间,
(2)
cosx 的增区间就是 -cosx 减区间,
∴ 原函数在[2kp, 2kp+p]上是增函数,
在[2kp-p, 2kp]上是减函数.
1.4.3
正切函数的性质
与图象
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1. 正切函数 y=tanx 的图象是怎样的曲线? 与正弦曲线和余弦曲线相比, 它是连续不断的吗? 是周期出现的吗? 是在一个带状范围内吗?
2. 正切函数 y=tanx 的定义域、周期、奇偶性、单调性、最大值、最小值与正、余弦函数是否相同?如果不同, 有哪些区别?
问题 1. 前面我们学习了正、余弦函数的性质, 类似地, 你能根据正切函数的解析式确定正切函数的定义域、周期、奇偶性、单调性、值域等性质吗?
由 得角的终边不与 y 轴重合, 得
正切函数的定义域为{ x?R | x≠kp + k?Z}.
(1)
(2)
∵ tan(x+p) = tanx,
∴ 周期 T=p.
(3)
tan(-x) = -tanx, ? 正切函数是奇函数.
(4)
由正切线得
x
y
o
(5)
值域 (-∞, +∞).
增函数.
【用正切线作正切函数的图象】
o
x
y
1. 在 y 轴左边作单位圆, 圆心在 x 轴上;
o
x
y
2. 将单位圆分成16等分, 在 上标出各
0
3. 画出各终边所表示角的正切线;
分界线为终边的弧度数;
●
o
x
y
0
o
4. 在 x 轴上标出单位圆上的各弧度数;
5. 将各正切线沿 x 轴平移到相应的坐标位置;
6. 用平滑的曲线把正切线的各端点连接起来;
●
●
●
o
x
y
0
●
o
这就是函数y=tanx 在 上的图象, 叫正切曲线.
●
●
o
x
y
-2p
-p
2p
3p
-3p
图象特点:
分界线(渐近线):
倾斜:
左低右高.
与 x 轴的交点:
(kp, 0).
【正切函数 y = tanx 的图象】
【由图象分析性质】
定义域:
值域:
(-∞, +∞).
对称中心:
单调性:
(角坐标系中: 左、右两半平面)
(无减区间) !
o
x
y
-p
p
奇偶性:
奇函数.
周期性:
T=p.
增区间:
y=tan(wx+j ):
对称性:
中心对称,
例6. 求函数 的定义域、周期和单调区间.
解:
(2) 函数的周期
(1) 定义域:
∴定义域为:
(3) 单调区间:
∴函数在 是增函数,
没有减函数区间.
= 2.
问题2(45页练习第5题). (1) 正切函数在整个定义域内是增函数吗? 为什么?
(2) 正切函数会不会在某一区间内是减函数? 为什么?
答:
(1) 正切函数在整个定义域内不是增函数.
如:
而
-1 > 1.
(2) 正切函数不会在某一区间内
是减函数, 如图象:
连续不断的任一区间, 图象都是
左低右高的, 没有减函数区间.
o
x
y
-p
p
正切函数在
练习: (课本45页)
第 2、3、4、6 题.
2. 观察正切曲线, 写出满足下列条件的 x 值的范围:
(1) tanx>0; (2) tanx=0; (3) tanx<0.
o
x
y
-p
p
解:
(1)
tanx>0 ?
(2)
tanx = 0 ?
(3)
tanx<0 ?
3. 求函数 y = tan3x 的定义域.
解:
则函数 y = tan3x 的定义域为
4. 求下列函数的周期:
(1)
(2)
解:
(1)
周期
(2)
周期
= 2p.
6. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小:
(1) tan138? 与 tan143?;
(2)
解:
(1)
138?? (90?, 270?), 143??(90?, 270?),
且 138?<143?,
又函数 y = tanx在 (90?, 270?)是增函数,
∴ tan138? 6. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小:
(1) tan138? 与 tan143?;
(2)
解:
(2)
又 y = tanx 在 是增函数,
【课时小结】
1. 正切函数 y=tanx 的图象
o
x
y
-2p
-p
2p
3p
-3p
【课时小结】
2. 正切函数 y=tanx 的性质
定义域:
值域:
(-∞, +∞).
对称中心:
单调性:
(无减区间) !
奇偶性:
奇函数.
周期性:
T=p.
增区间:
y=tan(wx+j ):
o
x
y
-p
p
习题 1.4
A 组
第 6、7、8 题.
6. 求函数 y = -tan(x+ )+2 的定义域.
解:
即函数的定义域为
习题 1.4
A组
7. 求函数 的周期.
解:
其周期为
8. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小:
(1)
(2) tan1519? 与 tan1493?;
(3)
(4)
解:
(1)
又 y = tanx 在 是增函数,
8. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小:
(1)
(2) tan1519? 与 tan1493?;
(3)
(4)
解:
(2)
tan1519?=tan(4?360?+79?)
=tan79?,
tan1493?=tan(4?360?+53?)
=tan53?,
∵ y=tanx在(-90?, 90?)是增函数,
而 -90?<53?<79?<90 ?,
∴ tan79?>tan53?,
即 tan1519?>tan1493?.
8. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小:
(1)
(2) tan1519? 与 tan1493?;
(3)
(4)
解:
(3)
∵ y = tanx 在 是增函数,
8. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小:
(1)
(2) tan1519? 与 tan1493?;
(3)
(4)
解:
(3)
∵ y = tanx 在 是增函数,
8. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小:
(1)
(2) tan1519? 与 tan1493?;
(3)
(4)
解:
(4)
∵ y = tanx 在 是增函数,
问:
如果不要求用单调性, 此题可以怎样比较?
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1. 正弦函数、余弦函数的图象
x
y
O
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
x
O
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=cosx
y
2. 正切函数的图象
o
x
y
-2p
-p
2p
3p
-3p
3. 正弦曲线、余弦曲线的五个关键点
0
-1
0
1
0
y
2p
p
0
x
1
0
-1
0
1
y
2p
p
0
x
y=sinx
y=cosx
4. 正弦、余弦、正切函数的性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
值域
周期性
奇偶性
增区间
R
R
[-1, 1]
[-1, 1]
(-∞, +∞)
T=2p
T=2p
T=p
奇
偶
奇
减区间
无
4. 正弦、余弦、正切函数的性质
最大值
最小值
对称中心
对称轴
无
无
(kp, 0)
x=kp
无
y=sinx
y=cosx
y=tanx
例题选讲
例1. 已知 w>0, 函数 f(x)=sin(wx+ ) 在 ( , p)上单调递减, 则 w 的取值范围是 ( )
(A) (B) (C) (D) (0, 2]
分析:
正弦函数 y=sinx 的单减区间是
即 f(x) 的单减区间应由
由题设要求, f(x) 的单减区间需包含
例题选讲
例1. 已知 w>0, 函数 f(x)=sin(wx+ ) 在 ( , p)上单调递减, 则 w 的取值范围是 ( )
(A) (B) (C) (D) (0, 2]
思路:
(1) 解不等式
得 f(x) 的单减区间 D.
(2) 使 解 w 的不等式, 即得 w 的范围.
例题选讲
例1. 已知 w>0, 函数 f(x)=sin(wx+ ) 在 ( , p)上单调递减, 则 w 的取值范围是 ( )
(A) (B) (C) (D) (0, 2]
解:
解不等式
得
得
取 k=0 时, 解得
A
例2. 已知 w>0, 0 (A) (B) (C) (D)
分析:
(1) 函数 y=sinx 的对称轴是
则求 f(x) 的对称轴需
思路:
(2) 解 得函数 f(x) 的对称轴
x=g(j, k).
(2) 相邻两对称轴间的距离是半个周期.
(1) 由相邻两对称轴之差求 w.
(3) 使
由 0 例2. 已知 w>0, 0 (A) (B) (C) (D)
解:
?w=1.
则对称轴:
∵0?k=0.
A
例3. 函数 y=2sin( ) (0≤x≤9) 的最大值与最小值之和为 ( )
(A) (B) 0 (C) -1 (D)
分析:
题设对 x 有个定义范围,
不一定取到最大值 1, 或最小值 -1.
需要确定 0≤x≤9 是在什么单调区间.
思路:
(1) 求 的单调区间.
(2) 0≤x≤9 在怎样的单调区间内.
(3) 由单调性和单调区间的端点确定最值.
例3. 函数 y=2sin( ) (0≤x≤9) 的最大值与最小值之和为 ( )
(A) (B) 0 (C) -1 (D)
解:
∵y=sinx 的增区间是
则有
解得 12k-1≤x≤12k+5.
取 k=0 时得 -1≤x≤5,
即原函数在 [-1, 5] 上是增函数.
那么函数在 [5, 11] 上是减函数.
x
y
O
5
9
11
-1
如图可知, 在 x=5 时取得最大值 2,
在 x=0 时取得最小值
A
例4. 已知函数 f(x)=2sin(wx+j), x?R, 其中 w>0,
-p (A) f(x) 在区间 [-2p, 0] 上是增函数
(B) f(x) 在区间 [-3p, -p] 上是增函数
(C) f(x) 在区间 [3p, 5p] 上是减函数
(D) f(x) 在区间 [4p, 6p] 上是减增函数
分析:
(1) 已经最小正周期即可求 w.
(2) 已知取得最大值时的 x, 即可求 j.
于是可求函数的单调区间.
例4. 已知函数 f(x)=2sin(wx+j), x?R, 其中 w>0,
-p (A) f(x) 在区间 [-2p, 0] 上是增函数
(B) f(x) 在区间 [-3p, -p] 上是增函数
(C) f(x) 在区间 [3p, 5p] 上是减函数
(D) f(x) 在区间 [4p, 6p] 上是减增函数
解:
f(x) 取得最大值时需
∴-p 例4. 已知函数 f(x)=2sin(wx+j), x?R, 其中 w>0,
-p (A) f(x) 在区间 [-2p, 0] 上是增函数
(B) f(x) 在区间 [-3p, -p] 上是增函数
(C) f(x) 在区间 [3p, 5p] 上是减函数
(D) f(x) 在区间 [4p, 6p] 上是减增函数
解:
f(x) 取得最大值时需
∴-p解增区间
解得
当 k=0 时, x?[-2.5p, 0.5p]
?[-2p, 0].
A
【练习与习题】
补充: 第 1、2、3、4、5、6 题
习题 1.4 A 组: 第 9、11 题
B 组: 第 1、2、3 题
补充练习
1. 函数 f(x)=sin( ) 的图象的一条对称轴是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2. 若函数 f(x)=sin ( j?[0, 2p] ) 是偶函数, 则 j=( )
(A) (B) (C) (D)
3. 若函数 f(x)=sinwx (w>0) 在区间 [0, ] 上单调递增, 在区间 上单调递减, 则 w 等于 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) (D)
4. 下列函数中, 周期为 p, 且在 上为减函数的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
5. 下列关系式中正确的是 ( )
(A) sin11? (C) sin11? 6. 在同一平面直角坐标系中, 函数 y=cos (x?[0, 2p]) 的图象和
直线 的交点个数是 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4
补充练习
1. 函数 f(x)=sin( ) 的图象的一条对称轴是 ( )
(A) (B) (C) (D)
解:
当 k= -1 时,
C
2. 若函数 f(x)=sin ( j?[0, 2p] ) 是偶函数, 则 j=( )
(A) (B) (C) (D)
分析:
偶函数的图象关于 y 轴对称.
即 x=0 是曲线的一条对称轴.
则
得
∵j?[0, 2p],
C
3. 若函数 f(x)=sinwx (w>0) 在区间 [0, ] 上单调递增, 在区间 上单调递减, 则 w 等于 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) (D)
分析:
由题设知 时 f(x) 取得最大值.
即
解得
因为一个单调区间不能超过半个周期,
所以
解得 0①
②
由①②得
C
4. 下列函数中, 周期为 p, 且在 上为减函数的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
分析:
排除 C, D 选项.
正弦函数的减区间:
解得
k 取任何整数都不包含
排除 A 选项.
B
5. 下列关系式中正确的是 ( )
(A) sin11? (B) sin168? (C) sin11? (D) sin168?分析:
sin168?=sin12?
正弦在 [-90?, 90?] 上是增函数.
∴sin11?排除 B, D 选项.
又 sin12?余弦在 [0?, 180?]上是减函数.
∴ cos10?>cos45?
∴cos10?>sin12?.
C
6. 在同一平面直角坐标系中, 函数 y=cos
(x?[0, 2p]) 的图象和直线 的交点个数是 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4
分析:
求函数的增区间:
解得 4kp-5p≤x≤4kp-3p.
k=1 时, 增区间为 [-p, p], 减区间为 [p, 3p].
x
y
O
p
-p
2p
3p
如图:
则在 [0, 2p] 上函数
图象与 有两个交点.
C
9. 根据正切函数的图象, 写出使下列不等式成立的 x 的集合:
(1) 1+tanx≥0; (2) tanx - ≥0.
o
x
y
-p
p
解:
(1)
tanx≥-1,
由原式得
-1
其集合为
习题 1.4 A 组
9. 根据正切函数的图象, 写出使下列不等式成立的 x 的集合:
(1) 1+tanx≥0; (2) tanx - ≥0.
o
x
y
-p
p
解:
(2)
原式变为
其集合为
习题 1.4 A 组
11. 容易知道, 正弦函数 y = sinx 是奇函数, 正弦曲线关于原点对称, 即原点是正弦曲线的对称中心, 除原点外, 正弦曲线还有其他对称中心吗? 如果有, 对称中心的坐标是什么? 另外, 正弦曲线是轴对称图形吗? 如果是, 对称轴的方程是什么?
你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?
对余弦函数和正切函数, 讨论上述同样的问题.
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
正弦曲线的对称中心是曲线与 x 轴的交点:
(kp, 0) (k?Z).
对称轴是过上下顶点的直线:
原点是对称中心, 由周期性就能得到其它对称中心.
11. 容易知道, 正弦函数 y = sinx 是奇函数, 正弦曲线关于原点对称, 即原点是正弦曲线的对称中心, 除原点外, 正弦曲线还有其他对称中心吗? 如果有, 对称中心的坐标是什么? 另外, 正弦曲线是轴对称图形吗? 如果是, 对称轴的方程是什么?
你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?
对余弦函数和正切函数, 讨论上述同样的问题.
余弦曲线的对称中心是曲线与 x 轴的交点:
对称轴是过上下顶点的直线:
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
11. 容易知道, 正弦函数 y = sinx 是奇函数, 正弦曲线关于原点对称, 即原点是正弦曲线的对称中心, 除原点外, 正弦曲线还有其他对称中心吗? 如果有, 对称中心的坐标是什么? 另外, 正弦曲线是轴对称图形吗? 如果是, 对称轴的方程是什么?
你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?
对余弦函数和正切函数, 讨论上述同样的问题.
正切曲线的对称中心是曲线与 x 轴
正切曲线不是轴对称图形, 没有对称轴.
o
x
y
-p
p
的交点以及 x 轴上函数无定义的点:
B 组
1. 根据正弦函数、余弦函数的图象, 写出使下列不等式成立的 x 的取值集合:
(1) (2)
解:
(1)
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
y=sinx
B 组
1. 根据正弦函数、余弦函数的图象, 写出使下列不等式成立的 x 的取值集合:
(1) (2)
解:
(1)
(2)
x
y
o
3p
p
2p
-3p
-2p
-p
1
-1
原式变为
2. 求函数 y= - tan(2x- ) 的单调区间.
解:
解不等式得
即函数在 是单调
递减函数.
无减区间.
3. 已知函数 y = f (x) 的图象如图所示, 试回答下列问题:
(1) 求函数的周期;
(2) 画出函数 y = f (x+1) 的图象;
(3) 你能写出函数 y = f (x) 的解析式吗?
x
y
o
-1
1
1
解:
(1)
由图知周期 T=2.
(2)
设已知函数为
y = f(X),
则 f(x+1) = f(X),
得 x+1=X,
? x=X-1,
即 y = f(x+1) 的图象是将已知函数的图象向左
平移一个单位.
y = f(x+1)
3. 已知函数 y = f (x) 的图象如图所示, 试回答下列问题:
(1) 求函数的周期;
(2) 画出函数 y = f (x+1) 的图象;
(3) 你能写出函数 y = f (x) 的解析式吗?
x
y
o
-1
1
1
解:
(3)
看过原点的OA, OB,
A
B
OA的方程是 y=x (0≤x≤1),
OB的方程是 y= -x (-1≤x≤0),
则折线 BOA 的方程为
y = |x| (-1≤x≤1),
其余就是以2为周期地周期出现, 即
3. 已知函数 y = f (x) 的图象如图所示, 试回答下列问题:
(1) 求函数的周期;
(2) 画出函数 y = f (x+1) 的图象;
(3) 你能写出函数 y = f (x) 的解析式吗?
x
y
o
-1
1
1
解:
(3)
看过原点的OA, OB,
A
B
OA的方程是 y=x (0≤x≤1),
OB的方程是 y= -x (-1≤x≤0),
则折线 BOA 的方程为
y = |x| (-1≤x≤1),
其余就是以2为周期地周期出现, 即
B 组
1≤x≤3 时, y = |x-2|;
3≤x≤5 时, y = |x-4|;
……
所以解析式可以为
y = |x-2k|, (2k-1≤x≤2k+1), k?Z.