1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用学案2020-2021学年高二数学下学期人教A版选修2-3 第一章计数原理
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| 名称 | 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用学案2020-2021学年高二数学下学期人教A版选修2-3 第一章计数原理 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 415.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-31 22:47:35 | ||
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文档简介
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用
[目标] 1.理解两个计数原理的内容及它们的区别.2.两个计数原理的应用．
[重点] 1.理解两个计数原理的内容及它们的区别.2.两个计数原理的应用．
[难点] 1.两个计数原理的应用.2.分类与分步问题的选择．
知识点一 分类加法计数原理
[填一填]
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
[答一答]
1．(1)如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法．那么完成这件事共有多少种不同的方法？
(2)如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中分别有mi(i＝1,2，…n)种不同方法，那么应当如何计数呢？
提示：(1)N＝m1＋m2＋m3；(2)N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn.
2．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？
提示：按分类计数原理共有6＋5＋4＝15种取法．
知识点二 分步乘法计数原理
[填一填]
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
[答一答]
3．(1)如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
(2)如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中分别有mi(i＝1,2，…n)种不同方法，那么应当如何计数呢？
提示：(1)N＝m1×m2×m3；(2)N＝m1×m2×m3×…×mn.
4．如何理解“完成一件事”的过程中各步之间的关系？
提示：各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
5．区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？
提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
本质 每类方法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
各类(步) 的关系 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥” 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”
类型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 某校高三共有三个班，各班人数如下表.
男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
【分析】 (1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理；(2)完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理．
【解】 (1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
利用分类加法计数原理计数，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合适的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类加法计数原理计算总方法数.
(1)某班有28名男生，20名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有( C )种．
A．28 B．20
C．48 D．560
解析：选一名数学课代表有2类不同的方案．
第1类：从该班的男生中选1名同学，有28种不同的选法．
第2类：从该班的女生中选1名同学，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，选1名同学有28＋20＝48种不同的选法．
(2)家住天津的小明同学向往北京的故宫、长城，准备暑假去参观旅游，从天津到北京一天中有飞机早、中、晚3个航班，动车组有4个班次，汽车有8个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去北京有15种不同的方法．
解析：根据分类加法计数原理，有3＋4＋8＝15种不同的方法．
类型二 分步乘法计数原理
【例2】 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里各取1信封，有多少种不同的取法？
(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
【分析】 在(1)中要明确只取2封信，一个口袋一封；在(2)中9封信应分别投入4个邮筒，这才叫完成这件事，考虑分步乘法计数原理．
【解】 (1)各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理．共有5×4＝20(种)．
(2)若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能．第二封信仍有4种可能…第九封信还有4种可能．所以共有49种不同的投法．
利用分步乘法计数原理计数的一般思路：
(1)如图，从丽水到上海的途径有60种．
解析：完成从丽水到上海这件事需要两个步骤：第1步，从丽水到温州，有6种不同方法；第2步，从温州到上海，有10种不同方法，所以从丽水到上海共有6×10＝60种方法．
(2)某校会议室有五个出入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有20种．
解析：完成这件事可分两步，第一步进门有5种走法；第二步出门有4种走法．根据分步乘法计数原理有N＝5×4＝20种走法．
类型三 两个原理的综合应用
【例3】 某学校高二年级有12位语文教师、13位数学教师、15位英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会．
(1)若选派1位教师参会，有多少种选法？
(2)若三个学科各派1位教师参会，有多少种选法？
(3)若选派2位不同学科的教师参会，有多少种选法？
【分析】 (1)选派1位教师参会有三种选法，用分类加法计数原理．
(2)三个学科各派1位教师参会，完成这件事情分三步，用分步乘法计数原理．
(3)选派2位不同学科教师参会，因为有三个学科，所以先选两个不同学科，即先分类，再分步．
【解】 (1)分三类：第一类选语文教师，有12种不同选法；第二类选数学教师，有13种不同选法；第三类选英语教师，有15种不同选法，共有12＋13＋15＝40种不同的选法．
(2)分三步：第一步选语文教师，有12种不同选法；第二步选数学教师，有13种不同选法；第三步选英语教师，有15种不同选法，共有12×13×15＝2 340种不同的选法．
(3)分三类：第一类选一位语文教师和一位数学教师共有12×13种不同的选法；第二类选一位语文教师和一位英语教师共有12×15种不同的选法；第三类选一位英语教师和一位数学教师共有15×13种不同的选法，共有12×13＋12×15＋13×15＝531种不同的选法．
注意运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类，后分步”.
高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有( B )
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
解析：其穿衣方式分两类，
第一类，不选连衣裙有4×3＝12种方法，
第二类，选连衣裙有2种方法，
由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14种方法．
类比物理学中的并联电路与串联电路理解两个计数原理
【例4】 如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？
【思路分析】 分为三类，每类再分步解决．
【解】 第一类：有一条线路．
第二类：有3×2条线路．
第三类：有2×2条线路．
根据分类加法计数原理，从A到B接通时共有
1＋3×2＋2×2＝11种不同线路．
【解后反思】 分类加法计数原理可类比并联电路，分步加法计数原理可类比串联电路．这样可以形象地理解两个计数原理．
(1)如图，在由电键组A与B组成的并联电路(规定只能合上其中一个电键)中，接通电源使灯泡发光的方法有5种．
解析：要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由电键组A与B组成的并联电路中，只要合上图中的任一电键，灯泡即发光．
因此对完成这件事进行分类，而每一类都可以独立完成这件事(使灯泡发光)，所以接通电源使灯泡发光的方法有2＋3＝5种．
(2)如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能情况共有63种．
解析：电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落．因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．
1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是( A )
A．8 B．15 C．16 D．5
解析：运用分类加法计数原理可得，不同选法的种数是5＋3＝8.
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{3,4,5}，从这两个集合中先后取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( B )
A．5 B．6
C．10 D．12
解析：完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．
3．若x∈{1,2,3}，y∈{5,6,7}，则x·y的不同值有( C )
A．2个 B．6个
C．9个 D．3个
解析：3×3＝9.
4．一高速公路上的高架桥有6个通道能到十字路口，如果不允许回头，共有18种行车路线．
解析：每个路口出来的车都有三种走法，共有3×6＝18种．
5．要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同排法？
解：先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；
再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；
再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；
同理，第四、五天各有4种排法．
由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1 280(种)．
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用
[目标] 1.理解两个计数原理的内容及它们的区别.2.两个计数原理的应用．
[重点] 1.理解两个计数原理的内容及它们的区别.2.两个计数原理的应用．
[难点] 1.两个计数原理的应用.2.分类与分步问题的选择．
知识点一 分类加法计数原理
[填一填]
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
[答一答]
1．(1)如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法．那么完成这件事共有多少种不同的方法？
(2)如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中分别有mi(i＝1,2，…n)种不同方法，那么应当如何计数呢？
提示：(1)N＝m1＋m2＋m3；(2)N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn.
2．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？
提示：按分类计数原理共有6＋5＋4＝15种取法．
知识点二 分步乘法计数原理
[填一填]
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
[答一答]
3．(1)如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
(2)如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中分别有mi(i＝1,2，…n)种不同方法，那么应当如何计数呢？
提示：(1)N＝m1×m2×m3；(2)N＝m1×m2×m3×…×mn.
4．如何理解“完成一件事”的过程中各步之间的关系？
提示：各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
5．区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？
提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
本质 每类方法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
各类(步) 的关系 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥” 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”
类型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 某校高三共有三个班，各班人数如下表.
男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
【分析】 (1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理；(2)完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理．
【解】 (1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
利用分类加法计数原理计数，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合适的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类加法计数原理计算总方法数.
(1)某班有28名男生，20名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有( C )种．
A．28 B．20
C．48 D．560
解析：选一名数学课代表有2类不同的方案．
第1类：从该班的男生中选1名同学，有28种不同的选法．
第2类：从该班的女生中选1名同学，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，选1名同学有28＋20＝48种不同的选法．
(2)家住天津的小明同学向往北京的故宫、长城，准备暑假去参观旅游，从天津到北京一天中有飞机早、中、晚3个航班，动车组有4个班次，汽车有8个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去北京有15种不同的方法．
解析：根据分类加法计数原理，有3＋4＋8＝15种不同的方法．
类型二 分步乘法计数原理
【例2】 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里各取1信封，有多少种不同的取法？
(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
【分析】 在(1)中要明确只取2封信，一个口袋一封；在(2)中9封信应分别投入4个邮筒，这才叫完成这件事，考虑分步乘法计数原理．
【解】 (1)各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理．共有5×4＝20(种)．
(2)若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能．第二封信仍有4种可能…第九封信还有4种可能．所以共有49种不同的投法．
利用分步乘法计数原理计数的一般思路：
(1)如图，从丽水到上海的途径有60种．
解析：完成从丽水到上海这件事需要两个步骤：第1步，从丽水到温州，有6种不同方法；第2步，从温州到上海，有10种不同方法，所以从丽水到上海共有6×10＝60种方法．
(2)某校会议室有五个出入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有20种．
解析：完成这件事可分两步，第一步进门有5种走法；第二步出门有4种走法．根据分步乘法计数原理有N＝5×4＝20种走法．
类型三 两个原理的综合应用
【例3】 某学校高二年级有12位语文教师、13位数学教师、15位英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会．
(1)若选派1位教师参会，有多少种选法？
(2)若三个学科各派1位教师参会，有多少种选法？
(3)若选派2位不同学科的教师参会，有多少种选法？
【分析】 (1)选派1位教师参会有三种选法，用分类加法计数原理．
(2)三个学科各派1位教师参会，完成这件事情分三步，用分步乘法计数原理．
(3)选派2位不同学科教师参会，因为有三个学科，所以先选两个不同学科，即先分类，再分步．
【解】 (1)分三类：第一类选语文教师，有12种不同选法；第二类选数学教师，有13种不同选法；第三类选英语教师，有15种不同选法，共有12＋13＋15＝40种不同的选法．
(2)分三步：第一步选语文教师，有12种不同选法；第二步选数学教师，有13种不同选法；第三步选英语教师，有15种不同选法，共有12×13×15＝2 340种不同的选法．
(3)分三类：第一类选一位语文教师和一位数学教师共有12×13种不同的选法；第二类选一位语文教师和一位英语教师共有12×15种不同的选法；第三类选一位英语教师和一位数学教师共有15×13种不同的选法，共有12×13＋12×15＋13×15＝531种不同的选法．
注意运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类，后分步”.
高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有( B )
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
解析：其穿衣方式分两类，
第一类，不选连衣裙有4×3＝12种方法，
第二类，选连衣裙有2种方法，
由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14种方法．
类比物理学中的并联电路与串联电路理解两个计数原理
【例4】 如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？
【思路分析】 分为三类，每类再分步解决．
【解】 第一类：有一条线路．
第二类：有3×2条线路．
第三类：有2×2条线路．
根据分类加法计数原理，从A到B接通时共有
1＋3×2＋2×2＝11种不同线路．
【解后反思】 分类加法计数原理可类比并联电路，分步加法计数原理可类比串联电路．这样可以形象地理解两个计数原理．
(1)如图，在由电键组A与B组成的并联电路(规定只能合上其中一个电键)中，接通电源使灯泡发光的方法有5种．
解析：要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由电键组A与B组成的并联电路中，只要合上图中的任一电键，灯泡即发光．
因此对完成这件事进行分类，而每一类都可以独立完成这件事(使灯泡发光)，所以接通电源使灯泡发光的方法有2＋3＝5种．
(2)如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能情况共有63种．
解析：电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落．因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．
1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是( A )
A．8 B．15 C．16 D．5
解析：运用分类加法计数原理可得，不同选法的种数是5＋3＝8.
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{3,4,5}，从这两个集合中先后取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( B )
A．5 B．6
C．10 D．12
解析：完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．
3．若x∈{1,2,3}，y∈{5,6,7}，则x·y的不同值有( C )
A．2个 B．6个
C．9个 D．3个
解析：3×3＝9.
4．一高速公路上的高架桥有6个通道能到十字路口，如果不允许回头，共有18种行车路线．
解析：每个路口出来的车都有三种走法，共有3×6＝18种．
5．要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同排法？
解：先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；
再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；
再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；
同理，第四、五天各有4种排法．
由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1 280(种)．