2.5.1直线与圆的位置关系(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析
文档属性
| 名称 | 2.5.1直线与圆的位置关系(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 292.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-01 10:35:12 | ||
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文档简介
2.5.1直线与圆的位置关系
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2
C．4 D．4
4．(全国卷Ⅰ，文)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A、B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为__ __．
5．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过原点的直线l与其交于不同的两点A、B．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求线段AB的中点P的轨迹方程．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2021·北京市海淀区检测)直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判定
2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
3．(2020·九江一中高一期末)已知圆C：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，且A、B为切点，则直线AB经过定点( )
A．(4,8) B．(2,4)
C．(1,2) D．(9,0)
4．(2020·四川省南充市三模)已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＋y＝1 D．x－y＝1
5．(2020·临朐一中高一检测)若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则这个圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
二、填空题
6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有____个．
7．(天津文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____．
8．(2020·河北省石家庄市正定三中高二期中)已知圆C与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C的方程为____．
三、解答题
9．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(1)经过点P(，1)；
(2)斜率为－1；
(3)过点Q(3,0)．
10．(2020·本溪一中高一期中)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过点M的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x＋y＋＝0 D．2x＋y－＝0
2．(多选题)在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能为( )
3．(2018·全国卷Ⅲ理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
4．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是( )
A．3＜r＜5 B．4＜r＜6
C．r＞4 D．r＞5
二、填空题
5．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为____m．
6．(2019·浙江卷，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝____，r＝____．
7．(2020·广东省汕头市高二期末)已知圆C的圆心与点(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为____．
三、解答题
8．(2020·邹城一中高一检测)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
9．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m．
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．
2.5.1直线与圆的位置关系
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
[解析] d＝＝1＝r，∴选B．
2．若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是( D )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
[解析] 当只有一个公共点时，直线l与圆C相切；当有两个公共点时，直线l与圆C相交．
3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( C )
A．1 B．2
C．4 D．4
[解析] 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4．
4．(全国卷Ⅰ，文)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A、B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为__4π__．
[解析] 圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以()2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π．
5．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过原点的直线l与其交于不同的两点A、B．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求线段AB的中点P的轨迹方程．
[解析] (1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
由题意可设直线l的方程为y＝kx．
∵直线l与圆C有两个不同交点，
∴＜1，
∴－＜k＜．
(2)设点P(x，y)，∵点P为线段AB的中点，∴CP⊥OP．
∴kCP·kOP＝－1，
即·＝－1(x≠2且x≠0)，
化简得x2＋y2－2x＝0．
由得
故点P的轨迹方程为x2＋y2－2x＝0(＜x≤2)．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2021·北京市海淀区检测)直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( C )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判定
[解析] 由圆的方程可知，圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切．
2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[解析] 由题意，得＝1，
∴a2＋b2＝c2，故选B．
3．(2020·九江一中高一期末)已知圆C：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，且A、B为切点，则直线AB经过定点( C )
A．(4,8) B．(2,4)
C．(1,2) D．(9,0)
[解析] 设P(9－2b，b)，由圆的切线公式，则直线lAB：(9－2b)x＋by＝9，即b(y－2x)＋9x＝9，
所以定点?．
4．(2020·四川省南充市三模)已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是( A )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＋y＝1 D．x－y＝1
[解析] 方法一 由圆的方程为x2＋y2＝1，可知圆心的坐标为(0,0)，圆的半径r＝1，
故经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x＝1．
方法二 直接应用圆的切线方程的结论得，所求切线方程为1·x＋0·y＝12，即x＝1．
5．(2020·临朐一中高一检测)若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则这个圆的方程是( B )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
[解析] 由题意得，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，再由圆的弦长公式，可得2＝2?r2－d2＝2，即r2＝d2＋2＝4，所以这个圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，故选B．
二、填空题
6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有__3__个．
[解析] 圆心(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离，d＝＝2，又r＝3，
故有三个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1．
7．(天津文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．
[解析] 设圆心为(a,0)(a＞0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．
8．(2020·河北省石家庄市正定三中高二期中)已知圆C与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C的方程为__(x－3)2＋(y－5)2＝37__．
[解析] 因为圆C与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，该直线方程为y＋1＝－6(x－4)，即6x＋y－23＝0．又圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的垂直平分线y－＝－，即直线5x＋7y－50＝0上，由解得即圆心坐标为(3,5)，所以半径为＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37．
三、解答题
9．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(1)经过点P(，1)；
(2)斜率为－1；
(3)过点Q(3,0)．
[解析] (1)∵点P(，1)在圆上．
∴所求切线方程为x＋y－4＝0．
(2)设圆的切线方程为y＝－x＋b，
代入圆的方程，整理得
2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，
∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0．
解得b＝±2．
∴所求切线方程为x＋y±2＝0．
也可用几何法d＝r求解．
(3)解法一：∵32＋02＞4，∴点Q在圆外．
设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0．
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
∴＝2，∴k＝±，
∴所求切线方程为2x±y－6＝0．
解法二：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为
x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝①
又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4②
由①②构成的方程组可解得
或
∴所求切线方程为
x＋y＝4或x－y＝4，
即2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0．
10．(2020·本溪一中高一期中)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过点M的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[解析] (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3．
由圆心(1,2)到直线x＝3的距离3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当过点M的直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0．由题意知＝2，
解得k＝，
∴方程为3x－4y－5＝0．
故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0．
(2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为＝，
∴2＋()2＝4，
解得a＝－．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( AB )
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x＋y＋＝0 D．2x＋y－＝0
[解析] ∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0．
∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，
∴＝，∴m＝±5．
即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．
故选AB．
2．(多选题)在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能为( ABD )
[解析] 由题意，可得a2＞0，直线y＝ax＋a2显然过点(0，a2)，故ABD均不可能．
3．(2018·全国卷Ⅲ理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( A )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
[解析] ∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2，
∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，
∴圆心为(2,0)，则圆心到直线距离d1＝＝2，
故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3]，
则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]．
故答案选A．
4．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是( B )
A．3＜r＜5 B．4＜r＜6
C．r＞4 D．r＞5
[解析] 圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1＜r＜d＋1，所以4＜r＜6．
二、填空题
5．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为__2__m．
[解析] 以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线
为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，
则由已知得A(6，－2)．
设圆的半径为r，
则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2．①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得
36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10．
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100．②
当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，
将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝．
∴水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m．
6．(2019·浙江卷，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝____．
[解析] 根据题意画出图形，可知
A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，
则AB＝＝2，
AC＝＝，
BC＝|m－3|．
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2．
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，
解得m＝－2．
因此r＝AC＝＝．
7．(2020·广东省汕头市高二期末)已知圆C的圆心与点(－2，1)关于直线y＝x＋1对称 ，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为__x2＋(y＋1)2＝18__．
[解析] 设点(－2,1)关于直线y＝x＋1的对称点为C(x0，y0)，则解得
即圆心C的坐标为(0，－1)，
则圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为
＝3．
从而圆C的半径为＝3，故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18．
三、解答题
8．(2020·邹城一中高一检测)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
[解析] (1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∴方程表示圆时，m＜5．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，
∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①，
由，得5y2－16y＋m＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝．
代入①得m＝．
(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0．
9．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m．
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．
[解析] (1)已知圆的标准方程是(x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0＜a≤4)，则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2．
直线l的方程化为x－y＋4＝0，则圆心C到直线l的距离是＝|2－a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系，得
L＝2＝2
＝2．
∵0＜a≤4，∴当a＝3时，L的最大值为2．
(2)∵直线l与圆C相切，则有＝2，
即|m－2a|＝2．
∵点C在直线l的上方，∴a＞－a＋m，即2a＞m，
∴2a－m＝2，∴m＝(－1)2－1．
∵0＜a≤4，∴0＜≤2，∴m∈[－1,8－4]．
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2
C．4 D．4
4．(全国卷Ⅰ，文)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A、B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为__ __．
5．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过原点的直线l与其交于不同的两点A、B．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求线段AB的中点P的轨迹方程．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2021·北京市海淀区检测)直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判定
2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
3．(2020·九江一中高一期末)已知圆C：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，且A、B为切点，则直线AB经过定点( )
A．(4,8) B．(2,4)
C．(1,2) D．(9,0)
4．(2020·四川省南充市三模)已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＋y＝1 D．x－y＝1
5．(2020·临朐一中高一检测)若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则这个圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
二、填空题
6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有____个．
7．(天津文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____．
8．(2020·河北省石家庄市正定三中高二期中)已知圆C与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C的方程为____．
三、解答题
9．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(1)经过点P(，1)；
(2)斜率为－1；
(3)过点Q(3,0)．
10．(2020·本溪一中高一期中)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过点M的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x＋y＋＝0 D．2x＋y－＝0
2．(多选题)在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能为( )
3．(2018·全国卷Ⅲ理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
4．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是( )
A．3＜r＜5 B．4＜r＜6
C．r＞4 D．r＞5
二、填空题
5．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为____m．
6．(2019·浙江卷，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝____，r＝____．
7．(2020·广东省汕头市高二期末)已知圆C的圆心与点(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为____．
三、解答题
8．(2020·邹城一中高一检测)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
9．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m．
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．
2.5.1直线与圆的位置关系
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
[解析] d＝＝1＝r，∴选B．
2．若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是( D )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
[解析] 当只有一个公共点时，直线l与圆C相切；当有两个公共点时，直线l与圆C相交．
3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( C )
A．1 B．2
C．4 D．4
[解析] 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4．
4．(全国卷Ⅰ，文)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A、B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为__4π__．
[解析] 圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以()2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π．
5．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过原点的直线l与其交于不同的两点A、B．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求线段AB的中点P的轨迹方程．
[解析] (1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
由题意可设直线l的方程为y＝kx．
∵直线l与圆C有两个不同交点，
∴＜1，
∴－＜k＜．
(2)设点P(x，y)，∵点P为线段AB的中点，∴CP⊥OP．
∴kCP·kOP＝－1，
即·＝－1(x≠2且x≠0)，
化简得x2＋y2－2x＝0．
由得
故点P的轨迹方程为x2＋y2－2x＝0(＜x≤2)．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2021·北京市海淀区检测)直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( C )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判定
[解析] 由圆的方程可知，圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切．
2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[解析] 由题意，得＝1，
∴a2＋b2＝c2，故选B．
3．(2020·九江一中高一期末)已知圆C：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，且A、B为切点，则直线AB经过定点( C )
A．(4,8) B．(2,4)
C．(1,2) D．(9,0)
[解析] 设P(9－2b，b)，由圆的切线公式，则直线lAB：(9－2b)x＋by＝9，即b(y－2x)＋9x＝9，
所以定点?．
4．(2020·四川省南充市三模)已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是( A )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＋y＝1 D．x－y＝1
[解析] 方法一 由圆的方程为x2＋y2＝1，可知圆心的坐标为(0,0)，圆的半径r＝1，
故经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x＝1．
方法二 直接应用圆的切线方程的结论得，所求切线方程为1·x＋0·y＝12，即x＝1．
5．(2020·临朐一中高一检测)若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则这个圆的方程是( B )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
[解析] 由题意得，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，再由圆的弦长公式，可得2＝2?r2－d2＝2，即r2＝d2＋2＝4，所以这个圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，故选B．
二、填空题
6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有__3__个．
[解析] 圆心(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离，d＝＝2，又r＝3，
故有三个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1．
7．(天津文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．
[解析] 设圆心为(a,0)(a＞0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．
8．(2020·河北省石家庄市正定三中高二期中)已知圆C与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C的方程为__(x－3)2＋(y－5)2＝37__．
[解析] 因为圆C与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，该直线方程为y＋1＝－6(x－4)，即6x＋y－23＝0．又圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的垂直平分线y－＝－，即直线5x＋7y－50＝0上，由解得即圆心坐标为(3,5)，所以半径为＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37．
三、解答题
9．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(1)经过点P(，1)；
(2)斜率为－1；
(3)过点Q(3,0)．
[解析] (1)∵点P(，1)在圆上．
∴所求切线方程为x＋y－4＝0．
(2)设圆的切线方程为y＝－x＋b，
代入圆的方程，整理得
2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，
∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0．
解得b＝±2．
∴所求切线方程为x＋y±2＝0．
也可用几何法d＝r求解．
(3)解法一：∵32＋02＞4，∴点Q在圆外．
设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0．
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
∴＝2，∴k＝±，
∴所求切线方程为2x±y－6＝0．
解法二：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为
x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝①
又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4②
由①②构成的方程组可解得
或
∴所求切线方程为
x＋y＝4或x－y＝4，
即2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0．
10．(2020·本溪一中高一期中)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过点M的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[解析] (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3．
由圆心(1,2)到直线x＝3的距离3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当过点M的直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0．由题意知＝2，
解得k＝，
∴方程为3x－4y－5＝0．
故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0．
(2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为＝，
∴2＋()2＝4，
解得a＝－．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( AB )
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x＋y＋＝0 D．2x＋y－＝0
[解析] ∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0．
∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，
∴＝，∴m＝±5．
即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．
故选AB．
2．(多选题)在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能为( ABD )
[解析] 由题意，可得a2＞0，直线y＝ax＋a2显然过点(0，a2)，故ABD均不可能．
3．(2018·全国卷Ⅲ理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( A )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
[解析] ∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2，
∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，
∴圆心为(2,0)，则圆心到直线距离d1＝＝2，
故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3]，
则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]．
故答案选A．
4．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是( B )
A．3＜r＜5 B．4＜r＜6
C．r＞4 D．r＞5
[解析] 圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1＜r＜d＋1，所以4＜r＜6．
二、填空题
5．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为__2__m．
[解析] 以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线
为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，
则由已知得A(6，－2)．
设圆的半径为r，
则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2．①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得
36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10．
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100．②
当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，
将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝．
∴水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m．
6．(2019·浙江卷，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝____．
[解析] 根据题意画出图形，可知
A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，
则AB＝＝2，
AC＝＝，
BC＝|m－3|．
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2．
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，
解得m＝－2．
因此r＝AC＝＝．
7．(2020·广东省汕头市高二期末)已知圆C的圆心与点(－2，1)关于直线y＝x＋1对称 ，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为__x2＋(y＋1)2＝18__．
[解析] 设点(－2,1)关于直线y＝x＋1的对称点为C(x0，y0)，则解得
即圆心C的坐标为(0，－1)，
则圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为
＝3．
从而圆C的半径为＝3，故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18．
三、解答题
8．(2020·邹城一中高一检测)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
[解析] (1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∴方程表示圆时，m＜5．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，
∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①，
由，得5y2－16y＋m＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝．
代入①得m＝．
(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0．
9．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m．
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．
[解析] (1)已知圆的标准方程是(x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0＜a≤4)，则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2．
直线l的方程化为x－y＋4＝0，则圆心C到直线l的距离是＝|2－a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系，得
L＝2＝2
＝2．
∵0＜a≤4，∴当a＝3时，L的最大值为2．
(2)∵直线l与圆C相切，则有＝2，
即|m－2a|＝2．
∵点C在直线l的上方，∴a＞－a＋m，即2a＞m，
∴2a－m＝2，∴m＝(－1)2－1．
∵0＜a≤4，∴0＜≤2，∴m∈[－1,8－4]．