2.5.2圆与圆的位置关系(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析
文档属性
| 名称 | 2.5.2圆与圆的位置关系(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 145.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-01 10:36:28 | ||
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文档简介
2.5.2圆与圆的位置关系
1．(2021·山东省济宁市段考)圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
3．两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为____．
4．判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
3．(2020·湖北省襄阳一中期中)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．1条
4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
5．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
二、填空题
6．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是____．
7．(2020·江苏省启东中学期中)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为____．
三、解答题
8．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
9．(2021·寿光现代中学高一检测)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
B组·素养提升
一、选择题
1．(2021·辽宁省朝阳市检测)已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
2．一圆过圆x2＋y2－2x＝0和直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0 B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0 D．x2＋y2＋4x－6＝0
3．(多选题)(2021·泰安一中高一检测)设r＞0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16可能( )
A．内切 B．相交
C．内含 D．外切
E．外离
4．(多选题)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值可能是( )
A．－16 B．－9
C．11 D．12
二、填空题
5．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1相外离，则a，b满足的条件是____．
6．已知圆(x－1)2＋y2＝1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)无公切线，则r的取值范围为____．
7．已知圆C：x2＋y2＝1，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点为A，B，若点P的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为____；若P为直线x＋2y－4＝0上一动点，则直线AB经过定点____．
三、解答题
8．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程．
9．已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
2.5.2圆与圆的位置关系
1．(2021·山东省济宁市段考)圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( B )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
[解析] 根据题意，可知圆A的半径r1＝2，圆B的半径r2＝2，圆A与圆B的圆心距d＝＝5＞4，即d＞r1＋r2，故两圆外离．
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( C )
A．21 B．19
C．9 D．－11
[解析] 圆C1：圆心(0,0)，r1＝1，圆C2：圆心(3,4)，r2＝＝，因为圆C1与圆C2外切，所以＝1＋，解得m＝9．故选C．
3．两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为____．
[解析] 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋3y＋1＝0，圆x2＋y2－1＝0的圆心为(0,0)，半径长为1，又(0,0)到直线x＋3y＋1＝0的距离为，所以公共弦长为2＝．
4．判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．
[解析] 解法一：圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为C1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为C2(0，－3)，半径为r2＝6，则两圆的圆心距d＝|C1C2|＝＝3，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，即两圆相交．
解法二：由得2x2＋x＋＝0，
Δ＝2－4×2×＝－＝＞0，
∴两圆相交．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( B )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25．
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( A )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
[解析] 解法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程为x＋y－1＝0．
解法二：直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A．
3．(2020·湖北省襄阳一中期中)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有( B )
A．2条 B．3条
C．4条 D．1条
[解析] ∵圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，
∴圆心距|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，故两圆外切，故公切线的条数为3．
4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( C )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，
∵两切线互相垂直，
∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16．
∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3．
5．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( A )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
[解析] 以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．
二、填空题
6．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__．
[解析] 圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O2(0，－3)，半径为r2＝6，∴|O1O2|＝＝3，
∴r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．
7．(2020·江苏省启东中学期中)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为__(x－3)2＋(y＋1)2＝16__．
[解析] 由解得故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点为A(－1，－1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由解得所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．
三、解答题
8．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
[解析] 解法一：联立两圆方程
，
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0．
再由，
联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，
∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径为
＝5．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25．
解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0．设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．
可求得圆心C．
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·＋3·－2＝0，
解得λ＝．
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0．
9．(2021·寿光现代中学高一检测)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] 设直线l的方程为y＝x＋b，
则
消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0．
设此方程两根为x1，x2，
则A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－(b＋1)，
x1x2＝．
以AB为直径的圆过原点O，
∴kOA·kOB＝＝－1．
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋3b－4＝0，
∴b＝－4或b＝1．
又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，
经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ＞0．
∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1．
B组·素养提升
一、选择题
1．(2021·辽宁省朝阳市检测)已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的垂直平分线的方程为( C )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[解析] 方法一 圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为C1(2，－3)，圆C2：x2＋y2－6x＝0的圆心为C2(3,0)，结合圆的几何性质可知公共弦AB的垂直平分线必过圆心C1和圆心C2，故所求直线的方程为3x－y－9＝0．
方法二 两圆方程相减得2x＋6y＝0，即直线AB的方程为x＋3y＝0，易得公共弦AB的垂直平分线的斜率为3，观察各选项易得C选项符合题意．
2．一圆过圆x2＋y2－2x＝0和直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( B )
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0 B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0 D．x2＋y2＋4x－6＝0
[解析] 设圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，圆心为且在y轴上，则＝0，λ＝2．故圆的方程为B．
3．(多选题)(2021·泰安一中高一检测)设r＞0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16可能( ABC )
A．内切 B．相交
C．内含 D．外切
E．外离
[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为＝＜4，半径分别为4，r，∴当|4－r|＜＜4＋r时，两圆相交，当4－r＝时，两圆相切，当4－r＜时，两圆内含，故选ABC．
4．(多选题)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值可能是( AD )
A．－16 B．－9
C．11 D．12
[解析] 化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，则k＞－25，圆心坐标为(3,4)，半径为；
圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1．
要使圆C1和圆C2没有公共点，则|C1C2|＞＋1或|C1C2|＜－1，
即5＞＋1或5＜－1，
解得－25＜k＜－9或k＞11．
∴实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．
满足这一范围的有A和D．
二、填空题
5．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1相外离，则a，b满足的条件是__a2＋b2＞3＋2__．
[解析] 两圆的连心线的长为d＝．
∵两圆相外离，∴d＞＋1，∴a2＋b2＞3＋2．
6．已知圆(x－1)2＋y2＝1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)无公切线，则r的取值范围为__(＋1，＋∞)__．
[解析] 由题意，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为C1(1,0)，半径为r1＝1，圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)的圆心坐标为C1(2,1)，半径为r，因为两圆无公切线，则两圆的位置关系为两个圆内含，则圆心距d＝＝，则d＜r－1，即r＞＋1，
所以r的取值范围是(＋1，＋∞)．
7．已知圆C：x2＋y2＝1，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点为A，B，若点P的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为__2x＋y－1＝0__；若P为直线x＋2y－4＝0上一动点，则直线AB经过定点____．
[解析] 圆C：x2＋y2＝1的圆心坐标为C(0,0)，
则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为，
半径为r＝＝．
可得以CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝，即x2＋y2－2x－y＝0，
两圆的方程相减可得直线AB的方程：2x＋y－1＝0．
因为点P为直线x＋2y－4＝0上一动点，
设P(4－2m，m)，因为PA，PB是圆C的切线，
所以CA⊥PA，CB⊥PB，所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦，以PC为直径的圆的方程为[x－(2－m)]2＋2＝(2－m)2＋，
又由圆C的方程为x2＋y2＝1，
两圆的方程相减，则AB的方程为2(2－m)x＋my＝1，
可得满足上式，即AB过定点．
三、解答题
8．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程．
[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB所在的直线方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0，由于A、B两点平分圆N的圆周，所以A、B为圆N直径的两个端点，即直线AB过圆N的圆心N，而N(－1，－1)，所以－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，即m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)，由于圆M的圆心M(m，n)，从而可知圆心M的轨迹方程为
(x＋1)2＝－2(y＋2)(y≤－2)．
9．已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为x2＋y2＋4－2x－4y＋λ(x2＋y2－4)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0．所以圆心为，
半径为，
即＝．
解得λ＝±1，舍去λ＝－1，圆x2＋y2＝4显然不符合题意，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0．
1．(2021·山东省济宁市段考)圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
3．两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为____．
4．判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
3．(2020·湖北省襄阳一中期中)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．1条
4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
5．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
二、填空题
6．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是____．
7．(2020·江苏省启东中学期中)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为____．
三、解答题
8．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
9．(2021·寿光现代中学高一检测)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
B组·素养提升
一、选择题
1．(2021·辽宁省朝阳市检测)已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
2．一圆过圆x2＋y2－2x＝0和直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0 B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0 D．x2＋y2＋4x－6＝0
3．(多选题)(2021·泰安一中高一检测)设r＞0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16可能( )
A．内切 B．相交
C．内含 D．外切
E．外离
4．(多选题)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值可能是( )
A．－16 B．－9
C．11 D．12
二、填空题
5．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1相外离，则a，b满足的条件是____．
6．已知圆(x－1)2＋y2＝1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)无公切线，则r的取值范围为____．
7．已知圆C：x2＋y2＝1，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点为A，B，若点P的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为____；若P为直线x＋2y－4＝0上一动点，则直线AB经过定点____．
三、解答题
8．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程．
9．已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
2.5.2圆与圆的位置关系
1．(2021·山东省济宁市段考)圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( B )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
[解析] 根据题意，可知圆A的半径r1＝2，圆B的半径r2＝2，圆A与圆B的圆心距d＝＝5＞4，即d＞r1＋r2，故两圆外离．
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( C )
A．21 B．19
C．9 D．－11
[解析] 圆C1：圆心(0,0)，r1＝1，圆C2：圆心(3,4)，r2＝＝，因为圆C1与圆C2外切，所以＝1＋，解得m＝9．故选C．
3．两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为____．
[解析] 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋3y＋1＝0，圆x2＋y2－1＝0的圆心为(0,0)，半径长为1，又(0,0)到直线x＋3y＋1＝0的距离为，所以公共弦长为2＝．
4．判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．
[解析] 解法一：圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为C1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为C2(0，－3)，半径为r2＝6，则两圆的圆心距d＝|C1C2|＝＝3，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，即两圆相交．
解法二：由得2x2＋x＋＝0，
Δ＝2－4×2×＝－＝＞0，
∴两圆相交．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( B )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25．
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( A )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
[解析] 解法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程为x＋y－1＝0．
解法二：直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A．
3．(2020·湖北省襄阳一中期中)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有( B )
A．2条 B．3条
C．4条 D．1条
[解析] ∵圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，
∴圆心距|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，故两圆外切，故公切线的条数为3．
4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( C )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，
∵两切线互相垂直，
∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16．
∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3．
5．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( A )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
[解析] 以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．
二、填空题
6．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__．
[解析] 圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O2(0，－3)，半径为r2＝6，∴|O1O2|＝＝3，
∴r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．
7．(2020·江苏省启东中学期中)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为__(x－3)2＋(y＋1)2＝16__．
[解析] 由解得故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点为A(－1，－1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由解得所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．
三、解答题
8．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
[解析] 解法一：联立两圆方程
，
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0．
再由，
联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，
∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径为
＝5．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25．
解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0．设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．
可求得圆心C．
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·＋3·－2＝0，
解得λ＝．
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0．
9．(2021·寿光现代中学高一检测)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] 设直线l的方程为y＝x＋b，
则
消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0．
设此方程两根为x1，x2，
则A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－(b＋1)，
x1x2＝．
以AB为直径的圆过原点O，
∴kOA·kOB＝＝－1．
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋3b－4＝0，
∴b＝－4或b＝1．
又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，
经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ＞0．
∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1．
B组·素养提升
一、选择题
1．(2021·辽宁省朝阳市检测)已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的垂直平分线的方程为( C )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[解析] 方法一 圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为C1(2，－3)，圆C2：x2＋y2－6x＝0的圆心为C2(3,0)，结合圆的几何性质可知公共弦AB的垂直平分线必过圆心C1和圆心C2，故所求直线的方程为3x－y－9＝0．
方法二 两圆方程相减得2x＋6y＝0，即直线AB的方程为x＋3y＝0，易得公共弦AB的垂直平分线的斜率为3，观察各选项易得C选项符合题意．
2．一圆过圆x2＋y2－2x＝0和直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( B )
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0 B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0 D．x2＋y2＋4x－6＝0
[解析] 设圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，圆心为且在y轴上，则＝0，λ＝2．故圆的方程为B．
3．(多选题)(2021·泰安一中高一检测)设r＞0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16可能( ABC )
A．内切 B．相交
C．内含 D．外切
E．外离
[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为＝＜4，半径分别为4，r，∴当|4－r|＜＜4＋r时，两圆相交，当4－r＝时，两圆相切，当4－r＜时，两圆内含，故选ABC．
4．(多选题)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值可能是( AD )
A．－16 B．－9
C．11 D．12
[解析] 化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，则k＞－25，圆心坐标为(3,4)，半径为；
圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1．
要使圆C1和圆C2没有公共点，则|C1C2|＞＋1或|C1C2|＜－1，
即5＞＋1或5＜－1，
解得－25＜k＜－9或k＞11．
∴实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．
满足这一范围的有A和D．
二、填空题
5．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1相外离，则a，b满足的条件是__a2＋b2＞3＋2__．
[解析] 两圆的连心线的长为d＝．
∵两圆相外离，∴d＞＋1，∴a2＋b2＞3＋2．
6．已知圆(x－1)2＋y2＝1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)无公切线，则r的取值范围为__(＋1，＋∞)__．
[解析] 由题意，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为C1(1,0)，半径为r1＝1，圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)的圆心坐标为C1(2,1)，半径为r，因为两圆无公切线，则两圆的位置关系为两个圆内含，则圆心距d＝＝，则d＜r－1，即r＞＋1，
所以r的取值范围是(＋1，＋∞)．
7．已知圆C：x2＋y2＝1，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点为A，B，若点P的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为__2x＋y－1＝0__；若P为直线x＋2y－4＝0上一动点，则直线AB经过定点____．
[解析] 圆C：x2＋y2＝1的圆心坐标为C(0,0)，
则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为，
半径为r＝＝．
可得以CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝，即x2＋y2－2x－y＝0，
两圆的方程相减可得直线AB的方程：2x＋y－1＝0．
因为点P为直线x＋2y－4＝0上一动点，
设P(4－2m，m)，因为PA，PB是圆C的切线，
所以CA⊥PA，CB⊥PB，所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦，以PC为直径的圆的方程为[x－(2－m)]2＋2＝(2－m)2＋，
又由圆C的方程为x2＋y2＝1，
两圆的方程相减，则AB的方程为2(2－m)x＋my＝1，
可得满足上式，即AB过定点．
三、解答题
8．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程．
[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB所在的直线方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0，由于A、B两点平分圆N的圆周，所以A、B为圆N直径的两个端点，即直线AB过圆N的圆心N，而N(－1，－1)，所以－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，即m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)，由于圆M的圆心M(m，n)，从而可知圆心M的轨迹方程为
(x＋1)2＝－2(y＋2)(y≤－2)．
9．已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为x2＋y2＋4－2x－4y＋λ(x2＋y2－4)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0．所以圆心为，
半径为，
即＝．
解得λ＝±1，舍去λ＝－1，圆x2＋y2＝4显然不符合题意，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0．