3.1.1椭圆及其标准方程(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析
文档属性
| 名称 | 3.1.1椭圆及其标准方程(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 262.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-01 10:36:58 | ||
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文档简介
3.1.1椭圆及其标准方程
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
2．(2020·辽宁葫芦岛协作校考试)若椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点的距离是6，则点M到其右焦点的距离是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
3．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( )
A．5 B．3或8
C．3或5 D．20
4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是____．
5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2020·山西太原市高二期末)椭圆＋＝1的焦距为( )
A．4 B．5
C．6 D．9
2．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是8，则第三边的长度为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是( )
A．2 B．4
C．8 D．
5．(2020·房山区期末检测)“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件是( )
A．m＞n＞0 B．n＞m＞0
C．mn＞0 D．mn＜0
二、填空题
6．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是___．
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____．
8．(2020·福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为___．
三、解答题
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)a?c＝13?5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程．
B组·素养提升
一、选择题
1．椭圆＋＝1(0＜m＜3)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为( )
A．6 B．4m
C．12 D．4
2．(多选题)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是( )
A．a＞3
B．a＜－2
C．－2＜a＜3 D．－6＜a＜－2
3．(多选题)直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以为( )
A．－1 B．1
C．－ D．
4．(2020·湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为( )
A．5 B．10
C．2 D． 4
二、填空题
5．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2__，∠F1PF2的大小为___．
6．下列命题是真命题的是____．
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为____．
三、解答题
8．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
9．
如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
3.1.1椭圆及其标准方程
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( A )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
[解析] ∵|MF1|＋|MF2|＝10＞|F1F2|＝6，
由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．
2．(2020·辽宁葫芦岛协作校考试)若椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点的距离是6，则点M到其右焦点的距离是( D )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] 由椭圆的方程可知a＝7，点M到两个焦点的距离之和为2a＝14．
因为点M到其左焦点的距离是6，所以点M到其右焦点的距离是14－6＝8．故选D．
3．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( C )
A．5 B．3或8
C．3或5 D．20
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故选C．
4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是__16__．
5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．
[解析] 设椭圆方程为＋＝1，(m≠n)，
则解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2020·山西太原市高二期末)椭圆＋＝1的焦距为( C )
A．4 B．5
C．6 D．9
[解析] 因为椭圆的方程为＋＝1，所以a2＝25，b2＝16，因此c2＝a2－b2＝9，所以c＝3，所以焦距为2c＝6．故选C．
2．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是8，则第三边的长度为( B )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 由椭圆的定义得两式相加得|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝12，
因为在△AF1B中，有两边之和是8，所以第三边的长度为12－8＝4．
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A、B、C，故选D．
解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，
∴，∴，
故选D．
4．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是( B )
A．2 B．4
C．8 D．
[解析] 设椭圆左焦点F，右焦点F1，∵2a＝10，|MF|＝2，∴|MF1|＝8，∵N为MF中点，O为FF1中点，∴|ON|＝|MF1|＝4．
5．(2020·房山区期末检测)“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件是( A )
A．m＞n＞0 B．n＞m＞0
C．mn＞0 D．mn＜0
[解析] 若方程表示椭圆，则m，n≠0，则方程等价为＋＝1，若方程表示焦点在y轴上椭圆，则等价为＞＞0，解得：m＞n＞0，故选A．
二、填空题
6．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是__4__．
[解析] 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－6＝4．
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__＋＝1__．
[解析] 由题意可得，∴．
故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．
8．(2020·福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为__2__．
[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc＝1，因为a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，所以a≥，故长轴长的最小值为2，答案为2．
三、解答题
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)ac＝13?5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．
[解析] (1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程．
[解析] 设圆P的半径为r，
又圆P过点B，∴|PB|＝r，
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，
∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
即点P的轨迹方程为＋＝1．
B组·素养提升
一、选择题
1．椭圆＋＝1(0＜m＜3)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为( C )
A．6 B．4m
C．12 D．4
[解析] ∵过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，
∴四边形AF1CF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|CF1|＋|CF2|＝4a．
∵椭圆＋＝1(0＜m＜3)，∴a＝3，
∴四边形AF1CF2的周长为12．故选C．
2．(多选题)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是( AD )
A．a＞3
B．a＜－2
C．－2＜a＜3 D．－6＜a＜－2
[解析] 由题意得a2＞a＋6＞0，
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选AD．
3．(多选题)直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以为( AB )
A．－1 B．1
C．－ D．
[解析] 椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b＝1．故选AB．
4．(2020·湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为( D )
A．5 B．10
C．2 D． 4
[解析] 设M(m，n)，m，n＞0，则m∈(0,6)，n∈(0，2)，
椭圆C：＋＝1的a＝6，b＝2，c＝4．
设F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，|F1F2|＝2c＝8，
因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|＞6，|MF2|＜6，
△MF1F2为等腰三角形，只能|MF1|＝2c＝8，则|MF2|＝4，
由勾股定理得|MF2|2＝(4－m)2＋n2＝16，
又＋＝1，联立并消去n得
m2－18m＋45＝0，且m∈(0,6)，解得m＝3，则n＝．
则△MF1F2的面积为×8×＝4．故选D．
二、填空题
5．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2__，∠F1PF2的大小为__120°__．
[解析] 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2．
在△PF1F2中，
cos∠F1PF2＝＝－．
故∠F1PF2＝120°．
6．下列命题是真命题的是__③__．
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
[解析] ①＜2，故点P的轨迹不存在；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；③点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4＞8，故点P的轨迹为椭圆．故填③．
7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为__15__．
[解析] 由椭圆的方程可得a＝5，b＝4，c＝3．
∴F1(－3,0)，F2(3,0)，如图所示，
由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋＝15，
∴|PM|＋|PF1|的最大值为15．
三、解答题
8．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1．
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1．
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1．
9．
如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
[解析] 如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．
又点M在AQ的垂直平分线上，
所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．
又A(1,0)，C(－1,0)，
故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，
且2a＝5，c＝1，故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝．
故点M的轨迹方程为＋＝1．
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
2．(2020·辽宁葫芦岛协作校考试)若椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点的距离是6，则点M到其右焦点的距离是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
3．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( )
A．5 B．3或8
C．3或5 D．20
4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是____．
5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2020·山西太原市高二期末)椭圆＋＝1的焦距为( )
A．4 B．5
C．6 D．9
2．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是8，则第三边的长度为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是( )
A．2 B．4
C．8 D．
5．(2020·房山区期末检测)“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件是( )
A．m＞n＞0 B．n＞m＞0
C．mn＞0 D．mn＜0
二、填空题
6．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是___．
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____．
8．(2020·福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为___．
三、解答题
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)a?c＝13?5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程．
B组·素养提升
一、选择题
1．椭圆＋＝1(0＜m＜3)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为( )
A．6 B．4m
C．12 D．4
2．(多选题)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是( )
A．a＞3
B．a＜－2
C．－2＜a＜3 D．－6＜a＜－2
3．(多选题)直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以为( )
A．－1 B．1
C．－ D．
4．(2020·湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为( )
A．5 B．10
C．2 D． 4
二、填空题
5．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2__，∠F1PF2的大小为___．
6．下列命题是真命题的是____．
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为____．
三、解答题
8．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
9．
如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
3.1.1椭圆及其标准方程
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( A )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
[解析] ∵|MF1|＋|MF2|＝10＞|F1F2|＝6，
由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．
2．(2020·辽宁葫芦岛协作校考试)若椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点的距离是6，则点M到其右焦点的距离是( D )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] 由椭圆的方程可知a＝7，点M到两个焦点的距离之和为2a＝14．
因为点M到其左焦点的距离是6，所以点M到其右焦点的距离是14－6＝8．故选D．
3．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( C )
A．5 B．3或8
C．3或5 D．20
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故选C．
4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是__16__．
5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．
[解析] 设椭圆方程为＋＝1，(m≠n)，
则解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2020·山西太原市高二期末)椭圆＋＝1的焦距为( C )
A．4 B．5
C．6 D．9
[解析] 因为椭圆的方程为＋＝1，所以a2＝25，b2＝16，因此c2＝a2－b2＝9，所以c＝3，所以焦距为2c＝6．故选C．
2．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是8，则第三边的长度为( B )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 由椭圆的定义得两式相加得|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝12，
因为在△AF1B中，有两边之和是8，所以第三边的长度为12－8＝4．
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A、B、C，故选D．
解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，
∴，∴，
故选D．
4．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是( B )
A．2 B．4
C．8 D．
[解析] 设椭圆左焦点F，右焦点F1，∵2a＝10，|MF|＝2，∴|MF1|＝8，∵N为MF中点，O为FF1中点，∴|ON|＝|MF1|＝4．
5．(2020·房山区期末检测)“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件是( A )
A．m＞n＞0 B．n＞m＞0
C．mn＞0 D．mn＜0
[解析] 若方程表示椭圆，则m，n≠0，则方程等价为＋＝1，若方程表示焦点在y轴上椭圆，则等价为＞＞0，解得：m＞n＞0，故选A．
二、填空题
6．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是__4__．
[解析] 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－6＝4．
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__＋＝1__．
[解析] 由题意可得，∴．
故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．
8．(2020·福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为__2__．
[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc＝1，因为a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，所以a≥，故长轴长的最小值为2，答案为2．
三、解答题
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)ac＝13?5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．
[解析] (1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程．
[解析] 设圆P的半径为r，
又圆P过点B，∴|PB|＝r，
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，
∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
即点P的轨迹方程为＋＝1．
B组·素养提升
一、选择题
1．椭圆＋＝1(0＜m＜3)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为( C )
A．6 B．4m
C．12 D．4
[解析] ∵过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，
∴四边形AF1CF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|CF1|＋|CF2|＝4a．
∵椭圆＋＝1(0＜m＜3)，∴a＝3，
∴四边形AF1CF2的周长为12．故选C．
2．(多选题)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是( AD )
A．a＞3
B．a＜－2
C．－2＜a＜3 D．－6＜a＜－2
[解析] 由题意得a2＞a＋6＞0，
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选AD．
3．(多选题)直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以为( AB )
A．－1 B．1
C．－ D．
[解析] 椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b＝1．故选AB．
4．(2020·湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为( D )
A．5 B．10
C．2 D． 4
[解析] 设M(m，n)，m，n＞0，则m∈(0,6)，n∈(0，2)，
椭圆C：＋＝1的a＝6，b＝2，c＝4．
设F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，|F1F2|＝2c＝8，
因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|＞6，|MF2|＜6，
△MF1F2为等腰三角形，只能|MF1|＝2c＝8，则|MF2|＝4，
由勾股定理得|MF2|2＝(4－m)2＋n2＝16，
又＋＝1，联立并消去n得
m2－18m＋45＝0，且m∈(0,6)，解得m＝3，则n＝．
则△MF1F2的面积为×8×＝4．故选D．
二、填空题
5．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2__，∠F1PF2的大小为__120°__．
[解析] 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2．
在△PF1F2中，
cos∠F1PF2＝＝－．
故∠F1PF2＝120°．
6．下列命题是真命题的是__③__．
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
[解析] ①＜2，故点P的轨迹不存在；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；③点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4＞8，故点P的轨迹为椭圆．故填③．
7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为__15__．
[解析] 由椭圆的方程可得a＝5，b＝4，c＝3．
∴F1(－3,0)，F2(3,0)，如图所示，
由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋＝15，
∴|PM|＋|PF1|的最大值为15．
三、解答题
8．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1．
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1．
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1．
9．
如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
[解析] 如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．
又点M在AQ的垂直平分线上，
所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．
又A(1,0)，C(－1,0)，
故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，
且2a＝5，c＝1，故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝．
故点M的轨迹方程为＋＝1．