3.1.2椭圆的简单几何性质(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析
文档属性
| 名称 | 3.1.2椭圆的简单几何性质(课堂检测+素养作业） 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 237.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-01 10:37:37 | ||
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文档简介
第三章 3.1 3.1.2 第1课时
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
2．(2020·房山区期末检测)椭圆＋＝1的离心率是( )
A． B．
C． D．
3．椭圆＋＝1的焦距为( )
A．2 B．2
C． D．2
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为____．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2019·北京理，4)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( )
A． B．
C． D．
3．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0＜k＜9)有( )
A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
4．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( )
A．24 B．12
C．6 D．3
5．设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C．(0,1) D．
二、填空题
6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为____．
7．已知A(2，)是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝____，＝____．
8．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为___．
三、解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
B组·素养提升
一、选择题
1．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|?|PF2|＝2?1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
2．(2020·内蒙古赤峰市宁城县期末测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上不存在点P使∠F1PF2≥120°，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．(多选题)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围可以是( )
A．m＜－1 B．m＜2
C．1＜m＜2 D．1＜m＜
4．(多选题)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( )
A．(4,0) B．(0,5)
C．(－4,0) D．(0，－5)
二、填空题
5．(2020·安徽屯溪一中高二期中)如图，点F，B分别为椭圆C：＋＝1(a＞)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3＋，则实数a的值为____．
6．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为___．
7．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的最大值为____，此时a的值为____．
三、解答题
8．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程．
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．
第三章 3.1 3.1.2 第1课时
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( B )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
[解析] 原椭圆方程变形＋＝1，∵焦点在y轴上，
∴a＝5，b＝3，∴长轴长10，短轴长6，e＝．
2．(2020·房山区期末检测)椭圆＋＝1的离心率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由椭圆＋＝1可知，a＝2，b＝，c＝1，∴离心率e＝＝，故选D．
3．椭圆＋＝1的焦距为( A )
A．2 B．2
C． D．2
[解析] 结合椭圆的性质可知， a2＝11，b2＝6，故c2＝a2－b2＝11－6＝5，故焦距为2，故选A．
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( A )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 设椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)，
?∴椭圆方程＋＝1．
5．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为____．
[解析] ∵焦点在y轴上，∴0＜m＜2，
e＝＝，∴m＝．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2019·北京理，4)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则( B )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
[解析] 因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2．
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．故选B．
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a＝2c，∴e＝＝．
3．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0＜k＜9)有( B )
A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
[解析] 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故选B．
4．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( C )
A．24 B．12
C．6 D．3
[解析] 由题意b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，从而得a＝，4a＝6，故选C．
5．设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( B )
A． B．
C．(0,1) D．
[解析] 由题可知，当点P位于(0，b)或(0，－b)处时，∠F1PF2最大，
此时cos∠F1PF2＝＝＞0，∴a＞c．
∴e＝＜．
又∵0＜e＜1，∴0＜e＜．
故选B．
二、填空题
6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为__＋x2＝1__．
[解析] 由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1．
7．已知A(2，)是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝__8__，＝____．
[解析] A(2，)是椭圆＋＝1上一点，代入可得：＋＝1，解得m＝8．
∴c＝＝2．∴F(2,0)．
∴|AF|＝＝．
点F到直线x＝4的距离为d＝2，＝．
故答案为8，．
8．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为__＋＝1或＋＝1__．
[解析] 椭圆＋＝1的离心率为e＝，椭圆＋＝1的长轴长为4．
所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6．
又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＋＝1或＋＝1．
三、解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解析] 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝＞0，∴m＞．
即a2＝m，b2＝，c＝＝．
由e＝得，＝，∴m＝1．
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝．
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1、F2；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1、B2．
10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
[解析] 解法一：设焦点坐标为F1(－c，0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为．
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理，得3c2＝3a2－2ab．
又c2＝a2－b2,3b＝2a．∴＝．
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝．
解法二：设M，代入椭圆方程，得＋＝1，
∴＝，∴＝，即e＝．
B组·素养提升
一、选择题
1．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|?|PF2|＝2?1，则△F1PF2的面积等于( B )
A．5 B．4
C．3 D．1
[解析] 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|?|PF2|＝2?1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．
2．(2020·内蒙古赤峰市宁城县期末测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上不存在点P使∠F1PF2≥120°，则椭圆C的离心率的取值范围是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，椭圆C上不存在点P使∠F1PF2≥120°，即在椭圆C上任意点P使∠F1PF2＜120°．根据焦点三角形的性质，当P(0，±b)时，∠F1PF2最大，取P(0，b)，又F1(－c，0)，F2(c,0)，PF1＝a，所以sin∠F1PO＝＜sin 60°＝，即椭圆的离心率为：0＜e＜．故选C．
3．(多选题)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围可以是( AD )
A．m＜－1 B．m＜2
C．1＜m＜2 D．1＜m＜
[解析] 由题意得即
∴1＜m＜或m＜－1，故选AD．
4．(多选题)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( BD )
A．(4,0) B．(0,5)
C．(－4,0) D．(0，－5)
[解析] 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
则知m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，
∴点P的坐标为(－4,0)或(4,0)，
故选BD．
二、填空题
5．(2020·安徽屯溪一中高二期中)如图，点F，B分别为椭圆C：＋＝1(a＞)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3＋，则实数a的值为__2__．
[解析] 根据题意可知△OFB的周长为a＋b＋c＝3＋，又b＝，可知a＋c＝3，结合a2－c2＝b2＝3，可以解得，故实数a的值为2．
6．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为__＋＝1__．
[解析] ∵椭圆的焦点在x轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)，两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)、P(0，b)．
不妨设x轴与椭圆的一个交点为A(a,0)，
由△PF1F2为正三角形可知：|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，
∴a＝2c①
又焦点到椭圆上的点的最短距离为a－c，
于是a－c＝②
由①②可得：a＝2，c＝，从而b2＝a2－c2＝9．
∴所求椭圆方程为＋＝1．
7．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的最大值为____，此时a的值为____．
[解析] 由题意知5a＞4a2＋1，∴＜a＜1，
∴e＝＝
≤＝．
三、解答题
8．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程．
[解析] 依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则e2＝＝＝1－＝，
所以＝，即a＝2b．
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋2＝a2＋y2－3y＋＝－32＋4b2＋3．
若b＜，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，
于是()2＝2，因为b＞0，
从而解得b＝－＞，与b＜矛盾．
所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，
从而d有最大值，所以4b2＋3＝()2，
解得b2＝1，a2＝4．
于是所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．
[解析] (1)由题意得：，
解得：．
所以椭圆的标准方程为：＋＝1．
(2)由(1)知，F1、F2的坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)，设直线l：x＝2上的不同两点A、B的坐标分别为A(2，y1)、B(2，y2)，则＝(－3，－y1)、＝(－，－y2)，由·＝0得y1y2＋6＝0，
即y2＝－，不妨设y1＞0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2，当y1＝、y2＝－时取等号，所以|AB|的最小值是2．
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
2．(2020·房山区期末检测)椭圆＋＝1的离心率是( )
A． B．
C． D．
3．椭圆＋＝1的焦距为( )
A．2 B．2
C． D．2
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为____．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2019·北京理，4)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( )
A． B．
C． D．
3．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0＜k＜9)有( )
A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
4．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( )
A．24 B．12
C．6 D．3
5．设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C．(0,1) D．
二、填空题
6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为____．
7．已知A(2，)是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝____，＝____．
8．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为___．
三、解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
B组·素养提升
一、选择题
1．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|?|PF2|＝2?1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
2．(2020·内蒙古赤峰市宁城县期末测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上不存在点P使∠F1PF2≥120°，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．(多选题)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围可以是( )
A．m＜－1 B．m＜2
C．1＜m＜2 D．1＜m＜
4．(多选题)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( )
A．(4,0) B．(0,5)
C．(－4,0) D．(0，－5)
二、填空题
5．(2020·安徽屯溪一中高二期中)如图，点F，B分别为椭圆C：＋＝1(a＞)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3＋，则实数a的值为____．
6．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为___．
7．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的最大值为____，此时a的值为____．
三、解答题
8．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程．
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．
第三章 3.1 3.1.2 第1课时
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( B )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
[解析] 原椭圆方程变形＋＝1，∵焦点在y轴上，
∴a＝5，b＝3，∴长轴长10，短轴长6，e＝．
2．(2020·房山区期末检测)椭圆＋＝1的离心率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由椭圆＋＝1可知，a＝2，b＝，c＝1，∴离心率e＝＝，故选D．
3．椭圆＋＝1的焦距为( A )
A．2 B．2
C． D．2
[解析] 结合椭圆的性质可知， a2＝11，b2＝6，故c2＝a2－b2＝11－6＝5，故焦距为2，故选A．
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( A )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 设椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)，
?∴椭圆方程＋＝1．
5．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为____．
[解析] ∵焦点在y轴上，∴0＜m＜2，
e＝＝，∴m＝．
A组·素养自测
一、选择题
1．(2019·北京理，4)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则( B )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
[解析] 因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2．
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．故选B．
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a＝2c，∴e＝＝．
3．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0＜k＜9)有( B )
A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
[解析] 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故选B．
4．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( C )
A．24 B．12
C．6 D．3
[解析] 由题意b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，从而得a＝，4a＝6，故选C．
5．设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( B )
A． B．
C．(0,1) D．
[解析] 由题可知，当点P位于(0，b)或(0，－b)处时，∠F1PF2最大，
此时cos∠F1PF2＝＝＞0，∴a＞c．
∴e＝＜．
又∵0＜e＜1，∴0＜e＜．
故选B．
二、填空题
6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为__＋x2＝1__．
[解析] 由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1．
7．已知A(2，)是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝__8__，＝____．
[解析] A(2，)是椭圆＋＝1上一点，代入可得：＋＝1，解得m＝8．
∴c＝＝2．∴F(2,0)．
∴|AF|＝＝．
点F到直线x＝4的距离为d＝2，＝．
故答案为8，．
8．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为__＋＝1或＋＝1__．
[解析] 椭圆＋＝1的离心率为e＝，椭圆＋＝1的长轴长为4．
所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6．
又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＋＝1或＋＝1．
三、解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解析] 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝＞0，∴m＞．
即a2＝m，b2＝，c＝＝．
由e＝得，＝，∴m＝1．
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝．
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1、F2；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1、B2．
10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
[解析] 解法一：设焦点坐标为F1(－c，0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为．
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理，得3c2＝3a2－2ab．
又c2＝a2－b2,3b＝2a．∴＝．
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝．
解法二：设M，代入椭圆方程，得＋＝1，
∴＝，∴＝，即e＝．
B组·素养提升
一、选择题
1．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|?|PF2|＝2?1，则△F1PF2的面积等于( B )
A．5 B．4
C．3 D．1
[解析] 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|?|PF2|＝2?1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．
2．(2020·内蒙古赤峰市宁城县期末测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上不存在点P使∠F1PF2≥120°，则椭圆C的离心率的取值范围是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，椭圆C上不存在点P使∠F1PF2≥120°，即在椭圆C上任意点P使∠F1PF2＜120°．根据焦点三角形的性质，当P(0，±b)时，∠F1PF2最大，取P(0，b)，又F1(－c，0)，F2(c,0)，PF1＝a，所以sin∠F1PO＝＜sin 60°＝，即椭圆的离心率为：0＜e＜．故选C．
3．(多选题)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围可以是( AD )
A．m＜－1 B．m＜2
C．1＜m＜2 D．1＜m＜
[解析] 由题意得即
∴1＜m＜或m＜－1，故选AD．
4．(多选题)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( BD )
A．(4,0) B．(0,5)
C．(－4,0) D．(0，－5)
[解析] 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
则知m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，
∴点P的坐标为(－4,0)或(4,0)，
故选BD．
二、填空题
5．(2020·安徽屯溪一中高二期中)如图，点F，B分别为椭圆C：＋＝1(a＞)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3＋，则实数a的值为__2__．
[解析] 根据题意可知△OFB的周长为a＋b＋c＝3＋，又b＝，可知a＋c＝3，结合a2－c2＝b2＝3，可以解得，故实数a的值为2．
6．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为__＋＝1__．
[解析] ∵椭圆的焦点在x轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)，两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)、P(0，b)．
不妨设x轴与椭圆的一个交点为A(a,0)，
由△PF1F2为正三角形可知：|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，
∴a＝2c①
又焦点到椭圆上的点的最短距离为a－c，
于是a－c＝②
由①②可得：a＝2，c＝，从而b2＝a2－c2＝9．
∴所求椭圆方程为＋＝1．
7．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的最大值为____，此时a的值为____．
[解析] 由题意知5a＞4a2＋1，∴＜a＜1，
∴e＝＝
≤＝．
三、解答题
8．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程．
[解析] 依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则e2＝＝＝1－＝，
所以＝，即a＝2b．
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋2＝a2＋y2－3y＋＝－32＋4b2＋3．
若b＜，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，
于是()2＝2，因为b＞0，
从而解得b＝－＞，与b＜矛盾．
所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，
从而d有最大值，所以4b2＋3＝()2，
解得b2＝1，a2＝4．
于是所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．
[解析] (1)由题意得：，
解得：．
所以椭圆的标准方程为：＋＝1．
(2)由(1)知，F1、F2的坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)，设直线l：x＝2上的不同两点A、B的坐标分别为A(2，y1)、B(2，y2)，则＝(－3，－y1)、＝(－，－y2)，由·＝0得y1y2＋6＝0，
即y2＝－，不妨设y1＞0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2，当y1＝、y2＝－时取等号，所以|AB|的最小值是2．