浙江省台州市11-12学年高二上学期期末试题数学理

台州市高二期末质量评估试题
数 学（理科） 2012.01
参考公式：
球的表面积公式 柱体的体积公式
S=4πR2 V=Sh
球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
V=πR3 台体的体积公式
其中R表示球的半径 V=h(S1+ +S2)
锥体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积，
V=Sh h表示台体的高
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.直线的倾斜角是
A． B． C． D．
2.一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为
A． B． C． D．
3.抛物线的焦点坐标为，则的值为
A． B． C． D．
4.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和
侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯
形，则该几何体的体积的大小为
A． B. C. D.
5.“”是“直线和直线互相垂直”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为
A． B． C． D．
7. 在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面,点是侧面 的中心，若,则直线与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
8. 已知点的坐标分别是，直线相交于点，且直线与直线的斜率之差是，则点的轨迹方程是
A. B. C. D.
9. 下列关于互不相同的直线和平面的命题，其中为真命题的是
A．若，则 B．若与所成的角相等，则
C．若，则 D．若，则
10. 已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
11. 在平行六面体中，，，，，，则对角线的长度为
A． B． C． D．
12．若是双曲线与椭圆的共同焦点，点是两曲线的一个交点，且△为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
13. 已知二面角的大小为，点棱上，,,，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
14．已知抛物线的焦点为,过的直线交轴正半轴于点,交抛物线于两点，其中点在第一象限，若, ,,则的取值 范围是
A. 　　 B． C． D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
15.直线与之间的距离是 ▲ ．
16.已知，若向量共面，则 ▲ ．
17.已知点点在圆上运动，则
的最大值与最小值之和为 ▲ ．
18.直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的中点到轴的距离是，则__ ▲ __.
19.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面(点法式)方程为
▲ (请写出化简后的结果).
20.如图，正方体的棱长为，分别为棱上的点，给出下列命题：
①在平面内总存在与直线平行的直线；
②若平面，则与的长度之和为；
③存在点使二面角的大小为；
④记与平面所成的角为，与平面所成的角为，则的大小与点的位置无关.
其中真命题的序号是 ▲ ． （写出所有真命题的序号）
三、解答题(本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21.(本题满分6分)
已知：方程表示双曲线，：过点的直线与椭圆恒有公共点，若为真命题，求的取值范围．
22．(本题满分7分)
已知直线：与轴和轴分别交于两点，直线经过点且与直线垂直，垂足为．
（Ⅰ）求直线的方程与点的坐标；
（Ⅱ）若将四边形（为坐标原点）绕轴旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．
23．(本题满分8分)
已知经过点的圆与圆相交，它们的公共弦平行于直线．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若动圆经过一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程．
24. (本题满分9分)
如图所示的多面体中，已知直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，,,,.
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)设二面角的平面角为，求的值；
(Ⅲ)为的中点，在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
25. (本题满分10分)
已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“伴随圆”，椭圆的短轴长为2，离心率为．
(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，与其“伴随圆”交于两点，当 时，求△面积的最大值．
台州市高二期末质量评估试题（数学理科）
答案及评分标准
一、选择题（本大题共有14小题，每小题3分，共42分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 C B A D B A A B D C D D A B
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
15. ； 16. ； 17．； 18．； 19.； 20．②④．
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
21．解：由得：， ……………………………2分
由得：． ………………………………4分
又为真命题，则，所以的取值范围是． ………………6分
22．解：（Ⅰ）设的方程为，∵点在直线上，∴．
∴直线的方程为.………………………………………………2分
由得
∴点的坐标为．　……………………………………………………4分
（Ⅱ）
．……………………………………………7分
23．解：（Ⅰ）设圆的方程为，
则两圆的公共弦方程为，
由题意得
∴圆的方程为,即 ．………………4分
（Ⅱ）圆的圆心为，半径．
∵动圆经过一定点，且与圆外切．
∴．
∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支．………7分
设双曲线的方程为，
，
故动圆圆心的轨迹方程是．………………8分
24．(Ⅰ)证明：以分别为轴建立空间直角坐标系, 则，
∵，
，
∴，且与相交于,
∴平面．……………………………3分
(Ⅱ)∵平面, 是平面的一个法向量,
设平面的一个法向量,
则HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 　取=(1,1,2),
则cosθ=HYPERLINK " http://www./"==HYPERLINK " http://www./"． …………………………………6分
(Ⅲ)∵，设，为上一点,则，
∵∥平面,
∴⊥HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 .
∴当时，∥平面. …………………………………………9分
25．解：(Ⅰ)由题意得，，
又，椭圆的方程为，…………………………3分
“伴随圆”的方程为．…………………………………………………4分
（Ⅱ）①当轴时，由，得 ．
②当与轴不垂直时，由，得圆心到的距离为．
设直线的方程为则由，得，
设，由得．
∴，．……………………………………6分
当时，
==
=．
当且仅当，即时等号成立，此时.
当时，，综上所述：，
此时△的面积取最大值．………………10分
侧视图
俯视图
正视图
1
4
4
4
（第4题）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
F
（第20题）
M
B
E
F
C
D
A
（第24题）
B
E
F
C
D
A
M