2020-2021学年山东省东营市河口区胜利三十九中九年级（下）（3月）月考数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年山东省东营市河口区胜利三十九中九年级（下）月考数学试卷
2021.03
一．选择题（每小题3分）
1．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（　　）
A．25° B．20° C．30° D．35°
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
4．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
6．系统找不到该试题
7．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（　　）
A． B． C．2 D．
8．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（　　）
A．π B．2π C．2 D．1
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜﹣．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共8小题，共28分）
11．二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是　 　．
12．用计算器进行模拟实验，估计6人中有两人同一个月过生日的概率，在选定随机数范围后，每次实验要产生　 　个随机数．
13．如图，圆锥的底面直径AB＝20cm，母线PB＝30cm，PB的中点D处有一食物，一只小蚂蚁从点A出发沿圆锥表面到D处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为　 　cm．
14．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i＝1：2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为　 　m．
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分（△ABC以外的部分）的面积为　 　．
16．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为　 　．
17．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝　 　mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　 　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．
18．如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标为6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标为6，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．点P（2017，m）与Q（2020，n）均在该波浪线上，分别过P、Q两点向x轴作垂线段，垂足为点D和E，则四边形PDEQ的面积是　 　．
三．解答题（共7小题，共62分）
19．计算：
（1）计算：2cos45°﹣tan30°cos30°+sin260°；
（2）计算：3tan30°﹣+cos45°+．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，?OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求?OABC的周长．
21．甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　 　．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
23．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
24．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）.
1．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形．
故选：D．
2．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（　　）
A．25° B．20° C．30° D．35°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，
∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
4．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：根据题意画图如下：
共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝；
故选：C．
5．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
6．系统找不到该试题
7．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（　　）
A． B． C．2 D．
解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB＝＝，
AD＝＝2，
cosA＝＝＝，
故选：D．
8．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
解：图1中，阴影面积为4；
图2中，阴影面积为×4＝2；
图3中，阴影面积为2××4＝4；
图4中，阴影面积为4××4＝8；
则阴影面积为4的有2个．
故选：B．
9．用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（　　）
A．π B．2π C．2 D．1
【分析】根据扇形的面积公式：S＝πrl（r为圆锥的底面半径，l为扇形半径）即可求出圆锥的底面半径．
解：根据圆锥侧面展开图是扇形，
扇形面积公式：S＝πrl（r为圆锥的底面半径，l为扇形半径），得
3πr＝3π，
∴r＝1．
所以圆锥的底面半径为1．
故选：D．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜﹣．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴﹣＝，判断a，b与0的关系，得到abc＜0，即可判断①；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；
根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴点（2，0）关于直线x＝的对称点的坐标为（﹣1，0），
∵c＞1，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝，
∴ab＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴的上方，
∵a＜0，
∴抛物线与直线y＝a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∵b＝﹣a，
∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，
∴﹣2a＝c，
∵c＞1，
∴﹣2a＞1，
∴a＜﹣，故③正确，
故选：C．
二．填空题（共8小题，前4题每题3分，后4题每题4分，共28分）
11．二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是　x＝　．
【分析】首先求得方程与x轴的两个交点坐标，然后根据交点坐标求得对称轴方程即可．
解：令y＝a（x+1）（x﹣4）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝4，
∴y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴交与点（﹣1，0），（4，0）
∴对称轴为：x＝＝．
故答案为：x＝．
12．用计算器进行模拟实验，估计6人中有两人同一个月过生日的概率，在选定随机数范围后，每次实验要产生　6　个随机数．
【分析】要根据样本总数得到随机数的范围．
解：∵估计6人中有两人同一个月过生日的概率，样本总数为6，
∴每次实验要产生 6个随机数．
故答案为6．
13．如图，圆锥的底面直径AB＝20cm，母线PB＝30cm，PB的中点D处有一食物，一只小蚂蚁从点A出发沿圆锥表面到D处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为　15　cm．
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，B点的对应点为B′，D点的对应点为D′，扇形的圆心角为n度，利用弧长公式得到20π＝，解得n＝120°，所以∠APB′＝60°，则△PAB′为等边三角形，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AD′即可．
解：圆锥的侧面展开图为扇形，B点的对应点为B′，D点的对应点为D′，扇形的圆心角为n度，
根据题意得20π＝，解得n＝120°，
则∠APB′＝×120°＝60°，
而PA＝PB′，
∴△PAB′为等边三角形，
∵D′为PB′的中点，
∴PD′＝PB′＝15，
∴AD′＝PD′＝15，
∴蚂蚁走过的最短路线长为15cm．
故答案为15．
14．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i＝1：2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为　75　m．
【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．
解：∵斜坡的坡度i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.5，
∴AC＝75（m），
故答案为：75．
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分（△ABC以外的部分）的面积为　　．
【分析】由旋转的性质可得△ACB≌△AED，∠DAB＝40°，可得AD＝AB＝5，S△ACB＝S△AED，根据图形可得S阴影＝S△AED+S扇形ADB﹣S△ACB＝S扇形ADB，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．
解：∵将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE
∴△ACB≌△AED，∠DAB＝40°
∴AD＝AB＝5，S△ACB＝S△AED
∵S阴影＝S△AED+S扇形ADB﹣S△ACB＝S扇形ADB
∴S阴影＝＝
故答案为
16．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为　5或7　．
【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的意义，求出BD的长，再分类进行解答．
解：∵AD为BC边上的高，
∴△ABD为Rt△ABD，
在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，
∴BD＝＝＝6，
如图1所示，当点D在BC上时，
BC＝BD+CD＝6+1＝7，
如图2所示，当点D在BC的延长线上时，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
故答案为：7或5．
17．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝　10.0　mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．
【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，
∵a＝3＞0，
∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，
设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），
∵n＞0，
∴当x＝﹣＝时，w有最小值．
故答案为10.0，．
18．如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标为6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标为6，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．点P（2017，m）与Q（2020，n）均在该波浪线上，分别过P、Q两点向x轴作垂线段，垂足为点D和E，则四边形PDEQ的面积是　　．
【分析】根据一次函数可求出点A、B的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点P，点Q的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案．
解：当x＝0时，y＝5x+1＝0，
∴A（0，1），
当y＝6时，即6＝5x+1，
∴x＝1，
∴B（1，6），
又∵点B（1，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×6＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
当x＝6时，y＝＝1，
∴点C（6，1），
当x＝4时，y＝＝，
∴点D（4，），
又图象的平移可得，
B（1，6），B1（1+6×1，6），B2（1+6×2，6），B3（1+6×3，6），B4（1+6×4，6），…B336（1+6×336，6），
C（6，1），C1（6+6×1，1），C2（6+6×2，1），C3（6+6×3，1），C4（6+6×4，1），…C336（6+6×336，1），
D（4，），D1（4+6×1，），D2（4+6×2，），D3（4+6×3，），D4（4+6×4，），…D336（4+6×336，），
又∵2017＝1+6×336，P（2017，m），
∴P（2017，6），
∵2020＝4+6×336，Q（2020，n），
∴Q（2020，），
S四边形PDEQ＝（6+）（2020﹣2017）＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，共62分）
19．计算：
（1）计算：2cos45°﹣tan30°cos30°+sin260°；
（2）计算：3tan30°﹣+cos45°+．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
解：（1）原式＝2×﹣××+（）2
＝﹣+
＝；
（2）原式＝3×﹣2+2×+﹣1
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，?OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求?OABC的周长．
【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2．
（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．
解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2）．
（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）
∴C（9，0），
∴OC＝9，OA＝＝5，
∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．
21．甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　　．
【分析】（1）列举出甲选择的2个景点所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果，再求出两个景点相同的概率．
解：甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：
（1）共有6种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，
∴P（A、B）＝＝；
（2）用树状图表示如下：
共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，
∴P（景点相同）＝＝．
故答案为：．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，可得∠DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．
解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，
∴tan∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝2，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC＝AC＝，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA＝＝2，
∴⊙O的半径为2．
23．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
24．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；
（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．
解：（1）由题意得：，
解得：．
∴a＝1，b＝30；
（2）由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70（100﹣x）
＝x2﹣40x+7000，
＝（x﹣20）2+6600，
∵a＝1＞0，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，
由题意得：，
解得10≤n≤20，
∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），
整理得：P＝（m﹣2）n+130，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，
则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；
②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，
则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．
答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax2+bx+2＝a（x+）（x﹣3）＝ax2﹣2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a＝﹣，即可求解；
（2）四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD＝×EF×OB+×（xD﹣xC）×BH，即可求解；
（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
解：（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+2，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝2，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，2）；
则y＝ax2+bx+2＝a（x+）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣6）＝ax2﹣2ax﹣6a，
即﹣6a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；
（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，
∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y＝﹣（x+）②，
联立①②并解得：x＝4，故点D（4，﹣），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣x+2，
当x＝3时，yCD＝﹣x+2＝﹣2，即点H（3，﹣2），
设点E（x，﹣x2+x+2），则点F（x，﹣x+2），
则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD＝×EF×OB+×（xD﹣xC）×BH＝×（﹣x2+x+2+x﹣2）×3+×4×2＝﹣x2+3x+4，
∵＜0，故S有最大值，当x＝时，S的最大值为，此时点E（，）；
（3）存在，理由：
y＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2+，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣x2+，
点A、E的坐标分别为（﹣，0）、（，）；设点M（，m），点N（n，s），s＝﹣n2+；
①当AE是平行四边形的边时，
点A向右平移个单位向上平移个单位得到E，同样点M（N）向右平移个单位向上平移个单位得到N（M），
即±＝n，
则s＝﹣n2+＝﹣或，
故点N的坐标为（，﹣）或（﹣，）；
②当AE是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：﹣+＝n+，解得：n＝﹣，
s＝﹣n2+＝＝，
故点N的坐标（﹣，）；
综上点N的坐标为：（，﹣）或（﹣，）或（﹣，）．