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课时素养检测十七 一元线性回归模型
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.(多选题)下列选项中正确的是
( )
A.回归直线方程=x+必经过(，)
B.相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强
C.标准差越大，表明样本数据越稳定
D.相关系数r>0，表明两个变量正相关，r<0，表明两个变量负相关
【解析】选ABD.因为回归直线方程必过样本中心点(，)，所以A正确；线性相关系数r的绝对值越接近1时，两个随机变量线性相关性越强，因此B正确；标准差越大，数据的离散程度越大，越不稳定，故C错误；相关系数r>0，表明两个变量正相关，r<0，表明两个变量负相关，故D正确.
2.相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程=1x+1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10，21)，根据剩下数据得到回归直线方程：=2x+2，相关系数为r2.则
A.0
B.0C.-1D.-1【解析】选D.由题干中散点图得负相关，
所以r1<0，r2<0，
因为剔除点(10，21)后，剩下数据更具有线性相关性，|r|更接近1，所以-13.新中国成立70多年来，在中国共产党的领导下，全国各族人民团结一心，迎难而上，开拓进取，奋力前行，创造了一个又一个人类发展史上的伟大奇迹，中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃.某公司统计了第x年(2013年是第一年)的经济效益为y(千万元)，得到如下表格：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
若由表中数据得到y关于x的回归直线方程是=mx+0.35，则可预测2020年经济效益大约是
( )
A.5.95千万元
B.5.25千万元
C.5.2千万元
D.5千万元
【解析】选A.由表格中的数据得==4.5，==3.5.
所以样本中心点的坐标为(4.5，3.5)，代入=mx+0.35，得3.5=4.5m+0.35，解得m=0.7.
所以回归直线方程为=0.7x+0.35，取x=8，得=5.95.
4.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ln
y，将其变换后得到回归直线方程=0.2x+3，则c，k的值分别是
( )
A.e2，0.6
B.e2，0.3
C.e3，0.2
D.e4，0.6
【解析】选C.因为y=cekx，等式两边同时取对数可得ln
y=ln(cekx)
=ln
c+ln
ekx=kx+ln
c，
设z=ln
y，则上式可化为z=kx+ln
c，
因为z=0.2x+3，则k=0.2，ln
c=3，
所以c=e3，k=0.2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知x与y之间的一组数据：
x
2
5
7
10
y
1
3
5
7
则y与x的回归直线=x+必过点________.?
【解析】由数据可知=(2+5+7+10)=6；=(1+3+5+7)=4，故回归直线必过点(6，4).
答案：(6，4)
6.某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如表：
使用年限x(单位：年)
2
3
4
5
6
维修费用y(单位：万元)
1.5
4.5
5.5
6.5
7.0
根据上表可得回归直线方程为=1.3x+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费约为________万元.?
【解析】==4，
==5，
则样本中心点为(4，5)，代入回归直线方程可得=5-1.3×4=-0.2，=1.3x-0.2.
当x=14时，=1.3×14-0.2=18(万元)，
即使用14年时，估计维修费用是18万元.
答案：18
三、解答题
7.(10分)百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中x表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，y表示被清华、北大等名校录取的学生人数)
年份(届)
2014
2015
2016
2017
2018
x
41
49
55
57
63
y
82
96
108
106
123
(1)通过画散点图发现x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程；(保留两位有效数字)
(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考入名校的人数；
(3)若从2014年和2018年考入名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数ξ的分布列和期望.
参考公式：=，=-；
参考数据：=53，=103，xiyi=27
797，=14
325.
【解析】(1)===≈1.79，=103-×53≈7.98，
所以回归直线方程为=1.79x+7.98.
(2)当x=61时，=1.79×61+7.98≈117，
所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117.
(3)从2014年和2018年考入名校的学生中分别选取2人和3人，进行演讲的两人中是2018年毕业的人数ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)=0×+1×+2×=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.已知一组样本点(xi，yi)，其中i=1，2，3，…，30.根据最小二乘法求得的回归直线方程是=x+，则下列说法正确的是( )
A.若所有样本点都在=x+上，则变量间的相关系数为1
B.至少有一个样本点落在回归直线=x+上
C.对所有的预报变量xi(i=1，2，3，…，30)对应的估计值xi+的值一定与yi有误差
D.若=x+斜率>0，则变量x与y正相关
【解析】选D.选项A：若所有样本点都在=x+上，则变量间的相关系数|r|=1，相关系数r=±1，故A错误.选项B：回归直线必过样本中心点，但样本点可能都不在回归直线上，故B错误.
选项C：样本点可能在直线=x+上，即可以存在预报变量xi对应的估计值xi+与yi没有误差，故C错误.
选项D：相关系数r与符号相同，若=x+斜率>0，则r>0，样本点分布从左至右上升，变量x与y正相关，故D正确.
2.已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
根据上表可得回归直线方程=x+，计算得=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为
( )
A.75万元
B.85万元
C.99万元
D.105万元
【解析】选B.由题意得=(2+4+5+6+8)=5，=(30+40+50+60+70)=50，
所以样本中心点为(5，50).
因为回归直线过样本中心点(5，50)，
所以50=7×5+，解得=15，
所以回归直线方程为=7x+15.当x=10时，=7×10+15=85，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元.
3.(多选题)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为=0.85x-85.71，则下列结论中正确的是
( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本中心点(，)
C.若该大学某女生身高增加2
cm，则其体重约增加1.70
kg
D.若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
【解析】选ABC.根据y与x的回归直线方程为=0.85x-85.71，其中0.85>0说明y与x具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本中心点(，)，B正确；
由回归直线方程知，若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg，那么若该大学某女生身高增加2
cm，则其体重约增加1.70
kg，故C正确；
若该大学某女生身高为170
cm，
则可预测其体重为58.79
kg，不可断定其体重必为58.79
kg，D错误.
4.已知5个学生的数学和英语成绩如下表：
学生
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
英语
70
66
68
64
62
则数学与英语成绩之间
( )
A.是函数关系
B.是相关关系，但相关性很弱
C.具有较好的相关关系，且是正相关
D.具有较好的相关关系，且是负相关
【解析】选C.由题意，设数学成绩和英语成绩分别为x，y，画出散点图，如图所示，
从散点图上可以看出数学成绩和英语成绩具有较好的相关关系，且是正相关.
二、填空题(每小题5分，共20分)
5.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中________(填甲、乙、丙中的一个)组数据的线性相关性最强.?
【解析】当数据的相关系数的绝对值越趋向于1，则相关性越强.
因为甲、乙、丙3组不同数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，
所以乙线性相关系数的绝对值最接近1，
所以乙组数据的线性相关性最强.
答案：乙
6.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(分钟)
64
69
75
82
90
由表中数据，求得回归直线方程=0.65x+，根据回归直线方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟.?
【解析】由题意可得==30，==76，由回归直线过样本点中心，
所以有76=0.65×30+，故=56.5，所以=0.65x+56.5；
当x=70时，=0.65×70+56.5=102.
答案：102
7.某公司调查了商品A的广告投入费用x(万元)与销售利润y(万元)的统计数据，如下表：
广告费用x(万元)
2
3
5
6
销售利润y(万元)
5
7
9
11
由表中的数据得回归直线方程为=x+，则当x=7时销售利润y的估值为________万元.?
其中：=
【解析】由题表中数据可得：==4，==8，所以=
==1.4，
所以=-=8-1.4×4=2.4，
故回归直线方程为=1.4x+2.4，
所以当x=7时，=1.4×7+2.4=12.2.
答案：12.2
8.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图，发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围，令z=ln
y，求得回归直线方程=0.25x-2.58，则该模型的回归方程为________ .?
【解析】由回归直线方程=0.25x-2.58得：ln
=0.25x-2.58，
整理得：=e0.25x-2.58，
所以该模型的回归方程为=e0.25x-2.58.
答案：=e0.25x-2.58
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：
月份代码t
1
2
3
4
5
6
7
销售量y(万件)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
但其中数据污损不清，经查证yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55.
(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；
(2)求y关于t的回归直线方程(系数精确到0.01)；
(3)公司经营期间的广告宣传费xi=(单位：万元)(i=1，2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)
参考公式及数据：≈2.646，相关系数r=，当|r|>0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归直线=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-.
【解析】(1)由表中的数据和附注中的参考数据得=4，
=28，=0.55，
=tiyi-yi=40.17-4×9.32=2.89，
所以r=≈≈0.99，
因为0.99>0.75，所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系.
(2)由=≈1.331及(1)得==≈0.103≈0.10，
=-=1.331-0.103×4≈0.92，
所以y关于t的回归直线方程为=0.10t+0.92.
(3)不能.当t=8时，代入回归直线方程得=0.10×8+0.92=1.72(万件)，
第8个月的毛利润为z=10×1.72-≈14.372，
14.372<15，预测第8个月的毛利润不能突破15万元.
10.某农场经过观测得到水稻产量y和施化肥量x的统计数据如下：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
求：(1)水稻产量y与施化肥量x的相关系数，并判断相关性的强弱；
(2)y关于x的回归直线方程.
附：①相关系数及线性回归直线方程系数公式：r=，
②参考数据：=7
000，=1
132
725，xiyi=87
175.
【解析】(1)==30，
==，
故r=
=
≈0.97，故具有很强的相关性.
(2)==
=4.75，
故=-4.75×30≈257，
故回归直线方程为=4.75x+257.
课时素养检测十八 独立性检验
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.在下列关于吸烟与患肺癌的2×2列联表中，d的值为
( )
不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟
7
775
42
7
817
吸烟
d
总计
9
874
9
965
A.48
B.49
C.50
D.51
【解析】选B.在2×2列联表中，总计患肺癌的人数为9
965-9
874=91，
则吸烟且患肺癌的人数是d=91-42=49.
2.在一次独立性检验中，得出列联表如表：且最后发现，两个事件A和B没有任何关系，则a的可能值是
( )
A
总计
B
200
800
1
000
180
a
180+a
总计
380
800+a
1
180+a
A.200
B.720
C.100
D.180
【解析】选B.因为两个随机事件A和B没有任何关系，
所以χ2=<2.706，
代入验证可知a=720.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.对电视节目单上的某一节目，观众的态度如表：
认同
不认同
总计
男
14
26
40
女
29
34
63
总计
43
60
103
根据以上数据，得χ2≈1.224，则得出的结论是________.?
【解析】由题意，根据表中的数据求解χ2≈1.224<2.706，
所以观众是否认同这一节目与性别无关.
答案：观众是否认同这一节目与性别无关
4.在一次独立试验中，有200人按性别和是否色弱分类如下表(单位：人)
男
女
正常
73
117
色弱
7
3
你能在犯错误的概率不超过________的前提下认为“是否色弱与性别有关”？?
【解析】由题意得2×2列联表为
男
女
总计
正常
73
117
190
色弱
7
3
10
总计
80
120
200
由列联表中的数据可得χ2=≈3.947>3.841，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为“是否色弱与性别有关”.
答案：0.05
三、解答题
5.(10分)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.某单位共有党员200人(男女各100人)，从2019年1月1日起在“学习强国”学习平台学习.现统计他们的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图.
男党员
积分(单位：千分)
[2，4)
[4，6)
[6，8)
[8，10)
[10，12)
人数(单位：人)
15
25
30
20
10
(1)已知女党员中积分不低于6千分的有72人，求图中a与b的值；
(2)估算女党员学习积分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)和女党员学习积分的中位数(精确到0.1千分)；
(3)若将学习积分不低于8千分的党员视为学习带头人，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关？
男党员
女党员
总计
带头人
非带头人
总计
100
100
200
附：χ2=
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【解析】(1)由女党员中积分不低于6千分的有72人，
则低于6千分的有100-72=28(人)；
所以0.075×2+2a==0.28，
解得a=0.065；
又0.15×2+0.12×2+2b=，
解得b=0.09；
所以a=0.065，b=0.09.
(2)由频率分布直方图可知：
平均数为=3×0.15+5×0.13+7×0.3+9×0.24+11×0.18=7.34≈7.3.
设中位数为x，在[2，4)与[4，6)上的频率之和为0.075×2+0.065×2=0.15+0.13=0.28，
所以0.15(x-6)+0.28=0.5，解得x=6+≈7.5；
综上知，平均数约为7.3，中位数约为7.5.
(3)由题意填写列联表如下：
男党员
女党员
总计
带头人
30
42
72
非带头人
70
58
128
总计
100
100
200
由表中数据计算
χ2=
===3.125<3.841
所以没有95%的把握认为该单位的学习带头人与性别有关.
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共15分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得χ2≈7.218，参照下表：
P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
得到正确结论是
( )
A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
【解析】选B.χ2≈7.218>6.635，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”.
2.(多选题)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有________人
( )?
附表：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
k
3.841
6.635
附：χ2=
A.25
B.45
C.60
D.75
【解析】选BC.设男生的人数为5n(n∈N
)，
根据题意列出2×2列联表如表所示：
男生
女生
总计
喜欢抖音
4n
3n
7n
不喜欢抖音
n
2n
3n
总计
5n
5n
10n
则χ2==，
由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，
则3.841≤χ2<6.635，即3.841≤<6.635，得
8.066
1≤n<13.933
5，
因为n∈N
，则n的可能取值有9、10、11、12，
因此调查人数中男生人数的可能值为45，50，55或60.
3.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由χ2=得χ2=≈8.333.参照附表，得到的正确结论是( )
爱好
不爱好
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
附表：
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】选A.由χ2≈8.333>7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4.某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有关，对成年人进行了一次随机抽样抽查，结果如表：
患肝病
未患肝病
总 计
酗 酒
30
170
200
不酗酒
20
280
300
总 计
50
450
500
从直观上你能得到的结论是________ ，得到患肝病与酗酒有关系的判断有________的把握.?
【解析】由已知数据可求得χ2=≈9.259，
由于9.259>7.879，所以得到患肝病与酗酒有关系的判断有99.5%的把握.
答案：患肝病与酗酒有关系的可能性很大 99.5%
5.某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：
得出下列结论：
①甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
④乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
则所有正确结论的序号是________.?
【解析】根据图示可得，甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前；丙同学的逻辑思维成绩排名及阅读表达成绩排名居中，则乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前；甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故③④正确.
答案：③④
6.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病
未发作过心脏病
总计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
总计
68
324
392
试根据上述数据计算χ2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”).?
【解析】根据列联表中的数据，χ2
=≈1.779.
χ2<2.706的概率为90%.不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.
答案：1.779 不能
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法(修订草案)》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的2×2列联表.
分类意识强
分类意识弱
总计
试点后
5
试点前
9
总计
50
已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整；
(2)判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；
参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
下面的临界值表仅供参考
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】(1)根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，得到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有29户，故可得2×2列联表如下：
分类意识强
分类意识弱
总计
试点后
20
5
25
试点前
9
16
25
总计
29
21
50
(2)χ2==≈9.934≥7.879，所以有99.5%的把握认为居民分类意识强弱与政府宣传普及工作有关.
8.自2017年起，部分省、市陆续实施了新高考，某省采用了“3+3”的选科模式，即：考试除必考的语、数、外三科外，再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地区调查小组进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关.已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为1∶4.
(1)若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100人，试完成下面的列联表：
选化学
不选化学
总计
选物理
不选物理
总计
(2)根据第(1)问的数据，能否有99%的把握认为选择化学与选择物理有关？
(3)若研究得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理又选化学的人数至少有多少？(单位：千人；精确到0.001)
附：χ2=.
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)列联表如下：
选化学
不选化学
总计
选物理
150
100
250
不选物理
50
200
250
总计
200
300
500
(2)由列联表可知χ2==>6.635，
所以有99%的把握认为选择化学与选择物理有关.
(3)设选物理又选化学的人数为x千人，则列联表如下：
选化学
不选化学
总计
选物理
x
x
x
不选物理
x
x
x
总计
x
2x
x
所以χ2==x，
在犯错误的概率不超过0.01的前提下，则χ2≥6.635，即x≥6.635，
解得x≥11.943(千人)，
所以选物理又选化学的人数至少有11.943千人.
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课时素养检测十六 正
态
分
布
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.(多选题)已知三个概率密度函数φi(x)=(x∈R，i=1，2，3)
的图像如图所示，则下列结论正确的是
( )
A.σ1=σ2
B.μ1>μ3
C.μ1=μ2
D.σ2<σ3
【解析】选AD.根据正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图像越靠近右边，
所以μ1<μ2=μ3，B，C错误；
又σ越小数据越集中，图像越瘦长，
所以σ1=σ2<σ3，A，D正确.
2.某校有1
000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约
为
( )
A.150
B.200
C.300
D.400
【解析】选C.因为P(X<90)=P(X>120)=，
P(90≤X≤120)=1-=，
所以P(90≤X≤105)=，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1
000×=300.
3.已知某市高三一次模拟考试数学成绩X～N(90，σ2)，且P(70是
( )
A.0.2
B.0.1
C.0.243
D.0.027
【解析】选C.由X～N(90，σ2)，且P(70(0.1)(0.9)2=0.243.
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)
=
( )
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
【解析】选B.因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，μ=2，
即对称轴是x=2，P(ξ<4)=0.8，
所以P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，
所以P(0<ξ<4)=0.6，所以P(0<ξ<2)=0.3.
5.某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)=0.4，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为
( )
A.20
B.10
C.7
D.5
【解析】选B.由考试成绩服从正态分布(100，σ2)，且P(90≤ξ≤100)=0.4，
得P(ξ>110)==0.1，
所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.1×100=10.
6.某校1
000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其正态曲线如图所示，则成绩X位于区间[52，68]的人数大约是
( )
A.997
B.954
C.683
D.341
【解析】选C.由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ=60，σ=8，
所以P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(52≤X≤68)≈0.683.
所以人数大约为0.683×1
000=683.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知离散型随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<3)=0.968，则P(1<ξ<3)=________.?
【解析】因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
所以μ=2，得对称轴是x=2.
因为P(ξ<3)=0.968，
所以P(2<ξ<3)=P(ξ<3)-0.5=0.468，
所以P(1<ξ<3)=0.468×2=0.936.
答案：0.936
8.一年时间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位：时)近似服从正态分布N(50，σ2)，且P(30275，估计该校高一年级学生人数为________.?
【解析】由P(30所以P(X>30)=1-0.15=0.85.
所以估计该校高一年级学生人数为1
275÷0.85=1
500.
答案：1
500
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c+1)=P(X(1)求c的值；
(2)求P(-4≤X≤8).
【解析】(1)由X～N(2，9)可知，正态曲线关于直线x=2对称，
因为P(X>c+1)=P(X所以2-(c-1)=(c+1)-2，解得c=2.
(2)由X～N(2，9)得μ=2，σ=3，
所以P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)
=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%=0.954.
10.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500，52)(单位：g).
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485
g的概率约为多少？
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485
g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
附：X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.
【解析】(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为X
g，
由题意可知X～N(500，52).
由于485=500-3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)=[1-P(500-3×5≤X≤500+3×5)]≈×0.003=0.001
5.
(2)检测员的判断是合理的.
因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都小于485
g的概率约为0.001
5×0.001
5=0.000
002
25=2.25×10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.已知随机变量X～N(6，1)，且P(5=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由于P(42.已知某随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，
则P(ξ<2)=
( )
A.0.8
B.0.75
C.0.7
D.0.6
【解析】选A.因为ξ～N(1，σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，
所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=P(ξ<1)-P(0<ξ<1)=0.5-0.3=0.2.
所以P(ξ<2)=1-P(ξ≥2)=1-0.2=0.8.
3.已知概率密度函数φμ，σ(x)=，x∈(-∞，+∞)，以下关于正态曲线的说法不正确的是
( )
A.曲线与x轴之间的面积为1
B.曲线在x=μ处达到峰值
C.当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移
D.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”
【解析】选D.由概率密度函数的解析式φμ，σ(x)=可知：曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，其图像关于直线x=μ对称，且当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”.因此A，B，C都是正确的，D是错误的.
4.(多选题)若随机变量ξ～N(0，1)，Φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立有
( )
A.Φ(-x)=1-Φ(x)
B.Φ(2x)=2Φ(x)
C.P(|ξ|D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)
【解析】选AC.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，
所以正态曲线关于x=0对称，
因为Φ(x)=P(ξ≤x)(x>0)，
根据曲线的对称性可得：
A.Φ(-x)=Φ(ξ≥x)=1-Φ(x)，
所以A正确；B.Φ(2x)=Φ(ξ≤2x)，2Φ(x)=2Φ(ξ≤x)，
所以Φ(2x)≠2Φ(x)，所以B错误；
C.P(|ξ|=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1，所以C正确；
D.P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+
Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x)，所以D错误.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.某镇农民年平均收入服从μ=5
000元，σ=200元的正态分布，则该镇农民年平均收入在5
000～5
200元间人数的百分比约为_______.?
【解析】设X表示此镇农民的年平均收入，
则X～N(5
000，2002).
由P(5
000-200≤X≤5
000+200)≈68.3%，
得P(5
000200)==0.341
5=34.15%，
故此镇农民年平均收入在5
000～5
200元间的人数的百分比约为34.15%.
答案：34.15%
6.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%)?
【解析】P(X≤82.5)=P(X≤μ-σ)
=≈0.158
5，
P(X≥117.5)=P(X≥μ+σ)
=≈0.158
5，
成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，
高三考生总人数有≈505人，
P(X>135)=P(x>μ+2σ)
=≈0.023，
本次考试数学成绩特别优秀的大约有505×0.023≈12人.
答案：0.158
5 12
三、解答题(每小题10分，共30分)
7.一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
【解析】对于第一个方案有X～N(8，32)，其中μ=8，σ=3，P(X>5)=≈；
对于第二个方案有X～N(7，12)，其中μ=7，σ=1，
P(X>5)=≈.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案.
8.生产工艺工程中产品的尺寸误差X～N(0，1.52)(单位：mm)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5
mm为合格品，求：
(1)X的概率密度函数；
(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.
【解析】(1)由题意知X～N(0，1.52)，即μ=0，σ=1.5，
故概率密度函数φ(x)=.
(2)设Y表示5件产品中的合格品数，
每件产品是合格品的概率为P(|X|≤1.5)=P(-1.5≤X≤1.5)≈0.683，
从而Y～B(5，0.683)，合格率不小于80%，
即Y≥5×0.8=4，
故P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)
=×0.6834×(1-0.683)+0.6835≈0.494.
9.某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10
000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标x
x≤74或x>86
7478第二段生产的成品为一等品概率
0.2
0.4
0.6
第二段生产的成品为二等品概率
0.3
0.3
0.3
第二段生产的成品为三等品概率
0.5
0.3
0.1
从第一段生产的半成品中抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、-100元.
(1)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
(2)将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
(3)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布N(80，22)，且不影响产量.请你帮该公司做出决策，是否要购买该设备？说明理由.
(参考数据：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%)
【解析】(1)平均值为72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.
(2)由频率分布直方图，第一段生产的半成品质量指标
P(x≤74或x>86)=0.25，
P(74设生产一件产品的利润为X元，则P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41，
P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3，
P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29，
所以生产一件成品的平均利润是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30元，
所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元.
(3)需购买该设备.因为μ-3σ=74，μ-σ=78，μ+σ=82，μ+3σ=86，
设引入该设备后生产一件成品利润为Y元，
则P(Y=100)=0.003×0.2+0.314×0.4+0.683×0.6=0.536，
P(Y=60)=0.003×0.3+0.314×0.3+0.683×0.3=0.3，
P(Y=-100)=0.003×0.5+0.314×0.3+0.683×0.1=0.164，
所以引入该设备后生产一件成品平均利润为100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2元，
所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元，
增加收入55.2-30-20=5.2万元，
综上，应该购买该设备.
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课时素养检测十五 离散型随机变量的方差
(30分钟 55分)
一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P=，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是
( )
A.P(X=1)=E(X)
B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4
D.D=
【解析】选AB.随机变量X服从两点分布，其中P=，所以P(X=1)=，
E(X)=0×+1×=，
D(X)=×+×=，
在A中，P(X=1)=E(X)，故A正确；
在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4，故B正确；
在C中，D(3X+2)=9D(X)=9×=2，故C错误；
在D中，D(X)=，故D错误.
2.随机变量X的分布列如下：
X
-1
0
1
P
a
b
若E(X)=，则D(X)的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题设可得a+b=，b-a=?a=，b=，
所以由数学期望的计算公式可得：
E(X)=-1×+0×+1×=，
D(X)=×+×+×=.
3.随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)=1.1，则D(ξ)=
( )
ξ
0
1
x
P
p
A.0.36
B.0.52
C.0.49
D.0.684
【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p=.由E(ξ)=0×+1×+x=1.1，得x=2，
所以D(ξ)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.
4.已知随机变量X的取值为1，2，3，若P=，E=，
则D=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设P(X=1)=p，P(X=2)=q，
所以E(X)=p+2q+3×=①，
+p+q=1②，
由①②得，p=，q=，所以D(X)=×+×+×=.
5.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则
( )
ξ
1
2
3
P
η
1
2
3
P
A.E(ξ)B.E(ξ)D(η)
C.E(ξ)D.E(ξ)=E(η)，D(ξ)=D(η)
【解析】选C.由题意得E(ξ)=1×+2×+3×=，
D(ξ)=×+×+×=；
E(η)=1×+2×+3×=，
D(η)=×+×+×=，所以E(ξ)二、填空题(每小题5分，共10分)
6.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的包装质量较好.?
【解析】因为E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的包装质量稳定.
答案：乙
7.已知随机变量X的分布列为：
X
-1
0
1
P
a
随机变量Y=2X+1，则X的数学期望E(X)=________；Y的方差D(Y)=________.?
【解析】由随机变量X的分布列得：++a=1，解得a=，所以E(X)=-1×+0×+1×=-，
D(X)=×+×+×=，因为随机变量Y=2X+1，
所以Y的方差D(Y)=4D(X)=.
答案：-
三、解答题(每小题10分，共20分)
8.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P
p
若E(X)=.
(1)求D(X)的值；(2)若Y=3X-2，求D(Y)的值.
【解析】
由++p=1，得p=，
又E(X)=0×+1×+x=，所以x=2.
(1)D(X)=×+×+×==.
(2)因为Y=3X-2，所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.
9.甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求射击结束时甲的射击次数x的分布列和数学期望及方差.
【解析】(1)记甲第i次射中获胜为Ai，则A1，A2，A3彼此互斥，甲获胜的事件为A1+A2+A3，因为P=，P=××=，
P=××=，
所以P=P+P+P
=++=，即甲获胜的概率为.
(2)X所有可能的取值为1，2，3.则P=+×=，P=××+×××=，
P=××1=.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=，
X的方差D(X)=×+×+×=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.已知ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
p
则在下列式中①E(ξ)=-；②D(ξ)=；
③P(ξ=0)=.正确的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.由题意，根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得：
E=(-1)×+0×+1×=-，所以①正确；
D=×+×+×=，所以②不正确；
又由分布列可知P(ξ=0)=，所以③正确.
2.已知随机变量X+ξ=8，若X～B，则E，D分别为
( )
A.6和2.4
B.6和5.6
C.2和2.4
D.2和5.6
【解析】选C.因为X～B，所以E=10×0.6=6，D=10×0.6×0.4=2.4.
因为X+ξ=8，所以ξ=8-X，由期望和方差的性质可得E=E=8-E=2，D=D=D=2.4.
3.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有
( )
A.q=0.1
B.E(X)=2，D(X)=1.4
C.E(X)=2，D(X)=1.8
D.E(Y)=5，D(Y)=7.2
【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1，所以q=0.1，故A正确；又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，
D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8，故C正确；因为Y=2X+1，所以E(Y)=2E(X)+1=5，D(Y)=4D(X)=7.2，故D正确.
4.设0ξ
-1
0
1
P
则当p在(0，1)内逐渐增大时
( )
A.D(ξ)增大
B.D(ξ)减小
C.D(ξ)先增大后减小
D.D(ξ)先减小后增大
【解析】选A.因为0D=×+×+×=-+，
所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)递增.
二、填空题(每小题5分，共20分)
5.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)=________.?
【解析】设P(ξ=1)=a，P(ξ=2)=b，则解得所以D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
答案：
6.已知不透明口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E(X)=________，方差D(X)=________.?
【解析】依题意可知X的可能取值为1，3，且P=，P=.故X的分布列为
X
1
3
P
所以E=1×+3×=，D=×+×=.
答案：
7.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
2a
b
当D(X)最大时，E(X)=________.?
【解析】由题知b=1-3a，所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a，
D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a，故当a=时D(X)最大，此时E(X)=.
答案：
8.随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1，2，3)，其中a是常数，则D=________.?
【解析】由题意得++
=a=a=1，
则a=，所以P=，P=，
P=，则E(X)=++=，D(X)=×+×+×=，所以D(aX)=a2D(X)=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.某实验中学从高二年级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题.已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率；
(2)分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？
【解析】(1)甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率为×=.
(2)甲班级能正确回答题目的人数为X，X的取值分别为1，2，3，P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，则E(X)=1×+2×+3×=2，D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.
乙班级能正确回答题目的人数为Y，Y取值分别为0，1，2，3，因为Y～B，所以E(Y)=3×=2，D(Y)=3××=，由E(X)=E(Y)，D(X)10.天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响.
(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；
(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列和数学期望与方差.
【解析】(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)=x，P(B)=y.
由题意得解得
所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.
(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.
X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)==，
P(X=3)==，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
方差D(X)=×+×+×+×=.
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课时素养检测十四 离散型随机变量的均值
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是
( )
A.0.8
B.0.992
C.1
D.1.24
【解析】选D.记射击次数为随机变量X，则X的所有可能取值为1，2，3.P(X=1)=0.8，
P(X=2)=0.2×0.8=0.16，P(X=3)=1-0.8-0.16=0.04，
所以E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.
2.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)为
( )
A.0.765
B.1.75
C.1.765
D.0.22
【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P(X=0)=0.1×0.15=0.015，P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22，P(X=2)=0.9×0.85=0.765，
E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
3.甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如表所示：
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
则结论正确的是
( )
A.甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些
B.乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些
C.两人生产的产品质量一样好
D.无法判断谁生产的产品质量好一些
【解析】选B.甲出废品的期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，乙出废品的期望是1×0.5+2×0.2=0.9，所以甲出废品的期望大于乙出废品的期望.故乙生产的产品质量好一些.
4.某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，
则E(X)=
( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
【解析】选D.设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为=1-0.36，解得p=0.2或p=1.8
(舍去)，P=1-0.36=0.64，P=2×0.8×0.2=0.32，
P=0.2×0.2=0.04，所以E=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
5.设离散型随机变量X的分布列如表，则E(X)=2的充要条件是
( )
X
1
2
3
P
p1
p2
p3
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2=p3
【解析】选B.由题设及数学期望的公式可得
?p1=p3，则E(X)=2的充要条件是p1=p3.
6.已知X～B(5，p)，且E(X)=3，则P(X=1)=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为X～B(5，p)，故其期望为E=5×p=3，解得p=.故P=p=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.某射手射击所得环数X的分布列如表：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的期望E(X)=8.9，则y的值为________.?
【解析】因为x+y=0.6，7x+10y=8.9-0.8-2.7=5.4，
解得
答案：0.4
8.已知随机变量ξ和η，其中η=4ξ-2，且E(η)=7，若ξ的分布列如表，则n的值为________.?
ξ
1
2
3
4
P
m
n
【解析】因为η=4ξ-2，所以E(η)=4E(ξ)-2，
所以7=4·E(ξ)-2，解得E(ξ)=，根据均值的计算公式得：=1×+2×m+3×n+4×，又+m+n+=1，联立求解可得n=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数X的分布列及均值E(X).
【解析】X可能的取值为0，1，2.P(X=0)==，
P(X=1)==，P(X=2)==.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
10.不透明箱中装有3个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从箱中任取2个球，假设每个球被取出的可能性都相等，记随机变量X为取出的2个球所得分数之和.
(1)若P=，求m的值；
(2)当m=2时，列出X的分布列并求其期望.
【解析】(1)由题意，当取出的2个球都是白球时，此时随机变量X=4.
可得P(X=4)==，即=6，即m2+5m-6=0，解得m=1(负值舍去).
(2)由题意，随机变量X所有可能的取值为2，3，4，可得
P(X=2)==，P(X=3)===，
P(X=4)==，
所以随机变量X的分布列为：
X
2
3
4
P
所以E(X)=2×+3×+4×=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
a
则E=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由分布列的性质可得++a=1，得a=，
所以E=1×+2×+3×=，
因此E=E=2E+=2×+=.
2.不透明袋中装有5个同样大小且质地相同的球，编号为1，2，3，4，5.
现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为x，则E(x)等于( )
A.4
B.4.5
C.4.75
D.5
【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小且质地相同的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，所以ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，
P(ξ=5)===，
所以E(ξ)=3×+4×+5×=4.5.
3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E(X)为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得P==，
P==，
P==，
所以E(X)=×0+1×+2×=1.
4.设不透明口袋中有黑球、白球共7个(球除颜色不同外，其他均相同，且白球个数大于2个)，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选A.设白球x个，则黑球(7-x)个，取出的2个球中所含白球的个数为ξ，则ξ取值为0，1，2，
P(ξ=0)==，
P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，
所以0×+1×+2×=，所以x=3.
二、填空题(每小题5分，共20分)
5.一次英语测验由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7，则该学生在这次测验中的成绩的期望是________.?
【解析】因为X～B(50，0.7)，所以E(X)=50×0.7=35.
所以成绩的期望是35×3=105.
答案：105
6.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i=1，2)个球放在甲盒中(每个小球被取到的可能性相同)，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i=1，2)，则E+E的值为________.?
【解析】甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，
则P==，P==.
则E=1×+2×=；
甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，
则P==，
P==，
P==.
则E=1×+2×+3×=.
所以E+E=+=.
答案：
7.一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ=Y-X，则E(ξ)=________.?
【解析】由题意知ξ的取值为0，1，2，ξ=0，表示X=Y；ξ=1表示X=1，Y=2，或X=2，Y=3；ξ=2表示X=1，Y=3.
所以P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，
P(ξ=2)=1--=，所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
答案：
8.有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则ξ=1的概率是________；E=________.?
【解析】根据题意ξ的所有取值为0，1，2，P(ξ=0)==，
P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，故E=0×+1×+2×=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.德阳中学数学竞赛培训共开设初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见表)，且每一门课程是否合格相互独立，
课程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
合格的概率
(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望E(ξ).
【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，则“甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABC)+P(AB
D)，事件A，B，C，D相互独立，
P(ABCD)+P(ABC)+P(ABD)=×××+×××+×××=.
(2)P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，
因此，ξ的分布列如表：
ξ
0
1
2
3
P
因为ξ～B，所以E(ξ)=3×=.
10.某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150元回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数
8
9
10
11
频数
20
40
20
20
以频率代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数.
(1)求X的分布列；
(2)以销售食品利润的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选哪个？
【解析】(1)由已知一家超市销售食品件数8，9，10，11的概率分别为，，，，X取值为16，17，18，19，20，21，22.P=×=，P=××2=；
P=×+××2=；
P=××2+××2=；
P=×+××2==；
P=××2=，
P=×=，
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
(2)
当n=19时，记Y1为A，B销售该食品利润，则Y1的分布列为
Y1
1
450
1
600
1
750
1
900
1
950
2
000
2
050
P
E=1
450×+1
600×+1
750×+1
900×+1
950×+2
000×+2
050×=1
822；
当n=20时，记Y2为A，B销售该食品利润，则Y2的分布列为
Y2
1
400
1
550
1
700
1
850
2
000
2
050
2
100
P
E=1
400×+1
550×+1
700×+1
850×+2
000×+2
050×+2
100×=1
804，因为E>E，故应选n=19.
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课时素养检测十三 二项分布与超几何分布
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X=3)=
( )
A.×
B.×
C.×
D.×
【解析】选C.X=3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是×.
2.随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，且np=300，npq=200，p+q=1，则等于
( )
A.3
200
B.2
700
C.1
350
D.1
200
【解析】选B.由题意可得解得所以=2
700.
3.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是
( )
A.
B.
C.
D.1-
【解析】选D.全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为1-.
4.甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一人先胜三局则比赛结束，假设甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲、乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，
所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=××=3×××=.
5.若ξ～B(n，p)，且np=3，npq=，p+q=1，则P(ξ=1)的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为解得n=6，p=，所以P(ξ=1)=××=.
6.设随机变量X服从二项分布X～B，则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为函数f(x)=x2+4x+X存在零点，所以Δ=16-4X≥0，所以X≤4.
因为X服从X～B，
所以P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出2个球，若X表示摸出黑球的个数，则X的分布列为________.?
【解析】由题意可得：X=0，1，2.
P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.
可得X的分布列为：
X
0
1
2
P
答案：
X
0
1
2
P
8.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________.?
【解析】设该篮球运动员罚球的命中率为p，则由条件得“两次罚球都命中”的概率为1-=，所以·p2=，所以p=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.
【解析】设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D=A∪BC，因为P(A)=×=，P(B)=2××=，P(C)=，所以P(D)=P(A∪BC)=P(A)+
P(B)P(C)=.
(2)根据题意，X=0，1，2，3，4，且X～B，
因为P(X=0)=×=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，P(X=3)=××=，P(X=4)=××=.所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
10.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼质量(单位：克)得到如图的频率分布直方图：
(1)若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；
(2)根据市场行情，该海鱼按质量可分为三个等级，如表：
等级
一等品
二等品
三等品
质量(g)
[165，185]
[155，165)
[145，155)
若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率.现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求X的分布列.
【解析】(1)由频率分布直方图得每条海鱼平均质量为=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10
=164(g)，
因为经销商购进这批海鱼100千克，所以估计这批海鱼有(100×1
000)÷164≈610(条).
(2)从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165)的频率为0.04×10=0.4，
则X～B(3，0.4)，P(X=0)=(0.6)3=0.216，
P(X=1)=×0.4×(0.6)2=0.432，
P(X=2)=(0.4)2×0.6=0.288，
P(X=3)=(0.4)3=0.064，所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率小于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是
( )
A.[0.4，1)
B.(0，0.6]
C.
D.
【解析】选D.设事件A在一次试验中发生的概率为p，则事件A的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得p(1-p)30.又02.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则P+P等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由题得P(X=2)=，P(Y=2)=，
所以P(X=2)+P(Y=2)=.
3.(多选题)如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是
( )
A.这5个家庭均有小汽车的概率为
B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
D.这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为
【解析】选ACD.由题得小汽车的普及率为，
A.这5个家庭均有小汽车的概率为=，故A成立；
B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为=，故B不成立；
C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，故C成立；
D.这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为+=，故D成立.
4.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ=1)=，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
【解析】选B.设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，由P(ξ=1)=得，=，化简得n2-10n+16=0，解得n=2或n=8.又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，
故n=2，所以这10件产品的次品率为=20%.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X=4)=________.?
【解析】考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验，
故X～B.即有P(X=k)=×，k=0，1，2，3，4，5，6.
所以P(X=4)=×=.
答案：
6.已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则：(结果保留两位有效数字)
(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；?
(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________.?
【解析】由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布.
(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是×0.72×(1-0.7)≈0.44.
(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是×≈0.19.
答案：(1)0.44 (2)0.19
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的质量(单位：克)，整理后得到频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为[490，495]，(495，500]，(500，505]，(505，510]，(510，515]).
(1)若从这40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；
(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的质量超过505克的概率.
【解析】(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为(0.01+0.05)×5×40=12，由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==.所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505克的概率为0.3，设Y为从该流水线上任取5件产品质量超过505克的产品数量，则Y～B(5，0.3)，
故所求概率为P(Y=2)=×0.32×0.73=0.308
7.
8.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中：
(1)两种大树各成活1株的概率；
(2)成活的株数ξ的分布列.
【解析】设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2，
Bl表示乙种大树成活l株，l=0，1，2，
则Ak，Bl独立.
由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P(Ak)=，
P(Bl)=，
据此算得P(A0)=，P(A1)=，P(A2)=，
P(B0)=，P(B1)=，P(B2)=，
(1)所求概率为P(A1·B1)=P(A1)·P(B1)=.
(2)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P(ξ=0)=P(A0·B0)=P(A0)·P(B0)=，
P(ξ=1)=P(A0·B1)+P(A1·B0)=，
P(ξ=2)=P(A0·B2)+P(A1·B1)+P(A2·B0)=，
P(ξ=3)=P(A1·B2)+P(A2·B1)=，
P(ξ=4)=P(A2·B2)=，
综上知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
【补偿训练】
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，
故X～B，从而P
=.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，
且M={X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0}.
由题意知事件X=3，Y=1与X=2，Y=0互斥，且事件X=3与Y=1，事件X=2与Y=0均相互独立，从而由(1)知：
P(M)=P
=P+P
=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)
=×+×=.
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课时素养检测十二 离散型随机变量的分布列
(30分钟 55分)
一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是
( )
A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=
D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
【解析】选BCD.两点分布又叫0-1分布，所有的试验结果有两个，B，C，D满足定义，而A，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X，则X的所有可能的结果有6种，不是两点分布.
2.若随机变量X的分布列如表所示，则a2+b2的最小值为
( )
X=i
0
1
2
3
P(X=i)
a
b
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由分布列性质可知a+b=，而a2+b2≥=.
3.从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时抽奖的次数，则P(X=3)等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，那么所有的情况为
，而X=3表示直至抽到中奖彩票时的次数为3，那么前两次没有中奖，最后一次中奖的情况为，因此概率为.
4.抛掷两枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.根据题意，有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两枚骰子，按所得的点数共构成36个样本点，而X=2对应(1，1)，X=3对应(1，2)，(2，1)，X=4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，故P(X=2)=，P(X=3)==，P(X=4)==，
所以P(X≤4)=++=.
5.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是
( )
A.都不是一等品
B.恰有一件一等品
C.至少有一件一等品
D.至多有一件一等品
【解析】选D.设取到一等品的件数是ξ，
则ξ=0，1，2，P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==.因为P(ξ=0)+P(ξ=1)=，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”.
二、填空题(每小题5分，共10分)
6.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P=________.?
【解析】设二级品有k个，所以一级品有2k个，三级品有个，总数为个.所以分布列为
ξ
1
2
3
P
所以P=P(ξ=1)=.
答案：
7.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________.?
【解析】设所选女生人数为随机变量X，则P(X≤1)=
P(X=0)+P(X=1)=+=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
8.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X的分布列.
【解析】X的可能取值是1，2，3，P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=3)==.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
9.袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.
(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率.
【解析】(1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，得分分别为5分，6分，7分，8分.故X的可能取值为5，6，7，8.
P(X=5)==，P(X=6)==，
P(X=7)==，P(X=8)==.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.设随机变量X的分布列为P=，则P
=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由概率和为1，可知++=1，解得a=3，P=P(X=2)+P(X=3)=+=.
2.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是
( )
A.至少有1个深度贫困村
B.有1个或2个深度贫困村
C.有2个或3个深度贫困村
D.恰有2个深度贫困村
【解析】选B.用X表示这3个村中深度贫困村数，P==，P==，
P==，P==，
P+P=.
3.(多选题)10件产品中有2件次品，现任取n件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则n的值可以为
( )
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】选ABC.根据题意得P=>0.4，
所以>0.4，
所以1>0.4，所以n2-n-36>0，
所以n>，所以n的最小值为7.
4.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为
( )
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
【解析】选C.对于选项A，概率为=；对于选项B，概率为=；对于选项C，概率为=；对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰有一个坏的概率已经是>，故D选项不正确.
二、填空题(每小题5分，共20分)
5.设随机变量X的分布列为P(X=k)=m，k=1，2，3，则m的值为________.?
【解析】P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，
由离散型随机变量的分布列的性质知，
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，即++=1，解得m=.
答案：
6.已知随机变量X的分布列如表：
X
1
2
3
P
其中a是常数，则P的值为________.?
【解析】由分布列可知++=1，解得a=，
则P=P==.
答案：
7.某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)任选3人参加学校的义务劳动.设所选3人中女生人数为ξ，则ξ的分布列为________.?
【解析】ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==.
ξ
0
1
2
P
答案：
ξ
0
1
2
P
8.某班有学生45人，其中O型血的有15人，A型血的有10人，B型血的有12人，AB型血的有8人，将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X，则X的分布列为________.?
【解析】X的可能取值为1，2，3，4.
P==，P==，
P==，P==.
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P
答案：
X
1
2
3
4
P
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
【解析】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P=×=.
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400.
则P==，P==，
P(X=400)=1-P-P
=1--=.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
10.唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成.根据分析，甲、乙、丙三位学徒能通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学习刻苦，都能通过“罗”这道工序.若这三道工序之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位学徒中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率；
(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位学徒中制成饼茶人数X的分布列.
【解析】(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过′炙′这道工序”，则所求概率P=P+P+P
=0.5×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.5)×0.6×(1-0.5)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.5=0.35.
(2)甲制成饼茶的概率为P甲=0.5×0.8=0.4，同理P乙=0.6×0.5=0.3，P丙=0.5×0.4=0.2.
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P=××=0.336，
P=0.4××+××0.2+×0.3×=0.452，
P=0.4×0.3×+0.4××0.2+×0.3×0.2=0.188，
P=0.4×0.3×0.2=0.024.故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.336
0.452
0.188
0.024
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课时素养检测十一 随机变量及其与事件的联系
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.(多选题)下列变量中是离散型随机变量的为
( )
A.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张，被取出的号码X
B.连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数Y
C.某工厂加工某种钢管内径与规定的内径尺寸之差X1
D.电话号码“110”每分钟被呼叫的次数Y1
【解析】选ABD.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张，被取出的号码X的可能取值为1，2，3，4，5，故A是离散型随机变量；
连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数Y的可能取值为1，2，3，4，5，…，故B是离散型随机变量；
某工厂加工某种钢管内径与规定的内径尺寸之差X1，其取值不能一一列举出来，故C不是离散型随机变量；
电话号码“110”每分钟被呼叫的次数Y1的可能取值为0，1，2，3，4，5…，故D是离散型随机变量.
2.同时抛掷3枚硬币，正面向上的枚数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为
( )
A.3
B.4
C.1、2、3
D.0、1、2、3
【解析】选D.同时抛掷3枚硬币，正面向上的枚数可能取值为0、1、2、3.
3.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的
是
( )
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到的球的个数
【解析】选C.根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值为0，1，2.
4.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为
( )
A.20
B.24
C.4
D.18
【解析】选B.由于后四位数字两两不同，且都大于5，
因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有=24(种).
5.将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是
( )
A.两次点数之和
B.两次点数差的绝对值
C.两次的最大点数
D.两次的点数
【解析】选D.两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数.
6.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X=2)=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.X=2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故P==.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.若随机变量X的取值为0，1，且满足P=0.8，P=0.2，令ξ=3X-2，则P=________.?
【解析】ξ=-2时，X=0，则概率为0.8.
答案：0.8
8.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.?
【解析】可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100分，-300分.
答案：300，100，-100，-300
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和，写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果.
【解析】X的可能取值为6，11，15，21，25，30.
其中，X=6表示抽到的是1元和5元；
X=11表示抽到的是1元和10元；
X=15表示抽到的是5元和10元；
X=21表示抽到的是1元和20元；
X=25表示抽到的是5元和20元；
X=30表示抽到的是10元和20元.
10.某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量.
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果.
【解析】(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次.
(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“ξ>4”表示试验的结果为
( )
A.第一枚为5点，第二枚为1点
B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C.第一枚为6点，第二枚为1点
D.第一枚为4点，第二枚为1点
【解析】选C.由于ξ表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为6-1=5，而ξ>4只有一种情况，也即ξ=5，此时第一枚为6点，第二枚为1点.
2.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值
为
( )
A.1，2，…，6
B.1，2，…，7
C.1，2，…，11
D.1，2，3…
【解析】选B.从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球.
3.(多选题)甲、乙两名同学在篮球场上练习定点投篮，甲先投，乙接着投，再由甲投，而后乙投，依次轮流下去，直到有人投中为止，设两个人投篮的总的次数为ξ，则事件“乙投篮的次数为5”可以表示为
( )
A.ξ=5
B.ξ=10
C.ξ=12
D.ξ=11
【解析】选BD.由题意，ξ=10表示乙第5次投篮，且乙投中，练习结束，ξ=11表示乙第5次投篮，且乙没有投中，由甲投中，练习结束.所以事件“乙投篮的次数为5”可以表示为ξ=10或ξ=11.
4.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ≤)=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.ξ=k表示前k个为白球，第k+1个恰为红球.P(ξ=k)=(k=0，1，2，…，5)，所以P(ξ=0)==，
P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，所以P(ξ≤)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)==.
二、填空题(每小题5分，共20分)
5.下列变量中，不是随机变量的是________(填序号).?
①下一个交易日上证收盘指数；
②标准大气压下冰水混合物的温度；
③明日上课某班(共50人)请假同学的人数；
④小马登录QQ找小胡聊天，设X=
【解析】标准大气压下冰水混合物的温度是0℃，是一个确定的值，不是随机变量，①③④都是随机变量.
答案：②
6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________.?
【解析】X=-1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，
X=0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，
X=1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对，X=2，甲抢到2题均答对，
X=3，甲抢到3题均答对.
答案：-1，0，1，2，3
7.一盒子中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X=4)=________.?
【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为X=4时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球，即取出的3个球中有2个旧球、1个新球，所以P(X=4)==.
答案：
8.袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤7)=________.?
【解析】分析题意可知，若得分不大于7，则4个球都是红球，此时ξ=4，或3个红球、1个黑球，此时ξ=6.
又P(ξ=4)==，P(ξ=6)==，
故P(ξ≤7)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.某销售企业为了提高销售量，特制订员工工资方案如下：①底薪2
000元；②每月销售额在100
000～200
000元提成2%，销售额在200
000～400
000元提成3%，销售额在400
000元以上提成5%.从该企业员工中任意抽取一名员工，设该员工销售额为X元，获得的税前工资为Y元.
(1)当X=220
000元时，求Y的值；
(2)写出X与Y之间的关系式；
(3)若P(X≤350
000)=0.7，求P(Y>12
500)的值.
【解析】(1)当X=220
000时，表示销售额为220
000元，所以Y=2
000+220
000×3%=8
600(元).
(2)根据题意有Y=
(3)因为X≤350
000?0.03X≤10
500?0.03X+2
000≤12
500，
所以P(Y≤12
500)=P(X≤350
000)=0.7，
所以P(Y>12
500)=1-P(Y≤12
500)=0.3.
10.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)随机变量ξ表示所选3人中男生人数，求ξ取值所对应事件的概率.
【解析】(1)所选3人中恰有一名男生的概率P==；
(2)ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ=0)==.
P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，
P(ξ=3)==.
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课时素养检测十 独立性与条件概率的关系
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.(多选题)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是
( )
A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B.甲的不同的选法种数为15
C.已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是
D.乙、丙两名同学都选物理的概率是
【解析】选BD.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即=15种选法，故B正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是=，故C错误；
乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是×=，故D正确.
2.有以下问题：①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②抛掷3枚质地均匀的硬币，M={既有正面向上又有反面向上}，N={至多有一个反面向上}；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”.
以上问题中，M，N是相互独立事件的有
( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【解析】选B.①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)=1-=，P(N)=1-=，P(MN)=P(M)P(N)，所以M，N是相互独立事件；
③中，P(M)=，P(N)=，P(MN)=，P(MN)=P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件.
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.依题意得P(A)=，P(B)=，事件A，B中至少有一件发生的概率等于1-P(
)=1-P()P()=1-×=.
4.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为
( )
A.1-a-b
B.1-ab
C.(1-a)(1-b)
D.1-(1-a)(1-b)
【解析】选C.设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，
则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)·(1-b).
5.甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意，因为甲或乙的贺年卡送给其中一个人的概率都是，故分两种情况，
甲、乙将贺年卡送给丙的概率为×=，甲、乙将贺年卡送给丁的概率为×=，则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为+=.
6.甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生.
所以P(
)=P()P()P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
==，故目标被击中的概率为1-P(
)=1-=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________.?
【解析】“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)=，P(C)=，能配成A型螺栓为事件A.
所以P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=·=.
答案：
8.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________.?
【解析】设“同学甲答对第i个问题”为事件Ai(i=1，2，3)，则P(A1)=0.8，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P=
P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)=P(A1A2A3)+
P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+
P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.
答案：0.46
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.生产同一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲，乙机床生产的产品中各任取1件，求：
(1)至少有1件废品的概率；(2)恰有1件废品的概率.
【解析】从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A，B，则事件A，B相互独立，且P(A)=0.04，P(B)=0.05.
(1)设“至少有1件废品”为事件C，
则P(C)=1-P(
)=1-P()P()=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.
(2)设“恰有1件废品”为事件D，则P(D)=P(A)+P(B)=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.
10.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.
(1)求三人都合格的概率；
(2)求三人都不合格的概率；
(3)求出现几人合格的概率最大.
【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)=，P(B)=，P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0，1，2，3).
(1)三人都合格的概率：
P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)三人都不合格的概率：
P0=P(
)=P()P()P()=××=.
(3)恰有两人合格的概率：
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=.
恰有一人合格的概率：
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.掷一枚硬币两次，记事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现反面”，则有
( )
A.A与B相互独立
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A与B互斥
D.P(AB)=
【解析】选A.对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确.对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，故选项B，C不正确.对于选项D，由于A与B相互独立，
因此P(AB)=P(A)P(B)=，所以D不正确.
2.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由P(A)=P(B)，得P(A)P()=P(B)P()，即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)]，所以
P(A)=P(B).
又P(
)=，所以P()=P()=，
所以P(A)=.
3.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是
( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P=，P=，且A1，A2独立；
在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×=，A正确；
在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1-
P()P()=1-×=，C正确；
在D中，2个球中恰有1个红球的概率为×+×=，D正确.
4.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为+；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×+×；④目标被命中的概率为1-×.其中说法正确的序号是
( )
A.②③
B.①②③
C.②④
D.①③
【解析】选C.设“甲射击一次命中目标”为事件A，“乙射击一次命中目标”为事件B，显然，A，B相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=×+×=，故①不正确；目标恰好被命中两次的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×，故②正确；目标被命中的概率为P(A∪B∪AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=×+×+×或1-P(
)=1-P()P()
=1-×，故③不正确，④正确.
二、填空题(每小题5分，共20分)
5.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为________.?
【解析】第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次品，所以第3次首次测到次品的概率为××=.
答案：
6.在某道路A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________.?
【解析】由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.所以所求概率P=××=.
答案：
7.假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为，乙跑出优秀的概率为，丙跑出优秀的概率为，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________.?
【解析】刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为××=；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为××=；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为××=，三种情况相加得++=，即刚好有2人跑出优秀的概率为.
答案：
8.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.?
【解析】由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)=×+×+×=，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共30分)
9.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【解析】(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)=×=，P(B)=×=，P(C)=×=.因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.
10.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
(1)求甲、乙二人都破译密码的概率；
(2)求恰有一人破译密码的概率；
(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：
解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5，
请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.
【解析】(1)由题意可知P(A)=0.8，P(B)=0.7，且事件A，B相互独立，
事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56；
(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为B+A，且B，A互斥，
所以P(B+A)=P(B)+P(A)=P()P(B)+P(A)P()
=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.
(3)小明同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.
正确解答过程如下：
“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，可以表示为B+A+AB，且B，A，AB两两互斥，
所以P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=P()P(B)+P(A)P()+P(A)P(B)
=0.2×0.7+0.8×0.3+0.8×0.7=0.94.
11.甲、乙射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
【解析】记“甲射击1次，射中目标”为事件A，“乙射击1次，射中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件，
(1)2人都射中目标的概率为：
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72，
所以2人都射中目标的概率是0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)，根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)
=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26，
所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.
(3)2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，
其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.
(4)“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”2种情况，故所求概率为P=P(
)+
P(A)+P(B)=P()P()+P(A)P()+
P()P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.
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课时素养检测九 乘法公式与全概率公式
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.(多选题)在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现，上、下两学期成绩均得优的学生占5%，仅上学期得优的占7.9%，仅下学期得优的占8.9%.则
( )
A.已知某学生上学期得优，则下学期也得优的概率为0.388
B.已知某学生上学期得优，则下学期也得优的概率为0.139
C.上、下两学期均未得优的概率为0.782
D.上、下两学期均未得优的概率为0.95
【解析】选AC.设A表示“上学期数学成绩得优”，B表示“下学期数学成绩得优”，则P(AB)=0.05，P(A)=0.079，P(B)=0.089，
所以P(A)=P(AB)+P(A)=0.05+0.079=0.129，
P(B)=P(AB)+P(B)=0.05+0.089=0.139，
P(B|A)==≈0.388，
P(B|)==≈0.102，
P(
)=P()P(|)≈(1-0.129)(1-0.102)≈0.782.
2.根据以往资料，某一家3口患某种传染病的概率有以下特点：P(孩子得病)=0.6，P(母亲得病|孩子得病)=0.5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4.则母亲及孩子得病但父亲未得病的概率为
( )
A.0.18
B.0.3
C.0.36
D.0.24
【解析】选A.设A={孩子得病}，B={母亲得病}，C={父亲得病}，则P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(C|AB)=0.4，P(AB)=P(|AB)P(B|A)P(A)
=0.6×0.5×0.6=0.18.
3.设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，现有放回地摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸得白球的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设A={第1次未摸得白球}，B={第2次未摸得白球}，C={第3次摸得白球}，则事件“第3次才摸得白球”可表示为ABC.
P(A)=，P(B|A)=，P(C|AB)=，
P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)
=××=.
4.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是，则两次闭合都出现红灯的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.记第一次闭合出现红灯为事件A，第二次闭合出现红灯为事件B，则P(A)=，P(B|A)=，所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.
5.设袋中含有5件同样的产品，其中3件正品，2件次品，每次从中取一件，无放回地连续取2次，则第2次取到正品的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设事件A表示“第1次取到正品”，事件B表示“第2次取到正品”，B=BA+B，
所以P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)
=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
6.某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，已知某天的空气质量为优良，且随后一天的空气质量也为优良的概率为，则连续两天为优良的概率是
( )
A.0.75
B.
C.
D.
【解析】选A.设“某天的空气质量为优良”是事件A，“随后一天的空气质量为优良”是事件B，由题意可得P(A)=0.9，P(B)=，所以连续两天为优良的概率P(AB)=P(B)P(A)=0.9×=0.75.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，进行不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________.?
【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才能取到黄球”为事件C，
所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
答案：
8.已知在所有男子中有5%的人患有色盲症，在所有女子中有0.25%的人患有色盲症.随机抽一人发现患色盲症的概率为________(设男子与女子的人数相等).?
【解析】设A表示“男子”，B表示“女子”，C表示“这人患色盲症”，
则P(C|A)=0.05，P(C|B)=0.002
5，P(A)=0.5，
P(B)=0.5，则P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
=0.5×0.05+0.5×0.002
5=0.026
25.
答案：0.026
25
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球.回答下列问题：
(1)第一次取出的是黑球的概率；
(2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；
(3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率.
【解析】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”.
(1)黑球有3个，球的总数为5个，所以P(A)=；
(2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P(AB)=×=；
(3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P(B|A)===.
10.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率.
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为=28，这2个产品都是次品的事件数为=3，所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.P(B1)==，P(B2)==，P(B3)==，P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=，所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1.8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设A表示“射击时中靶”，B1表示“使用的枪校准过”，B2表示“使用的枪未校准”，则B1，B2是Ω的一个划分.
则P(A)=P(AB1)+P(AB2)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)
=0.8×+0.3×=，
所以P(B1|A)==
==.
2.一批同型号的螺钉由编号为1，2，3的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%，40%，25%，各台机器生产的螺钉次品率分别为3%，2%和1%，现从这批螺钉中抽到一颗次品，则次品来自2号机器生产的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设A={螺钉是次品}，B1={螺钉由1号机器生产}，B2={螺钉由2号机器生产}，B3={螺钉由3号机器生产}，
则P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25，
P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01，
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+
P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.40+0.01×0.25=0.021，
所以P(B2|A)==.
3.(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的有
( )
A.P(B)=
B.P(B|A1)=
C.事件B与事件A1是互斥事件
D.A1，A2，A3是两两互斥的事件
【解析】选BD.由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)==，P(A2)==，P(A3)=，
P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，而
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+
P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.事件B与事件A1不是互斥事件.
4.根据以往临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果，若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”.且有P(A|C)=0.95，P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，则P(C|A)约为
( )
A.0.05
B.0.95
C.0.087
D.0.995
【解析】选C.因为P(A|C)=0.95，P(C)=0.005，P(|)=0.95，则P(A|)=1-P(|)=0.05，P()=0.995，
所以P(C|A)==≈0.087.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.某保险公司认为，人可以分为两类，第一类容易出事故；另一类，则是比较谨慎，保险公司统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为________.?
【解析】设A表示“客户购买保险单后一年内出一次事故”，B表示“他属于容易出事故的人”.
P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.3×0.04+(1-0.3)×0.02=0.026.
答案：0.026
6.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应，由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占的比例为2∶3∶5，混合在一起，从中任取一件，则此产品为正品的概率为________；现取到一件产品为正品，则它是由甲、乙、丙三个厂中________厂生产的可能性大.?
【解析】设事件A表示“取到产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”.
由已知P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，
P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.9，
P(A|B3)=0.8，P(A)=P(Bi)P(A|Bi)
=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
P(B1|A)==≈0.220
9，
P(B2|A)==≈0.314
0，
P(B3|A)==≈0.465
1，
0.465
1>0.314
0>0.220
9，故由丙厂生产的可能性最大.
答案：0.86 丙
三、解答题(每小题10分，共30分)
7.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
【解析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i=1，2，3.
由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+
P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3).
P(B1)=0.3，P(B2)=0.5，P(B3)=0.2，
P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.01，
故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+
P(B3)P(A|B3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013.
8.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若考生至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
【解析】设事件A为“该考生6道题全答对”，
事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”，
事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，
事件D为“该考生在这次考试中通过”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，
且D=A∪B∪C，E=A∪B，
所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=，
P(E|D)=P((A∪B)|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=，
即所求概率为.
9.轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400，200，100(米)的概率分别是0.5，0.3，0.2，又设它在距目标400，200，100(米)时的命中率分别是0.01，0.02，0.1.求目标被命中的概率.
【解析】设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”，设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”，
设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”，
用事件B表示“目标被击中”.
由题意，P(A1)=0.5，
P(A2)=0.3，
P(A3)=0.2，且A1、A2、A3构成一个完备事件组.又已知
P(B|A1)=0.01，P(B|A2)=0.02，
P(B|A3)=0.1.
由全概率公式得到：P(B)=P(B|A1)P(A1)+
P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.
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课时素养检测八 条
件
概
率
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)=，P(AB)=×，
所以P(B|A)==.
2.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由题意可知，n(B)=22=12，n(AB)==6.所以P(A|B)===.
3.在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A，则P(A)==，第一次摸得红球，第二次也摸得红球为事件B，则P(B)==，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P===.
4.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
5.抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.抛掷红、黄两颗骰子共有6×6=36个样本点，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积大于20包含4×6，6×4，6×5，6×6共4个基本事件.所以其概率为=.
6.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B，由题意，可得：P(A)==，P(B|A)==，P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.
所以两次都取到红球的概率是.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两骰子点数之和大于8的概率为________.?
【解析】令A=“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B=“两骰子点数之和大于8”，
则A={(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，AB={(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.所以P(B|A)===.
答案：
8.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________.?
【解析】由已知得，P(AB)=，P(B|A)=，
所以P(A)===.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回.若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率.
【解析】设Ai={第i只是好的}(i=1，2)，由题意知要求出P(A2|A1).
方法一：因为P(A1)==，P(A1A2)==，
所以P(A2|A1)==.
方法二：因为事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)=.
10.从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率.
【解析】设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3的倍数”，则P(C)=，且所求概率为
P((A∪B)|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)
=+-
=2×=.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)=，P(AB)=×=，则所求概率为P(B|A)===.
2.吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命.据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病的概率为
( )
A.
B.
C.
D.不确定
【解析】选A.记事件A：某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，记事件B：某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病，则事件B|A：某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病，则AB=A∩B=B，P(A)=1-0.02=0.98，P(B)=1-0.16=0.84，
因此，P(B|A)====.
3.书架上有三本数学书和两本语文书，某同学一共取了两次书，每次取一本，取后不放回，若第一次从书架上取出一本语文书记为事件A，第二次从书架上取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率P(B|A)的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.事件A发生的概率P(A)=，事件AB同时发生的概率P(AB)==，所以P(B|A)==.
4.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.P(A)==，P(AB)==，
P(B|A)==.
二、填空题(每小题5分，共20分)
5.在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________.?
【解析】方法一：设A={第一次取到不合格品}，
B={第二次取到不合格品}，则P(AB)=，
所以P(B|A)===.
方法二：第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.
答案：
6.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________.?
【解析】设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B)，而P(AB)==，P(B)==.所以P(A|B)==.
答案：
7.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于3”为事件A.“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B，则P(B|A)=________.?
【解析】满足事件A的情况有红骰子向上的点数为4，5，6，所以P(A)==，同时满足事件AB的情况有红骰子向上的点数为4，5，6，蓝骰子对应点数为4，3，2，所以P(AB)==，所以P(B|A)===.
答案：
8.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83
乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)=________，P(A|B)=________.?
【解析】由题意知，P(AB)=×=，P(B)==，根据条件概率的计算公式得P(A|B)===.
答案：
三、解答题(每小题10分，共30分)
9.盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.
【解析】已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P==.
10.盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球.玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【解析】由题意得球的分布如表：
玻璃球
木质球
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
设A={取得蓝球}，B={取得玻璃球}，
方法一：则P(A)=，P(AB)==.
所以P(B|A)===.
方法二：因为n(A)=11，n(AB)=4，
所以P(B|A)==.
11.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
【解析】(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)=，P(AB)==，
所以P(B|A)==，所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，
P(A1)=，P(A1B1)==，所以P(B1|A1)===，所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.
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