第三章
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某人在打靶中连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
解析：连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”．
答案：C
2．下列试验中，是古典概型的有( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为(250±0.6)
mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径d，检测其是否合格
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：只有C具有古典概型的有限性与等可能性．
答案：C
3．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．既不互斥又不对立事件
解析：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
答案：C
4．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，以此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝.
答案：B
5．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：连接AC，交弧DE于P(图略)．由题意知，∠BAC＝.弧PE的长度为，弧DE的长度为，则直线AP与线段BC有公共点的概率是P＝÷＝.
答案：A
6．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量小于4.85
g的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是( )
A．0.62
B．0.38
C．0.02
D．0.68
解析：质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率为0.32－0.3＝0.02.
答案：C
7．在区域’内任意取一点P(x，y)，则x2＋y2<1的概率是( )
A．0
B.－
C.
D．1－
解析：所有基本事件构成的区域为边长为1的正方形，而满足条件的点构成的区域为圆心在原点，半径为1的圆在第一象限的部分即的圆，所以P＝×＝.
答案：C
8．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，当A′位于B或C点时，AA′长度等于半径，此时∠BOC＝120°，
则优弧长度为πR.
故所求概率P＝＝.
答案：B
9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为P＝＝.
答案：A
10．如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )
A.
B.
C．10
D．不能估计
解析：利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为×(5×2)＝.
答案：A
11．在正方形ABCD内随机生成n个点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有m个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：依题意，设正方形的边长为2a，则该正方形的内切圆半径为a，于是有≈，即π≈，即可估计圆周率π的近似值为，选C.
答案：C
12．为了调查某厂2
000名工人生产某种产品的能力，随机调查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，
设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．
则选取这2人不在同一组的概率为.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球)，则P(A)＝___________；P(B)＝_________；P(C∪D)＝________.
解析：由古典概型的算法可得P(A)＝＝，
P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
答案：
14．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
解析：满足log2xy＝1的x，y有(1,2)，(2,4)，(3,6)这3种情况，而总的可能数为36种，所以P＝＝.
答案：
15．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
解析：从五点中随机取两点，共有10种情况．
如图，在正方形ABCD中，O为中心，
因为正方形的边长为1，
所以两点距离为的情况有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)共4种，故P＝＝.
答案：
16．如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．
解析：因为矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，
所以＝＝，所以S阴＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C.(2)B与E.(3)B与D.(4)B与C.(5)C与E.
解析：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件B不发生会导致事件E一定发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
18．(12分)盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．
解析：记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
19．(12分)甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张．甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求：
(1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少？
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率．
解析：根据题意画出如图所示的树状图．
由树状图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等．
(1)只有1个元音字母的结果有5个，
所以P(1个元音字母)＝；
有2个元音字母的结果有4个，
所以P(2个元音字母)＝＝；
有3个元音字母的结果有1个，
所以P(3个元音字母)＝.
(2)全是辅音字母的结果有2个，
所以P(3个辅音字母)＝＝.
20．(12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
21．(12分)平面上一长为12厘米，宽为10厘米的矩形内有一个半径为1厘米的圆，圆心在矩形的对角线的交点O上，把一枚半径为1厘米的硬币随机地抛在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆相碰的概率．
解析：要使硬币完全落在矩形内部，则硬币的圆心应在矩形内且与矩形的四条边距离不小于1厘米的虚线矩形区域内，所以可能构成的区域面积为10×8＝80.
要使硬币与圆O不相碰，则硬币的圆心应在图中虚线圆的外部，所以所求事件的可能情况所构成区域的面积应为80－π×22＝80－4π.
所以硬币不与圆相碰的概率为P＝＝1－.
22．(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解析：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件数共5个，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，
即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
则事件B包含的基本事件数共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共有5个．
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.
因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
PAGE课时作业18 模拟方法——概率的应用
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝＝.
答案：C
2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|>1的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，
所以P＝＝.
答案：A
3．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB
”发生的概率为，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，
在矩形ABCD中，以B，A为圆心，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E，F为CD的四等分点，设AB＝4，则DF＝3，AF＝AB＝4，在直角三角形ADF中，AD＝＝，所以＝.
答案：D
4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是( )
A.
B.
C.
D．无法计算
解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝＝＝，解得S＝.
答案：C
5．已知方程x2＋3x＋＋1＝0，若p在[0,10]中随机取值，则方程有实数根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0,10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×≥0，得p≤5，所以对应区间[0,5]，长度为5，所以所求概率为＝.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
解析：[－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
解析：如图，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.
答案：
8．一个球形容器的半径为3
cm，里面装有纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1
mL水(体积为1
cm3)，含有感冒病毒的概率为________．
解析：水的体积为πR3＝π·33＝36π(cm3)＝36π(mL)，则含感冒病毒的概率为P＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．
解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝＝＝＝.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使M－ABCD的体积小于的概率．
解析：设点M到面ABCD的距离为h，
则VM－ABCD＝S底ABCD·h＝，即h＝.
所以只要点M到面ABCD的距离小于时，即满足条件．
所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以面ABCD为底，高为的长方体，其体积为.
又因为正方体体积为1，
所以使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为P＝＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体，∴P＝＝.故选B.
答案：B
12．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________．
解析：由－1≤log≤1得≤x＋≤2，即0≤x≤，故所求概率为＝.
答案：
13．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．
解析：如图所示：
以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是|x－y|≤15.
在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域，
由几何概型的概率公式得：P(A)＝＝＝＝.所以两人能会面的概率是.
14．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．
(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．
解析：(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25(个)．
函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.
因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a2≥4b”的概率为P＝.
(2)因为a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，所以a－b>1，此为几何概型，所以事件“f(1)>0”的概率为P＝＝.
PAGE课时作业
17 互斥事件
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是( )
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任何两个都互斥
D．任何两个都不互斥
解析：由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
答案：D
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机)，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
答案：D
3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：命题(1)不正确，命题(2)正确，命题(3)不正确．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两种事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．故选B.
答案：B
4．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝.
答案：C
5．某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
解析：该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件，而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件，即P(A)＝1－P(B)＝1－[P(C)＋P(D)]＝1－(0.2＋0.5)＝0.3.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“都是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；
④“至少有1件次品”和“都是正品”．其中互斥事件有________组．
解析：对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”显然是互斥事件；
对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件；
对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；
对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件．
答案：2
7．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，出现二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________．
解析：出现一级品的概率为0.98－0.21＝0.77；
出现三级品的概率为1－0.98＝0.02.
答案：0.77,0.02
8．某战士射击一次中靶的概率为0.95，中靶环数大于5的概率为0.75，则中靶环数大于0且小于6的概率为________．(只考虑整数环数)
解析：因为事件A某战士射击一次“中靶的环数大于5”与事件B某战士射击一次“中靶的环数大于0且小于6”是互斥事件，P(A∪B)＝0.95.所以P(A)＋P(B)＝0.95，所以P(B)＝0.95－0.75＝0.2.
答案：0.2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
解析：记“有i人排队等候”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，“有5人及5人以上排队等候”为事件B，
则A0，A1，A2，A3，A4，及B是互斥事件且P(A0)＝0.1，
P(A1)＝0.16，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.3，
P(A4)＝0.1，P(B)＝0.04.
(1)至多2人排队等候的概率为
P＝P(A0∪A1∪A2)＝P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56
(2)至少3人排队等候的概率为
P＝1－P(A0∪A1∪A2)＝1－0.56＝0.44.
10．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．
解：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1，A2，A3，A4，由题意知，A2，A3，A4彼此互斥，
所以P(A2∪A3∪A4)＝P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.
又因为A1与A2∪A3∪A4互为对立事件，
所以P(A1)＝1－P(A2∪A3∪A4)＝1－0.76＝0.24.
因为A1与A2互斥，且A＝A1∪A2，
所以P(A)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.24＋0.28＝0.52.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
解析：用Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件，故选B.
答案：B
12．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝________.
解析：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4
故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
答案：
13．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1
000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解析：(1)因为每1
000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
所以P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
14．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
年降水量(mm)
(0,200]
(200,250]
(250,300]
(300,350]
(350,400]
概率
0.27
0.3
0.21
0.14
0.08
求：(1)年降水量在(200,300](mm)范围内的概率；
(2)年降水量在(250,400](mm)范围内的概率；
(3)年降水量不大于350
mm的概率．
解析：(1)设事件A＝{年降水量在(200,300](mm)范围内}．
它包含事件B＝{年降水量在(200,250](mm)范围内}和事件C＝{年降水量在(250,300](mm)范围内}两个事件．
因为B，C这两个事件不能同时发生，所以它们是互斥事件，
所以P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)，
由已知得P(B)＝0.3，P(C)＝0.21，
所以P(A)＝0.3＋0.21＝0.51.
即年降水量在(200,300](mm)范围内的概率为0.51.
(2)设事件D＝{年降水量在(250,400](mm)范围内}，
它包含事件C＝{年降水量在(250,300](mm)范围内}、事件E＝{年降水量在(300,350](mm)范围内)、事件F＝{年降水量在(350,400](mm)范围内}三个事件，
因为C，E，F这三个事件不能同时发生，所以它们彼此是互斥事件，
所以P(D)＝P(C∪E∪F)＝P(C)＋P(E)＋P(F)，
由已知得P(C)＝0.21，P(E)＝0.14，P(F)＝0.08，
所以P(D)＝0.21＋0.14＋0.08＝0.43.
即年降水量在(250,400](mm)范围内的概率为0.43.
(3)设事件G＝{年降水量不大于350
mm)，
其对立事件是“年降水量在350
mm以上”，即事件F，
所以P(G)＝1－P(F)＝1－0.08＝0.92.
即年降水量不大于350
mm的概率为0.92.
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课时作业
16 古典概型的特征和概率计算公式
建立概率模型
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为( )
A．1 B．2
C．3
D．4
解析：因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本事件是3个．
答案：C
2．设a是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：基本事件总数为6，若方程有不相等的实根，则a2－8>0，满足上述条件的a为3,4,5,6，故P(A)＝＝.
答案：A
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六个，甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P＝＝.
答案：C
4．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
答案：B
5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：利用古典概型求解．
设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有：
(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
所以其概率为＝.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2016年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是________．
解析：事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”．某城市没有入选的可能的结果有四个，故“济南没有被选入”的概率为，所以其对立事件“济南被选入”的概率为P＝1－＝.
答案：
7．从52张扑克牌(没有大小王)中随机地抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率是________．
解析：在52张牌中，J，Q和K共12张，故是J或Q或K的概率是＝.
答案：
8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为________．
解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的基本事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3
m的基本事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，故所求概率为0.2.
答案：0.2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自福建省，D，E，F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
(1)列举所有企业的中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？
解析：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共有15种，以上就是中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为＝.
10．某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：
(1)头两位数字都是8的概率；
(2)头两位数字都不超过8的概率．
解：电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本事件总数为n＝108.
(1)记“头两位数字都是8”为事件A，则若事件A发生，头两位数字都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1＝106.所以由古典概型概率公式，得P(A)＝＝＝＝0.01.
(2)记“头两位数字都不超过8”为事件B，则事件B的头两位数字都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，故事件B所包含的基本事件数为m2＝81×106.所以由古典概型概率公式，得P(B)＝＝＝0.81.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是.
答案：C
12．第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着1路或5路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是________．
解析：∵4种公共汽车先到站共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，
∴P＝＝.
答案：
13．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解析：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，其15种．
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝＝.
14．一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1
000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：
(1)有一面涂有色彩的概率；
(2)有两面涂有色彩的概率；
(3)有三面涂有色彩的概率．
解析：在1
000个小正方体中，一面涂有色彩的有82×6个，两面涂有色彩的有8×12个，三面涂有色彩的有8个，所以
(1)一面涂有色彩的概率为P1＝＝0.384；
(2)两面涂有色彩的概率为P2＝＝0.096；
(3)三面涂有色彩的概率为P3＝＝0.008.
PAGE课时作业
15 频率与概率
生活中的概率
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列事件中，是随机事件的是( )
A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为2,3,4的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
解析：A为必然事件，B、C为不可能事件．
答案：D
2．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
答案：D
3．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：由概率与频率的有关概念知，C正确．
答案：C
4．下列说法一定正确的是( )
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况
C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
解析：因为随机事件发生的概率与试验次数无关，概率是事件发生的可能性，但并不能确定在一次试验中事件一定发生或不发生，所以应选D.
答案：D
5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A．0.35 B．0.45
C．0.55
D．0.65
解析：在区间[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为＝0.45.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是________(填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．
解析：由题意知该事件为必然事件．
答案：必然
7．姚明在一个赛季中共罚球124个，其中投中107个，设投中为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．
解析：因共罚球124个，其中投中107个，所以事件A出现的频数为107，事件A出现的频率为.
答案：107
8．给出下列四个命题：
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件；
②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；
③若loga(x－1)>0，则x>1是必然事件；
④对顶角不相等是不可能事件．
其中正确命题是________．
解析：∵|x|≥0恒成立，∴①正确；
奇函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时才有f(0)＝0，
∴②正确；由loga(x－1)>0知，当a>1时，x－1>1即x>2；
当0∴③正确，④正确．
答案：①②③④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a.
(2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签．
(3)没有水分，种子发芽．
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫．
(5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾．
解析：结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知(1)是必然事件；(3)，(5)是不可能事件；(2)，(4)是随机事件．
10．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．
解析：(1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}．
(2)A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
(3)①这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}．
②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( )
A．男女、男男、女女
B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女
D．男男、女女
解析：用列举法知C正确．
答案：C
12．在必修2的立体几何课上，小明同学学完了简单组合体的知识后，动手做了一个不规则形状的五面体，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为________．
解析：落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35.所以频率＝＝0.35.
答案：0.35
13．某同学认为：“将一颗骰子掷1次得到6点的概率是，这说明将一颗骰子掷6次一定会出现1次6点．”这种说法正确吗？说说你的理由．
解：这种说法是错误的．因为将一颗骰子掷1次得到6点是一个随机事件，在一次试验中，它可能发生，也有可能不发生，将一颗骰子掷6次就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现6点，也有可能不出现6点，所以6次试验中有可能1次6点也不出现，也可能出现1次，2次，…，6次．所以概率是大量随机事件的客观规律，是事件的本质属性，不是在6次试验中一定出现一次6点向上的这一事件．
14．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
解析：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
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