8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学案

8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课标解读
课标要求
核心素养
通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法.(重点)
通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算,培养直观想象、数学运算的核心素养.
问题1:有这样一个问题:“用铁皮做一个无盖的长方体铁皮箱,铁皮箱长8
dm,宽6
dm,高5
dm,做这个铁皮箱至少需要多少铁皮?”解决本题的关键是什么?
问题2:有这样一个问题:“如图,左边是一个装满了果汁的饮料盒,右边是一个茶杯,茶杯的底面积是20
cm2,高是8
cm.如果把饮料盒内的果汁全部倒入右边的茶杯里,能倒满几杯?”解决本题的关键是什么?
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
(1)棱柱的体积:
由特殊到一般:正方体的体积V正方体=①a3(a是正方体的棱长),
长方体的体积V长方体=②abc(a,b,c分别是长方体的长、宽、高),
一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=③Sh.
思考1:等底、等高的两个棱柱的体积有何关系?
提示　等底、等高的两个棱柱的体积相等.
(2)棱锥的体积:
一般地,如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么棱锥的体积V棱锥=④Sh.
(3)棱台的体积:
方法一:两个棱锥的体积差.
方法二:体积公式:
V棱台=⑤h(S'++S),其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.
思考2:如何求棱台的高?
提示　方法一:根据轴截面求两底面之间的距离;方法二:大棱锥的高减去小棱锥的高.
探究一　棱柱、棱锥、棱台的表面积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　已知正四棱锥的底面边长为4,高与斜高之间的夹角为30°,求它的侧面积和表面积.
1-1　某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为(　　)
A.180
B.200
C.220
D.240
1-2　一个正四棱台的上底面是边长为8
cm的正方形,下底面是边长为18
cm的正方形,侧棱长为13
cm,则其表面积为　　　　.?
探究二　棱柱、棱锥、棱台的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(1)(易错题)已知正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为　　　　　　.?
(2)已知正四棱台两底面边长分别为20
cm和10
cm,侧面积是780
cm2,求正四棱台的体积.
　
2-1　一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(各视图均为直角三角形),则该三棱锥的体积为(　　)
A.4
B.8
C.16
D.24
2-2　已知棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是(　　)
A.18+6
B.6+2
C.24
D.18
　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
1.棱长都是1的三棱锥的表面积为(　　)
A.
B.2
C.3
D.4
2.一个正方体的体积是a,表面积是2a,则a等于(　　)
A.3
B.6
C.27
D.54
3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,则剩余部分的体积为　　　　　.?
4.若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　　　　　.?
5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,求三棱锥D1-EDF的体积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.将两个棱长为10
cm的正方体铜块熔化后铸成一个底面边长为5
cm的正四棱柱铜块,则该正四棱柱铜块的高为(　　)
A.8
cm
B.80
cm
C.40
cm
D.
cm
2.正方体表面积增大为原来的2倍,则它的体积增大为原来的(　　)
A.2倍
B.4倍
C.倍
D.2倍　
3.正四棱柱的底面积为P,过两相对侧棱的截面面积为Q,则该正四棱柱的体积是(　　)
A.Q
B.Q
C.Q
D.Q
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积的比为(　　)
A.1∶1
B.1∶
C.1∶
D.1∶2
5.如图所示,从一个半径为1+的圆形纸板中切割出一块中间是正方形、四周是四个正三角形的纸板,以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥,则该正四棱锥的体积是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q为棱C1C的中点,则三棱锥C1-BD1Q的体积为　　　　.?
7.如图所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AC⊥BC,AC=4,BC=CC1=2.若用平行于三棱柱A1B1C1-ABC某一侧面的平面去截此三棱柱,使得到的两个几何体能够拼接成长方体,则拼接的长方体表面积的最小值为　　　　　.?
8.如图,正三棱锥O-ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.
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