10.3.1频率的稳定性 学案2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册Word

10.3.1　频率的稳定性
(教师独具内容)
课程标准：结合实例，会用频率估计概率．
教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．
教学难点：频率与概率的区别与联系．
核心素养：通过实例抽象出频率的稳定性，理解频率与概率的区别与联系发展数学抽象素养和逻辑推理素养.
1．频率随着试验次数的变化而变化，而概率是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．
2．在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率．
3．概率是频率的稳定值．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．(　　)
(2)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．(　　)
(3)频率是概率的估计值．(　　)
(4)概率是频率的稳定值．(　　)
2．做一做
(1)下列说法正确的是(　　)
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
(2)下列说法正确的是(　　)
A．某事件A发生的概率为1.09
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．随机事件发生的频率是一个确定的值
D．随机事件发生的概率随着试验次数的变化而变化
(3)历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验，结果如下表：
试验者 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m) 频率
德·摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的概率为(　　)
A．0.51 B．0.49
C．0.50 D．0.52
题型一 频率与概率的关系
例1　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 频数 频率
[500,900) 48
[900,1100) 121
[1100,1300) 208
[1300,1500) 223
[1500,1700) 193
[1700,1900) 165
[1900，＋∞) 42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
[跟踪训练1]　有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：
一发次数n 10 20 50 100 200 500
甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450
一发成功的频率





一发次数n 10 20 50 100 200 500
乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453
一发成功的频率





请根据以上表格中的数据回答下列问题：
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．
题型二 游戏的公平性
例2　某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字(不考虑指针落在分界线上的情况)相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[跟踪训练2]　有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字(不考虑指针落在分界线上的情况)即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
题型三 概率的含义
例3　某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
[跟踪训练3]　有以下说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是____.
题型四 频率的稳定性在实际生活中的应用
例4　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[跟踪训练4]　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
1．下列说法正确的是(　　)
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
2．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到号码为奇数的频率是(　　)
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
3．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小
B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率
C．百分率是频率，但不是概率
D．频率是不能脱离具体的n次的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值
4.玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则____(填“公平”或“不公平”)．
5.某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区域的频率





(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
一、选择题
1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用A表示正面朝上这一事件，则事件A的(　　)
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为(　　)
A. B．
C． D．
3．一个样本量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别 [0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在(10,40]上的频率为(　　)
A．0.13 B．0.39
C．0.52 D．0.64
4．一个保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%.”他的说法(　　)
A．正确 B．不正确
C．有时正确，有时不正确 D．应由气候条件确定
5．(多选)下列结论错误的是(　　)
A．若事件A的概率为P(A)，则必有0B．若事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
二、填空题
6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶．在这次练习中，这个人中靶的频率是____，中9环的频率是____.
7．甲、乙两人是一对好朋友，他俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？甲对乙说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏公平吗？____(“公平”或“不公平”)．
8.样本量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算样本数据落在[6,10)内的频数为____，估计数据落在[2,10)内的概率约为____.
三、解答题
9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径 个数
直径 个数
6.88＜d≤6.89 1
6.93＜d≤6.94 26
6.89＜d≤6.90 2
6.94＜d≤6.95 15
6.90＜d≤6.91 10
6.95＜d≤6.96 8
6.91＜d≤6.92 17
6.96＜d≤6.97 2
6.92＜d≤6.93 17
6.97＜d≤6.98 2
从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
10．某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示：
鱼卵数 200 600 900 1200 1800 2400
孵化出的鱼苗数 188 548 817 1067 1614 2163
孵化成功的频率 0.940 0.913 0.908 ① 0.897 ②
(1)表中①②对应的频率分别为多少(结果保留三位小数)?
(2)估计这种鱼卵孵化成功的概率；
(3)要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个(精确到百位)?
1．(多选)有以下一些说法，其中正确的有(　　)
A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖
C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的
2．下面有三个游戏，其中不公平的游戏是(　　)
游戏1 游戏2 游戏3
3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球
不放回地依次取2个球 任取1个球 不放回地依次取2个球
取出的2个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的2个球同色→甲胜
取出的2个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的2个球不同色→乙胜
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
3．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为____双．
4．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
5.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径(将频率视为概率)．
10.3.1　频率的稳定性
(教师独具内容)
课程标准：结合实例，会用频率估计概率．
教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．
教学难点：频率与概率的区别与联系．
核心素养：通过实例抽象出频率的稳定性，理解频率与概率的区别与联系发展数学抽象素养和逻辑推理素养.
1．频率随着试验次数的变化而变化，而概率是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．
2．在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率．
3．概率是频率的稳定值．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．(　　)
(2)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．(　　)
(3)频率是概率的估计值．(　　)
(4)概率是频率的稳定值．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．做一做
(1)下列说法正确的是(　　)
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
(2)下列说法正确的是(　　)
A．某事件A发生的概率为1.09
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．随机事件发生的频率是一个确定的值
D．随机事件发生的概率随着试验次数的变化而变化
(3)历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验，结果如下表：
试验者 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m) 频率
德·摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的概率为(　　)
A．0.51 B．0.49
C．0.50 D．0.52
答案　(1)C　(2)B　(3)C
题型一 频率与概率的关系
例1　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 频数 频率
[500,900) 48
[900,1100) 121
[1100,1300) 208
[1300,1500) 223
[1500,1700) 193
[1700,1900) 165
[1900，＋∞) 42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
[解]　(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
估算法求概率
(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．
(2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
[跟踪训练1]　有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：
一发次数n 10 20 50 100 200 500
甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450
一发成功的频率





一发次数n 10 20 50 100 200 500
乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453
一发成功的频率





请根据以上表格中的数据回答下列问题：
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．
解　(1)
一发次数n 10 20 50 100 200 500
甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450
一发成功的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9
一发次数n 10 20 50 100 200 500
乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453
一发成功的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906
(2)由(1)中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.
题型二 游戏的公平性
例2　某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字(不考虑指针落在分界线上的情况)相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[解]　该方案是公平的．理由如下：
各种情况如表所示：
和
4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
游戏规则公平的判断标准
(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
(2)例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等．
[跟踪训练2]　有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字(不考虑指针落在分界线上的情况)即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解　(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性.
题型三 概率的含义
例3　某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
[解]　如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
对概率的正确理解
(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．
(2)任何事件的概率都是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．
(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．
(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.
[跟踪训练3]　有以下说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是____.
答案　①②③
解析　①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…次品，故④正确.
题型四 频率的稳定性在实际生活中的应用
例4　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
(1)解决这类问题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
[跟踪训练4]　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，
所以Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
1．下列说法正确的是(　　)
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
答案　D
解析　注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键．A的结果是频率，不是概率；B，C两项都没有正确理解概率的含义，D正确．
2．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到号码为奇数的频率是(　　)
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
答案　A
解析　取到的卡片号码为奇数的频数为10＋8＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.故选A.
3．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小
B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率
C．百分率是频率，但不是概率
D．频率是不能脱离具体的n次的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值
答案　AD
解析　由频率与概率的定义及关系可知A，D正确，B，C错误．故选AD.
4.玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则____(填“公平”或“不公平”)．
答案　不公平
解析　由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平．
5.某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区域的频率





(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
解　(1)
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.
一、选择题
1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用A表示正面朝上这一事件，则事件A的(　　)
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
答案　B
解析　事件A＝“正面朝上”的概率为，因为试验次数较少，所以事件A的频率为，与概率值相差太大，并不接近．故选B.
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　∵第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等可能发生，∴所求概率为P＝.
3．一个样本量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别 [0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在(10,40]上的频率为(　　)
A．0.13 B．0.39
C．0.52 D．0.64
答案　C
解析　(10,40]包含(10,20]，(20,30]，(30,40]三部分．所以数据在(10,40]上的频数为13＋24＋15＝52，由fn(A)＝可得频率为0.52.故选C.
4．一个保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%.”他的说法(　　)
A．正确 B．不正确
C．有时正确，有时不正确 D．应由气候条件确定
答案　B
解析　在大多数时候，人是不得病的，得病与不得病的概率不相等，故选B.
5．(多选)下列结论错误的是(　　)
A．若事件A的概率为P(A)，则必有0B．若事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
答案　ABD
解析　A错误，因为0≤P(A)≤1；当事件A的概率P(A)＝1时，事件A才是必然事件，故B错误；C正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D错误．故选ABD.
二、填空题
6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶．在这次练习中，这个人中靶的频率是____，中9环的频率是____.
答案　0.9　0.3
解析　打靶10次，9次中靶，1次脱靶，所以中靶的频率为＝0.9；其中有3次中9环，所以中9环的频率是＝0.3.
7．甲、乙两人是一对好朋友，他俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？甲对乙说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏公平吗？____(“公平”或“不公平”)．
答案　公平
解析　向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”“反正”“正反”“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
8.样本量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算样本数据落在[6,10)内的频数为____，估计数据落在[2,10)内的概率约为____.
答案　64　0.4
解析　样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率，知所求概率约为0.4.
三、解答题
9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径 个数
直径 个数
6.88＜d≤6.89 1
6.93＜d≤6.94 26
6.89＜d≤6.90 2
6.94＜d≤6.95 15
6.90＜d≤6.91 10
6.95＜d≤6.96 8
6.91＜d≤6.92 17
6.96＜d≤6.97 2
6.92＜d≤6.93 17
6.97＜d≤6.98 2
从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
解　(1)事件A的频率f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.
10．某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示：
鱼卵数 200 600 900 1200 1800 2400
孵化出的鱼苗数 188 548 817 1067 1614 2163
孵化成功的频率 0.940 0.913 0.908 ① 0.897 ②
(1)表中①②对应的频率分别为多少(结果保留三位小数)?
(2)估计这种鱼卵孵化成功的概率；
(3)要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个(精确到百位)?
解　(1)≈0.889，≈0.901，
所以①②对应的频率分别为0.889,0.901.
(2)从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.
(3)大概需要鱼卵≈5600(个)．
1．(多选)有以下一些说法，其中正确的有(　　)
A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖
C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的
答案　AC
解析　根据概率的意义逐一判断可知A，C正确，B，D不正确．故选AC.
2．下面有三个游戏，其中不公平的游戏是(　　)
游戏1 游戏2 游戏3
3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球
不放回地依次取2个球 任取1个球 不放回地依次取2个球
取出的2个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的2个球同色→甲胜
取出的2个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的2个球不同色→乙胜
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
答案　D
解析　游戏1中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．
3．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为____双．
答案　60
解析　因为第1,2,4组的频数分别为6,7,9，所以第1,2,4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．
4．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解　(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，
由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1000＝100(位)，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
5.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径(将频率视为概率)．
解　(1)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(1)，知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
因为P(B2)>P(B1)，所以乙应选择路径L2.