2020-2021学年人教版八年级数学下册第十七章勾股定理教材分析

第十七章
勾股定理
教材分析
一、本章地位与作用
在前面学习三角形的基本性质后，研究了当三角形的边满足相等条件时的图形，即等腰三角形、等边三角形的相关知识，还研究了当三角形的一个角是90度时，即直角三角形中角的相关性质.
对于直角三角形三边的性质将在本章进行研究.
本章主要内容是勾股定理及其逆定理，
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。它可以用来解决许多直角三角形的计算问题，是解直角三角形的重要工具之一.
勾股定理搭建起了几何图形与边的数量关系之间的桥梁,
把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成三边之间数量关系（满足），它不仅是平面几何中的重要定理，而且是三角学、解析几何学、微积分学等的基础.
同时，本章对于渗透数学文化有着非常好的载体，可以利用相关素材培养学生的民族自豪感，开展学科德育.
二、课标要求及本章学习目标
课标要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
学习目标：
1.
经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，会用这两个定理解决一些几何问题；
2.
初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，能用这两个定理解决一些简单的实际问题；
3.
通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
4.
通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感；通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的自信心.
三、本章知识结构图
四、课时安排
本章教学时间约需要9课时,
具体安排如下（仅供参考）:
17.1
勾股定理
4课时
17.2
勾股定理的逆定理
3课时
数学活动
小结
2课时
五、教学建议
1.
让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
教材对勾股定理的教学设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程．先是等腰直角三角形，到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论，最后用赵爽证法加以证明．类似地，对于勾股定理的逆定理，也设计了“实验测量—猜想—论证”的完整过程．通过教师的引导，学生能完整地经历通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明的全过程．
2.
以本章内容为载体，渗透数学文化，培养学生的民族自豪感
在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣.
人们对勾股定理的证明进行了大量的研究，这些证明不仅证出了定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展.
除正文介绍的有关内容外，教科书在“阅读与思考
勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了数学活动鼓励学生收集一些证明方法与同学交流.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的爱国热情，培养他们的民族自豪感，在传授知识的同时进行良好的情感态度价值观的教育.
培养学生分析问题、解决问题的能力
本章内容相对不多，但教学内涵很丰富，勾股定理和逆定理不仅在数学理论体系中有着重要的地位，定理本身也有重要的实际应用价值.不仅要重视学生观察、猜想能力的培养，而且要重视从特殊到一般的逻辑思维能力的培养．既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而提高学好数学的能力与信心．另外，逆命题的教学也是一个难点，怎样写出一个命题的逆命题，逆命题是否一定成立？经过逻辑思考和证明后，学生的思维能力能得到有效的提高.
新旧知识的衔接与归纳整合
（1）几何图形与数量关系的桥梁
（2）归纳已学的直角三角形的性质与判定
（3）归纳已学的互逆定理
5.重视定理的应用
勾股定理及其逆定理的应用非常广泛，例如：折叠问题中的应用、解斜三角形、古代数学问题、生活实际问题等.可以通过设计专题教学，帮助学生体会建模思想，积累解决问题的经验.
6.重视渗透数学思想方法
勾股定理及其逆定理紧密联系了数学中的数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成三边之间的数量关系（满足），体现了数形结合、转化的数学思想.从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，利用勾股定理和方程思想解决问题.
这些数学思想需要在老师的引领下细细体会，进而提高学生分析和解决问题的能力．
六、具体教学内容建议
17.1
勾股定理
（一）勾股定理的探索和证明
1.体验勾股定理的探索过程，得到命题
（1）观察课本中P22的图形,
通过计算以一些直角三角形两直角边为边的小正方形的面积,与以斜边为边长的正方形的面积的关系,
发现勾股定理.从第一个等腰直角三角形到第二个一般直角三角形图形的探究，体现从特殊到一般的思想方法.
（2）通过图形计算，得到命题.
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,
教科书正文中介绍了赵爽弦图.利用拼图的方法验证勾股定理,其主要思路是:
①
图形经过割补拼接后,
只要没有重叠,
没有空隙,
面积不会改变；
②
根据拼出的不同图形的面积相同，利用不同的表示方法，列出等式，从而推导出勾股定理.
常见方法如下:
方法一:
,
,
化简可证．
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为,
大正方形面积为,
所以
方法三:
,
,
化简得证.
结合教材P30“阅读与思考”，布置自主学习作业，收集几种不同于教材中的证明方法，通过阅读思考，与同学分享学习成果和感受.开拓学生的思路，提高学习的兴趣.
（二）应用勾股定理求线段长
1.
勾股定理的多种表达式
如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么.
，，，，.
即在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长．
2.
基本步骤:
(1)确定是否为直角三角形（若不是，化斜为直）
(2)确定直角及斜边（斜边不同，表达式也不同；斜边不确定，分类讨论）
(3)利用方程思想或公式变形求边长
例1
在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）BC=3，AB=5，求AC；
（2）AC=3，BC=5，求AB；
（3）∠A=30°，BC=1，求AC，AB；
（4）∠A=30°，AB=1，求AC，BC；
（5）∠A=30°，AC=，求AC，BC.
小结：已知一特殊角和一边（斜边或一直角边）、已知两边（两直角边或一直角边和斜边）的三角形可解.
例2
在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）∠A=30°，求三边的比
（2）∠A=45°，求三边的比
小结：在特殊直角三角形中再认识勾股定理,体会到在特殊直角三角形中,已知一边一个特殊角,可求另外两条边.
熟记有关特殊三角形中的主要结论,同时也为后面三角函数的学习做铺垫.熟记常用勾股数的比值.
（1）含有30°的直角三角形的三边的比为1::2.
（2）含有45°的直角三角形的三边的比为.
（3）等边三角形的边长为,
则高为,
面积为.
3.归纳总结直角三角形的性质:
角的关系:
直角三角形两锐角互余.
边的关系:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
边角关系:
30°角所对的直角边等于斜边的一半
双垂图形:
双垂直图形中的线段、角的关系
练习：
在ABC中,
,
①若
;
②若____;
③若
；
直角三角形一条直角边与斜边分别为8和10，
则斜边上的高等于?
??
.
已知直角三角形的两边长分别为3和4,
则此三角形斜边上的高
．
如图,
△ABD中,
∠B=90°,
∠D=15°,
C是
BD上一点,
AC=CD=8cm,
则AB=____cm
,
BC=___cm.
等腰直角三角形的斜边长为,
则此直角三角形的腰长为
.
在ABC中,
,
且,
则
.
例3
（1）等腰三角形的周长是20cm,
底边上的高是6cm,
则底边的长为?
??
cm.
如图1，求出图中三角形的其它两边.
如图2，△ABC中，AB=AC，D在CB延长线上.求证：AD2-AB2=BD?CD.
如图3，在Rt△ABC中，AD是高,AB=12,BC=13,求AC及AD．
如图4，图中每个四边形都是以直角三角形各边为边长构成的正方形，求正方形A、B、C、D面积的和.
例4
（1）已知：△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
（2）一块四边形的土地，其中，，
，，，求这块土地的面积.
小结：构造直角三角形的方法
（三）勾股定理的应用
1.
利用勾股定理作长为（n为正整数）的线段
任何有理数都可以用数轴上的点把它表示出来.同样，任何无理数也都可以用数轴上的点表示.利用勾股定理，可以作出长为（n是正整数）的线段，进而在数轴上画出表示（n是正整数）的点.一般直角边为正整数时，对于正整数n,可考虑将被开方数n用平方数的和表示.例如所以可构造以3，2为直角边的直角三角形斜边长即为，从而在数轴上画出表示的点.
2.
常见几何问题
例1
折叠问题
（1）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2．则AD=
cm，CE=
cm.
（2）已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，BC与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.
（3）已知:
如图,
矩形ABCD,
M、N分别为AB、CD的中点,
将A点折叠至MN上,
落在A'
点的位置,
折痕为BE.
①
求∠ABE的度数;
②
连结EN、BN,
若EN⊥BE,
BN
=,
求矩形ABCD的周长.
例2
平面直角坐标系中的勾股定理
平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点的距离是
;
平面直角坐标系中，两点P1(x1,
y1)和P2(x2,
y2)的距离是
.
求线段AB的长度;
（3）已知:
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10,
0）,
C（0,
4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______.
例3
图形拼接问题
（1）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,
两直角边长分别是,
斜边长为和一个边长为的正方形,
请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
①
画出拼成的这个图形的示意图．
②
证明勾股定理．
（2）如图所示的图形由五个单位正方形构成，请将它剪成若干块后拼成一个正方形.
试一试，最少剪成几块就行？
小结：（1）勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法,
题目中已知直角三角形可直接使用定理,
题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线分割或补全图形构建直角三角形后再使用定理.
（2）利用勾股定理解决几何计算问题,
方程思想,
分类讨论思想经常贯穿其中.
3.
利用勾股定理解决实际问题
例1
一个门框的尺寸如图所示:
（教材P25例1）
①
有一块长3米,
宽0.8米的薄木板能从门框内通过么？
②
若薄木板长3米,
宽1.5米呢？
③
若薄木板长3米,
宽2.2米呢？
例2
梯子下滑
（教材P25例2
略）
例3
《九章算术》中“引葭赴岸”问题
（教材P29
10
略）
例4
在一次夏令营活动中,
小明从营地A出发,
沿北偏东60°方向走了500米到达B点,
然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点．求A、C两地之间的距离.
例5
蚂蚁爬柱（教材P39
12
略）
小结：勾股定理解决实际问题,
（1）应注意审清题目信息，画出相应示意图，转化为数学问题.
（2）利用勾股定理解决立体图形表面的有关最短路径的问题,
通常首先要将立体图形转化为相应的平面图形，再来解决.
17.2勾股定理的逆定理
（一）勾股定理逆定理的猜想、证明与应用
几点建议：
1.
勾股定理的逆定理的证明对学生来说是一个难点，证明方法不太容易能想到，在教学时应该注意启发、引导.
通过计算来作判定,
学生对此比较陌生.学习勾股定理的逆定理,
对拓展学生思维,
进一步体会数学中各种方法的运用有较大的意义.
2.
多角度识别定理.
定理中及只是一种表现形式.
若三边长满足,
那么这个三角形是直角三角形,
此时是斜边.
3.
勾股定理的逆定理是判别一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状.
基本步骤：
　　(1)确定最大边;
　　(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;
　　(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等
当时，以为边的三角形是直角三角形（∠C=90°）；
当时，以为边的三角形是钝角三角形（90°<∠C
<
180°）；
当时，以为边的三角形是是锐角三角形（0°<∠C
<
90°）.
4.
准确叙述定理,
注意与勾股定理的区别与联系.
勾股定理的逆定理在用文字叙述时,
不能说成“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,
这个三角形是直角三角形.”因为只有逆定理成立了,
才能说明存在直角三角形,
从而才能出现斜边直角边的概念.
5.
归纳总结直角三角形的判定.
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
（3）两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形.
例1
根据下列条件,
判断△ABC是否是直角三角形
a=1,b=2,c=3;
②
;
③
;
④
例2
在△ABC中,
D是BC上一点,
AC=10,
CD=6,
AD=8,
AB=17,
求△ABC的面积.
例3
如图△ABC中,
∠C=90°,
M是CB的中点,
MD⊥AB于D,
请说明三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形.
练习:
(1)一个三角形三边之比为5：12：13，且周长为60厘米，则它的面积为
(2)已知：为△ABC的三边且满足，
试判断△ABC的形状.
(3)如图所示的一块地,
已知AD=4m,
CD=3m,
AD⊥DC,
AB=13m,
BC=12m,
求这块地的面积.
(4)已知AD是△ABC的高,
且,
试问△ABC的形状,
并说明理由.
（二）原命题、逆命题、逆定理的概念及关系
对互逆命题、互逆定理的概念，学生理解它们通常难度不大，但对那些不是以“如果……,那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……，那么……”的形式。要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题.
例
教材P38
6
略
七、本章相关拓展内容
(一)勾股数组和不定方程
勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形．因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．实际上，人们已经发现了一些求勾股数组的公式，用这种公式很容易找出许多勾股数组，
毕达哥拉斯学派提出的勾股数组公式为＝，，＝＋1，其中n为正整数．其特点是斜边与其中一直角边的差为1．如左图.
柏拉图提出的勾股数组公式为，，＝，其中为大于1的整数，则，，为勾股数．此时斜边与其中一直角边之差为2．
如右图.
以上这些表达式均未给出全部勾股数组．
世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数组公式为：
其中＞，，是互质的奇数，则，，为勾股数．
国外最先给出勾股数通解的是希腊的丢番图，其公式为：
，，，
其中m>n，m，n是互质且一奇一偶的任意正整数．
(二)图形一般化
勾股定理是给出一个直角三角形,两直角边上的两个正方形面积之和等于斜边上正方形的面积.假如各边上的正方形换成其它正多边形,如正三角形,正五边形......,它们的面积仍然有相同的数量关系.
勾股定理还可以推广到：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”.
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”.
以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边
为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙(希波克拉
底月牙)面积的和等于该直角三角形的面积。这个定理叫作
希波克拉底月牙定理.
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和.
(三)作长为的线段拓展
利用勾股定理可顺次作出长为……的线段,如作长为的线段,需构造出含边长为的直角三角形.
（1）写出三种用“构造斜边长为的直角三角形的方法”作长为的线段的方案。
（2）能否通过“构造直角边长为的直角三角形的方法”
来作长为
的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由.
（3）在（1）中，作长为的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为的线段，对于正整数，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由.
补充练习：
下列命题中，不正确的是（
）
A.
三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形;
B.
三边之比为1:
:2的三角形是直角三角形;
C.
三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形;
D.
三边之比为::2的三角形是直角三角形.
为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形
②能组成三角形
③能组成直角三角形
④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.
如图在由24个边长为1的正三角形组成的网格中,
P为一个格点,
以P为直角顶点作格点三角形（顶点均在
格点上）,
请你写出所有可能的直角三角形的斜边长_______.
4（1）如图1，在△ABC中，AB=8，AC=15，BC=17，求
.
（2）如图2，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求.
第4题（1）
第4题（2）
第5题
5.如图，已知中，，，边上的中线，求证：
6.
已知：a,b,c是ΔABC的三边，且a+b=4,ab=1,c=,试判断ΔABC的形状.
7.
如图，在△ABC中，∠B=30°,∠BAC=105°,AB=8.求BC的长.
8.已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2-，求BC的长.
在△ABC的三边
，且，判断△ABC的形状.
如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，AF=3FD，求证：BE⊥EF
11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9
B．6
C．4
D．3
12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（　　）
A．20
B．24
C．
D．
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