江苏省无锡市2012届高三上学期期末考试（数学）

无锡市2011年秋学期高三期末考试试卷
数 学 2012.1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡的相应位置上
已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为 ．
已知集合，，则 ．
不等式的解集为 ．
已知函数在单调递增，则的取值范围为 ．
随机抽取某产品件，测得其长度分别为，，，，若，，，，，则如右图所示的程序框图输出的 ．
输入
输出
结束
（第5题图）
函数（）的周期为，且函数图象关于点对称，则函数解析式为 ．
对于直线，和平面，，，有如下四个命题：
若，，则 （2）若，，则
若，，则 （4）若，，，则
其中正确命题的序号是 ．
直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是 ．
命题：已知椭圆，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为，则的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题：已知双曲线，，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一个动点，过作的 的垂线，垂足为，则的长为定值.
设是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则 ．
已知中，，，则面积的最大值为 ．
设点在平面区域中均匀分布出现，则双曲线的离心率满足的概率为 ．
设点是的三边中垂线的交点，且，则的范围是 ．
设函数，其中，对于任意的正整数（），如果不等式在区间有解，则实数的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本小题满分14分）
已知，，，.
若，求的值；
求的值.
16.（本小题满分14分）
如图，在正方体中，、、分别是，，的中点.
求证：（1）平面；
设是过的任一平面，求证：平面.
（本小题满分14分）
如图，，是单位圆上的两个质点，点坐标为，，质点以弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点以弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点作轴于，过点作轴于
求经过秒后，的弧度数；
求质点、在单位圆上第一次相遇所用的时间；
记的距离为，请写出与时间的函数关系式，并求出的最大值.
18.（本小题满分16分）
已知长轴在轴上的椭圆的离心率，且过点
求椭圆的方程；
若点为圆上任一点，过点作圆的切线交椭圆于、两点，求证：（为坐标原点）.
（本小题满分16分）
已知函数在处的切线方程为，为的导函数，（，，）.
求，的值；
若存在，使成立，求的范围.
20.（本小题满分16分）
设数列的前项积为，已知对，当时，总有（是常数）.
求证：数列是等比数列；
设正整数，，（）成等差数列，试比较和的大小，并说明理由；
（3）探究：命题：“对，当时，总有（是常数）”是命题：“数列是公比为的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
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是
否
B
A
y
x
O