(共31张PPT)
运用乘法公式进行计算
湘教版
七年级下
教学目标
进一步掌握平方差公式和完全平方公式；
1
3
2
学会可两次运用乘法公式的多项式乘法计算；
能运用乘法公式解决一些实际问题；
4
体会从整体分析、局部突破解决问题的意义。
新课导入
平方差公式、完全平方公式都是乘法公式。下面多项式的乘法可以用哪一个乘法公式进行计算？
(1)(3x+5)(3x-5)；
(2)(3x-5)(3x-5).
把3x看作a，把5看作b，则(3x+5)(3x-5)可看作(a+b)(a-b)，可用平方差公式计算.
(3x-5)(3x-5)=(3x-5)?可看作(a-b)?，可用完全平方公式计算.
新课导入
你能说出平方差公式和完全平方公式吗？
平方差公式:
(a+b)(a-b)=
完全平方公式：
a?+2ab+b?
(a+b)?=
a?-b?
注意：乘法公式中的a与b既可以是数，又可以是单项式和多项式.
(a-b)?=
a?-2ab+b?
有些多项式乘法看起来比较复杂，但是从整体上进行分析，就能发现计算的技巧。例如，在多项式乘法(3x+5)(3x-5)中，插入一个因式9x?-25，变成多项式的连乘式(3x+5)(9x?-25)(3x-5)，又如把(3x+5)(3x-5)看作一个整体，进行平方，变成多项式乘法的乘方运算[(3x+5)(3x-5)]?.这种看起来比较复杂的运算，其实都可以用乘法公式进行简算，你会计算吗？
例题讲解
新知讲解
(1)
(x+1)(x?+1)(x-1)=？
(2)
(x+y+1)(x+y-1)=？
合作探究
=(x2-1)(x2
+1)
解：(1)
(x+1)(x?+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x?+1)
交换律位置用平方差公式计算。
=
x4-1.
再用平方差公式。
课堂练习
(2)
(x+y+1)(x+y-1)
=[(x+y)+1][(x+y)-1]
=(x+y)?-1
=x?+2xy+y?-1.
把x+y看作“a”，用平方差公式。
再用完全平方公式.
合作探究
计算多项式的乘法，要着眼于整体观察各个多项式因式之间的联系，从局部寻找异同，发现能用乘法公式计算的结构特征。
例题讲解
运用乘法公式计算：
例8
(1)
[(a+3)(a-3)]?；
(2)(a-b+c)(a+b-c).
[(a+3)(a-3)]?中(a+3)(a-3)可用平方差公式计算.
(a-b+c)(a+b-c)中-b+c与b-c互为相反数，可变形为[a-(b-c)][a+(b-c)]，则可用平方差公式计算.
解：(1)
[(a+3)(a-3)]?
=(a2-9)?
=(a2)?-2·a?·9+9?
=
a4-18a?+81.
先用平方差公式，再用完全平方公式。
例题讲解
解：(2)(a-b+c)(a+b-c)
=a2-b2+2bc-c2
=a2-(b2-2bc+c2
)
=a2-(b-c)2
=[a-(b-c)]
[a+(b-c)]
把b-c看作一个整体，运用平方差公式.
例题讲解
合作探究
做一做
(a+b+c)?=？
(a+b-c)?=？
解
(a+b+c)2
=
[(a+b)+c]2
=
(a+b)2+2(a+b)c+c2
=
a2+2ab+b2+2ac+2bc+c
=
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
有什么规律？
合作探究
(a+b-c)2
=
[(a+b)-c]2
=
(a+b)2-2(a+b)c+c2
=
a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2
=
a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc
合作探究
一个正方形花圃的边长增加到原来2倍还多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2
，求这个正方形花圃原来的边长.
例9
本题涉及的等量关系为：
边长增加后花圃的面积=原来花圃面积×4+21
例题讲解
解：设正方形花圃原来的边长为xm，则现在的边长为(2x+1)m，根据题意得：
(2x+1)?=4x?+21
化简得
4x?+4x+1=4x?+21
即
4x=20，
解得
x=5.
答:
这个正方形花圃原来的边长为5m.
巩固练习
1.
计算(x+2)(x?+4)(x-2)的结果是
（
）
A.
x4-4
B.
x4-16
C.
x4-8x?
+16
D.
x4+8x?
+16
B
解析：利用交换律先用平方差公式计算(x+2)(x-2)，再利用平方差公式计算(x?-4)(x?+4).
巩固练习
2.
计算[(x+2)(x-2)]?的结果是
（
）
A.
x4-16
B.
x4-4x?
C.
x4-8x?
+16
D.
x4-8x?
+16x
C
解析：先用平方差公式计算(x+2)(x-2)，再利用完全平方公式计算(x?-4)?.
巩固练习
3.
(2020·曹县期末)计算(x-2)(2x+3)-(3x+1)?的结果中，x的系数为
（
）
A.
5
B.
-5
C.
7
D.
-7
D
思路：先分别计算(x-2)(2x+3)结果中的含x的项、(3x+1)?结果中的含x的项，再合并同类项.
巩固练习
4.
计算(a-b-c)?的结果是
（
）
A.
a?-b?-c?
B.
a?+b?+c?
-2ab-2ac-2bc
C.
a?+b?+c?-2ab-2ac+2bc
D.
a?+b?+c?
+2ab-2ac-2bc
C
思路：把(b+c)看做一个整体，用完全平方公式计算.
巩固练习
5.
计算(2m+n-1)(2m-n+1)的结果是
.
答案：4m2-n2+2n-1.
思路：把(n-1)看做一个整体，用平方差公式计算.
巩固练习
6.
一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加16cm?，这个正方形原来的边长是
。
解析：设正方形原来的边长为xcm，根据题意得，
(x+2)?-x?=16.
化简得
4x+4=16，
解得
x=3.
答：设这个正方形原来的边长为3cm
能力提升
7.
若(a+2b)?-(a-2b)?=24，则ab的值为
（
）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
12
解析：化简(a+2b)?-(a-2b)?=8ab，所以ab=3.
A
能力提升
8.
已知：a-b=8，ab=-15，则a?+b?的值为（
）
A.
24
B.
34
C.
23
D.
-30
B
解析：∵
a-b=8，∴
(a-b)?=64.
即a?+b?-2ab=64.
∴
a?+b?=2ab+64=2×
(-15)+64=34.
(a+b)?=
a?+2ab+b?
①
(a-b)?=
a?-2ab+b
?
②
9.
按要求将完全平方公式变形，并填空：
(1)把①中的2ab移项得，(a+b)?-2ab=
。
(2)把②中的-2ab移项得，(a-b)?+2ab=
。
(3)①+②得，(a+b)?+(a-b)?=
。
(4)①-②得，(a+b)?-(a-b)?=
。
a?+b?
4ab
a?+b?
2(a2+b2)
能力提升
10.
根据第9题的变形解答下面各题：
(1)已知a+b=4，a-b=6，直接写出ab的值
；
(2)若
，求
的值.
答案：(1)
34；
(2)
7.
能力提升
能力提升
（2）解析：
课堂总结
请你再能说出平方差公式和完全平方公式。
平方差公式:
(a+b)(a-b)=
完全平方公式：
a?+2ab+b?
(a+b)?=
a?-b?
注意：平方差公式得出的结果是两项，完全平方公式得出的结果是三项.
(a-b)?=
a?-2ab+b?
课堂总结
利用乘法公式计算多项式的乘法要诀：
?仔细观察，发现特征。
?正确变形，灵活运用。
?牢记公式，不错符号不落项。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
2.2.3运用乘法公式进行计算教案
主备人：
备课日期：
本章课时序号：9
课
题
运用乘法公式进行计算
课型
新授课
教学目标
1、进一步掌握平方差公式和完全平方公式；2、学会可两次运用乘法公式的多项式乘法计算；3、能运用乘法公式解决一些实际问题；4、体会从整体分析、局部突破解决问题的意义。
教学重点
1、能正确利用乘法公式进行计算。2、培养学生养成仔细观察、分析问题的习惯，提高计算能力。
教学难点
1、通过对多项式乘法从总体和局部观察，发现多项式乘法的特征。2、两次运用乘法公式的多项式乘法计算。
教学准备
1、制作ppt教学课件；2、选编习题
教
学
活
动
一、情景展示，温故导新（一）复习铺垫说一说：1、
平方差公式、完全平方公式都是乘法公式。下面多项式的乘法可以用哪一个乘法公式进行计算？(1)(3x+5)(3x-5)；
(2)(3x-5)(3x-5).生：(3x+5)(3x-5)可用平方差公式计算；(3x-5)(3x-5)=(3x-5)?，可用完全平方公式计算.2、
你能说出平方差公式和完全平方公式吗？（1）学生回答，教师用ppt展示：平方差公式：(a+b)(a-b)=a?-b?完全平方公式：(a+b)?=a?+2ab＋b?，(a-b)?=a?-2ab＋b?.（2）教师指出：乘法公式中的a与b既可以是数，又可以是单项式和多项式.（二）提出问题有些多项式乘法看起来比较复杂，但是从整体上进行分析，就能发现计算的技巧。例如，在多项式乘法(3x+5)(3x-5)中，插入一个因式9x?-25，变成多项式的连乘式(3x+5)(9x?-25)(3x-5)，又如把(3x+5)(3x-5)看作一个整体，进行平方，变成多项式乘法的乘方运算[(3x+5)(3x-5)]?.这种看起来比较复杂的运算，其实都可以用乘法公式进行简算，你会计算吗？二、教学新课，赋智提能（一）动脑筋：(1)
(x+1)(x?+1)(x-1)=？
(2)
(x+y+1)(x+y-1)=？
1、
观察分析：第（1）题交换因式位置，可用平方差公式计算；第（2）题把x+y看成一个整体是“a”，也可以用平方差公式计算。2、
教师用ppt展示：(1)
(x+1)(x?+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x?+1)=(x?-1)(x?+1)==
x4-1.
教师指出：这一题两次运用了平方差公式计算。3、
教师用ppt展示：(2)
(x+y+1)(x+y-1)=[(x+y)+1][(x+y)-1]=(x+y)?-1=x?+2xy+y?-1.教师指出：这一题第一次运用了平方差公式计算，第二次用完全平方公式计算。4、
方法小结：计算多项式的乘法，要着眼于整体观察各个多项式因式之间的联系，从局部寻找异同，发现能用乘法公式计算的结构特征。
（二）教学例8例8
运用乘法公式计算：：(1)
[(a+3)(a-3)]?；
(2)(a-b+c)(a+b-c).1、
分析：（1）[(a+3)(a-3)]?中(a+3)(a-3)可用平方差公式计算.（2）(a-b+c)(a+b-c)中-b+c与b-c互为相反数，可变形为[a-(b-c)][a+(b-c)]，则可用平方差公式计算.2、
学生各自计算，当学生发现第（2）题第二步还可以继续计算时，教师提示学生继续往下用完全平方公式计算。3、
教师用ppt展示计算过程。（三）教学“做一做”出示：(a+b+c)?=？
(a+b-c)?=？（增加题）1、
让学生说出式子可以把哪部分看作一个整体，可运用什么乘法公式计算2、
学生独立计算3、
教师用ppt展示计算过程，并提示学生发现计算结果中各项的特点：①两个式子的结果中都是三个数的平方和，加（或减）其中任意两个数的积的2倍；②符号规律：有减号时，变形为两数的和与另一个数的差的平方，则相加两数的积的2倍为正，另一个数分别与相加两数的积的2倍为负。（四）教学例9例9
一个正方形花圃的边长增加到原来2倍还多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m?
，求这个正方形花圃原来的边长.1、
分析等量关系：本题涉及的等量关系为：边长增加后花圃的面积=原来花圃面积×4+212、
设未知数，列方程。3、
教师用ppt展示解答过程。4、
教师指出：利用乘法公式也可以解决实际问题中的有关计算问题。三、巩固基础，提升能力（一）巩固练习1、
1.
计算(x+2)(x?+4)(x-2)的结果是
（
）
A.
x4-4
B.
x4-16
C.
x4-8x?+16
D.
x4+8x?+16
【答案】B【解析】利用交换律先用平方差公式计算(x+2)(x-2)，再利用平方差公式计算(x?-4)(x?+4).2、
计算[(x+2)(x-2)]?的结果是
（
）
A.
x4-16
B.
x4-4x?
C.
x4-8x?
+16
D.
x4-8x?
+16x
【答案】C【解析】先用平方差公式计算(x+2)(x-2)，再利用完全平方公式计算(x?-4)?.3、(2020·曹县期末)计算(x-2)(2x+3)-(3x+1)?的结果中，x的系数为（
）
A.
5
B.
-5
C.
7
D.
-7【答案】D【思路】先分别计算(x-2)(2x+3)结果中的含x的项、(3x+1)?结果中的含x的项，再合并同类项.
4、
计算(a-b-c)?的结果是
（
）
A.
a?-b?-c?
B.
a?+b?+c?-2ab-2ac-2bc
C.
a?+b?+c?-2ab-2ac+2bc
D.
a?+b?+c?+2ab-2ac-2bc【答案】C【思路】把(b+c)看做一个整体，用完全平方公式计算.5、
计算(2m+n-1)(2m-n+1)的结果是
。【答案】4m2-n2+2n-1.【思路】把(n-1)看做一个整体，用平方差公式计算.6、
一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加16cm?，这个正方形原来的边长是
。
。
【解析】设正方形原来的边长为xcm，根据题意得，
(x+2)?-x?=16.
化简得
4x+4=16，
解得
x=3.
答：设这个正方形原来的边长为3cm。（二）能力提升7、若(a+2b)?-(a-2b)?=24，则ab的值为
（
）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
12【答案】A【解析】化简(a+2b)?-(a-2b)?=8ab，所以ab=3.8、
已知：a-b=8，ab=-15，则a?+b?的值为（
）
A.
24
B.
34
C.
23
D.
-30【答案】B【解析】∵
a-b=8，∴
(a-b)?=64.
即a?+b?-2ab=64.
∴
a?+b?=2ab+64=2×(-15)+64=34.9、
按要求将完全平方公式变形，填空：(a+b)?=
a?+2ab+b?
①
(a-b)?=
a?-2ab+b?
②
(1)把①中的2ab移项得，(a+b)?-2ab=
。(2)把②中的-2ab移项得，(a-b)?+2ab=
。(3)①+②得，(a+b)?+(a-b)?=
。(4)①-②得，(a+b)?-(a-b)?=
。【答案】依次为a?+b?，a?+b?
，2(a?+b?)，4ab。
10、根据第9题的变形解答下面各题：(1)已知a+b=4，a-b=6，直接写出ab的值
；(2)若，求的值.【答案】(1)
34；
(2)
7.
【解析】∵
，
∴
。
∴
，
四、反思总结1、
请大家说出乘法公式。ppt展示：平方差公式：(a+b)(a-b)=a?-b?完全平方公式：(a+b)?=a?+2ab＋b?，(a-b)?=a?-2ab＋b?.2、
强调用乘法公式计算多项式的乘法的注意事项：①
仔细观察，发现特征。②正确变形，灵活运用。③牢记公式，不错符号不落项。④平方差公式得出的结果是两项，完全平方公式得出的结果是三项.
板书设计
运用乘法公式进行计算1、
乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a?-b?完全平方公式：(a+b)?=a?+2ab＋b?，(a-b)?=a?-2ab＋b?.2、
注意观察，发现特征；运用公式，准确计算。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
