2020—2021学年人教版数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定（共29张ppt）

(共29张PPT)
27.2
相似三角形
27.2.1
相似三角形的判定
(第1课时)
1.相似多边形的特征是什么？
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A
＝∠A1，
∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
，
那么△ABC与
△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
A
B
C
A1
B1
C1
请分别度量l3
,
l4,
l5.在l1
上截得的两条线段AB,
BC和在l2
上截得的两条线段DE,
EF的长度,
AB：
BC与DE：EF相等吗？任意平移l5
,
再量度AB,
BC,
DE,
EF的长度,
它们的比值还相等吗？
?
?
?
?
猜想
A
B
C
D
E
F
l2
l1
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
l2
l3
l4
l5
知识点
1
平行线分线段成比例定理
若
，那么
若
，
那么
即
事实上，当l3
//l4
//
l5时，都可以得到
，
还可以得到
，
，
等.
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
通过探究，你得到了什么规律呢？
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥
c
，则
，
，
归纳：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
1.
如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
【想一想】
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是
(
)
A.
B.
C.
D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l1
l2
l3
把直线
l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
知识点
2
平行线分线段成比例定理的推论
【思考】
如果把图1中l1
,
l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
图1
图2（1）
A
（D）
E
F
C
B
【思考】如果把图1中l1
,
l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
图1
图2（2）
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
B
C
E
A
D
l1
l2
l3
l4
l5
l2
l3
l1
l3
l
l?
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
A
B
C
D
E
l2
A
B
C
D
E
l1
l
l?
归纳：
如图,l1∥l2∥l3，
，DE＝6，求DF的长．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴
.
又∵
，DE＝6，
∴
，
解得EF＝4.
∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
l1
l2
l3
例
如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4
，AB=3，EC=1.求AD和BD.
∴AE=3.
解：∵AC=4，EC=1，
∵
DE∥BC，
∴
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
素养考点
1
利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度
如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，
　BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．
1cm
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1
△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2
分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
知识点
3
相似三角形的判定定理
问题3
你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
探究新知
B
C
A
D
E
【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
B
C
A
D
E
A
B
C
D
E
证明:在△ADE与△ABC中，
∠A=
∠A.
∵
DE//BC,
∴∠ADE=∠B,
∠AED=∠C，
过E作EF//AB交BC于F,
∵四边形DBFE是平行四边形,
F
∴DE=BF
.
∴△ADE∽△ABC
.
∴
.
∴
.
则
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB
，
AC于点D、E．
求证：△ADE∽△ABC
.
“A”型
“X”型
（图2）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成
的三角形与原三角形相似.
符号语言：
∵
DE//BC,
∴△ADE∽△ABC．
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？
【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．
已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
3
C
D
A
B
E
F
O
相似具有传递性
A
如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
1.
如图，在
△ABC
中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC
=
4
cm，EF
长（
）
A
A
B
C
E
F
A.
1cm
B.
cm
C.
3cm
D.
2cm
A
B
C
E
D
F
G
2.如图，DE∥BC，
，
；
FG∥BC，
，则
.
3.如图，在△ABC中，
EF∥BC.
（
1
）如果E、F分别是
AB
和
AC
上的点，
AE
=
BE=7，
FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得
AF
=
4.
(2)
如果AB
=
10，AE=6，AF
=
5，那么
FC
的长是多少？
解：∵
∴
解得
.
A
B
C
E
F
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明：
∵
DF∥AC，
∵
EF∥BC，
如图，已知菱形
ABCD
内接于△AEF，AE=5cm，
AF
=
4
cm，求菱形的边长.
解：∵
四边形
ABCD
为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为
x
cm，则CD
=
AD
=
x
cm，DF
=
(4－x
）cm，
∴
解得
∴菱形的边长为
cm.
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
相似三角形判定的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
基本事实
平行线分线段成比例定理及其推论