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《6.3
向心加速度》学案
【学习目标】
1．知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。
2．了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
3．能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。
【课堂合作探究】
我们可以将地球绕着太阳公转看成是匀速圆周运动，这是因为地球受到什么力的作用？这个力方向如何？
光滑桌面上小球在细绳的牵引作用下，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，细绳被拉紧。是什么保证了小球做匀速圆周运动？这个力方向如何？
由牛顿第二定律知，物体的加速度方向
。
匀速圆周运动加速度的方向
向心加速度：
符号：
方向：
物理意义：
请说明匀速圆周运动加速度是变还是不变的，请说明原因？
二、匀速圆周运动加速度的大小
1.产生：
你还记得向心力的计算公式吗？
你是否可以尝试推到以下向心加速度的计算公式呢？
向心力的大小：
请说明匀速圆周运动的向心加速度大小如何变化？
从几何角度推到向心信加速度的大小：
如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在
A、B
两点的速度分别为
vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过
A、B
两点时的速度方向，分别用
vA、vB
表示，如图甲所示。
第二步，平移
vA
至
B
点，如图乙所示。
第三步，根据矢量运算法则，做出物体由
A
点到
B
点的速度变化量
Δv，其方向由
vA
的箭头位置指向
vB
的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB
的大小相等，所以，Δv与
vA、vB
构成等腰三角形。
第四步，假设由
A
点到
B
点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A
点到
B
点的距离将非常小，作出此时的
Δv，如图丁所示。
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：
。
接下来该如何推到向心加速度？
对于向心加速度的公式，同学们有各自的看法。从
看，向心加速度与半径成反比；从a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两个结论是否矛盾？谈谈你的看法。
如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少?
试通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度。
【课堂检测】
1.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是(
)
A．
它描述的是线速度大小变化的快慢
B．
它描述的是线速度方向变化的快慢
C．
它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．
它描述的是角速度变化的快慢
2.如右图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知(
)
A．
质点P的线速度大小不变
B．
质点P的角速度大小不变
C．
质点Q的角速度大小不变
D．
质点Q的线速度大小不变
3.如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的1/3．当大轮边缘上的P点的向心加速度是12
m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
【达标训练】
一个运动员沿着半径为16m的圆弧跑道以的速度匀速率奔跑，则运动员做圆周运动的加速度大小为
A.
B.
C.
D.
A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比为3：2，它们的向心加速度之比为
A.
2：1
B.
3：2
C.
4：3
D.
8：9
如下图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为轮的半径与C轮相同，它与B轮紧靠在一起．当A轮绕其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也会随之无滑动地转动．a、b、c分别为三个转轮A、B、C边缘上的三个点，在运动过程中，a、b、c三点的???
A.
线速度大小之比为
B.
角速度大小之比为
C.
转速之比为
D.
向心加速度大小之比为
某变速箱中有甲、乙，丙三个齿轮，如下图所示，其半径分别为、、，若甲轮的角速度为，则丙轮边缘上某点的向心加速度大小为???
A.
B.
C.
D.
如图所示，一球体绕轴以角速度匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是???
A.
A、B两点具有相同的角速度
B.
A、B两点具有相同的线速度
C.
A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.
A、B两点的向心加速度大小之比为
共享单车是一种新型、便捷的公共交通方式．如图是某共享单车采用的无链传动系统，杜绝了传统自行车“掉链子”问题．利用圆锥齿轮轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动．在圆锥齿轮轴交的示意图中，A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是圆锥齿轮边缘上的点，A、B、C三点到各自圆锥齿轮中心轴的距离分别记为、和下列说法正确的是?
?
A.
B与C点的角速度关系
B.
C与A点的线速度关系
C.
B与A点的角速度关系
D.
A与C点的向心加速度关系
两个质量相同的小球a、b用长度不等的细线拴在天花板上的同一点并在空中同一水平面内做匀速圆周运动，如图所示，则关于a、b两小球说法正确的是
A.
a球角速度大于b球角速度
B.
a球线速度大于b球线速度
C.
a球向心力等于b球向心力
D.
a球向心加速度小于b球向心加速度
如下图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是
A.
向心加速度的大小
B.
任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同
C.
线速度
D.
任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方处钉一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则
A.
小球的线速度v突然变大
B.
小球的向心加速度a突然变小
C.
小球的角速度突然变大
D.
悬线的张力突然变小
如图所示，A、B两轮绕轴O转动，A和C两轮用皮带传动皮带不打滑，A、B、C三轮的半径之比4：5：5，a、b、c为三轮边缘上的点，则正确的是
A.
线速度??
B.
角速度
C.
角速度??
D.
向心加速度
参考答案
课堂检测：1.A
2.AC
3.答案：4
m/s2 24
m/s2
达标训练：
1.D【解析】由于运动员做匀速圆周运动，则加速度的方向指向圆心，由公式：，故D正确，ABC错误。
2.A【解析】因为相同时间内它们通过的路程之比是4：3，则线速度之比为4：3；
运动方向改变的角度之比为3：2，则角速度之比为3：2，根据得，向心加速度之比为：选项A正确，BCD错误
故选：A
3.D【解析】
【分析】轮A、轮B靠摩擦传动，边缘点线速度相等，故：
：：1
根据公式，有：
：：2
根据，有：
：：2
根据，有：
：：2
轮B、轮C是共轴传动，角速度相等，故：
：：1
根据公式，有：
：：2
根据，有：
：：1
根据，有：
：：2
综合得到：
：：：3：2
：：：2：2
：：：2：2
：：：6：4
故选D。
4.A【解析】由题意可得甲丙的线速度大小相等，根据知甲丙的向心加速度之比为，甲的向心加速度，则，故A正确，故BCD错误。
故选A。
5.A【解析】A.A、B两点共轴转动，角速度相等，故A正确B.因为A、B两点绕地轴转动，A的转动半径大于B点的转动半径，根据知，A的线速度大于B的线速度大小，故B错误；C.A、B两点的向心加速度方向垂直指向地轴，故C错误；
D.根据知，角速度相等，A的转动半径大，由于AB两点的半径之比为：，故二者的向心加速度之比为，故D错误。
故选A。
6.B【解析】A、由图可知，B与C点属于齿轮传动，两点的速度是相等的，由于，则；故A错误；BCD、由图可知，A与B点属于同轴传动，具有相等的角速度，即；由，所以：，或：．，，所以，故B正确，CD错误；
故选：B。
7.B【解析】解：A、对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；
将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：??；
由向心力公式得到，?；
设球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：?；
由三式得：，与绳子的长度和转动半径无关，与高度h有关；而两球圆周运动到悬点的高度相同，则有；故A错误；
B、因两球角速度相等，由，两球转动半径，则线速度，故B正确；
C、由，两球转动半径，而质量m和角速度相等，则向心力，故C错误；
D、由，角速度相等而转动半径，则向心加速度，故D错误；
故选：B。
8.C【解析】A.圆环上各点角速度相等，根据公式，向心加速度与到转动轴O的距离成正比，，故A错误；B.三点向心加速度的方向均是水平指向AB轴的，可以看出任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同，故B错误；C.由图可知：半径，由可知，线速度，故C正确；D.线速度的方向为该点的切线方向，任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均相同，故D错误。
故选C。
9.C解析】A.当悬线碰到钉子时，线速度v大小不变，故A错误；?
B.当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，摆长变小，即半径变小，根据知，向心加速度a变大，故B错误；?
C.线速度大小不变，摆长变小，根据知，角速度变大，故C正确；
D.根据牛顿第二定律得，，向心加速度变大，则悬线的张力变大，故D错误。?
故选C。
10.D【解析】
已知A、B、C三轮的半径之间的关系：：：5：5；
A、B两个轮子是同轴传动，角速度相等，故：：：
根据公式，线速度之比为：：：：5??????????
?
根据公式，周期之比为：：：：1??????
?
根据公式，向心加速度之比为：：：：5???
A、C两个轮子靠传送带传动，轮子边缘上的点具有相同的线速度，故：：：
根据公式，角速度之比为：：：：4??
?
根据公式：，周期之比为：：：：
根据公式，向心加速度之比为：：：：
A.由得：：：：5：4，故A错误；
由得：：：：4：4，故BC错误；
D.由得：：：：25：16，故D正确。
故选D。
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第六章
圆周运动
第3节
向心加速度
1．知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。
2．了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
3．能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。
学习目标
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1
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2
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/CONTENTS
匀速圆周运动加速度的方向
匀速圆周运动向心加速度大小
新课引入
我们可以将地球绕着太阳公转看成是匀速圆周运动，这是因为地球受到什么力的作用？这个力方向如何？
太阳的引力，时刻指向圆心
光滑桌面上小球在细绳的牵引作用下，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，细绳被拉紧。是什么保证了小球做匀速圆周运动？这个力方向如何？
绳子的拉力，时刻指向圆心
由牛顿第二定律知，物体的加速度方向跟合外力的方向相同。
一、匀速圆周运动加速度的方向
1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
4.物理意义：描述速度方向变化的快慢
2.符号：an
3.方向：始终指向圆心
5.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，
所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动。
1.产生：由向心力产生
3.说明：匀速圆周运动的向心加速度大小不变。
你是否可以尝试推到以下向心加速度的计算公式呢？
你还记得向心力的计算公式吗？
根据牛顿第二定律：
2.向心力的大小：
二、匀速圆周运动加速度的大小
从几何角度推到向心信加速度的大小：
如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在
A、B
两点的速度分别为
vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过
A、B
两点时的速度方向，分别用
vA、vB
表示，如图甲所示。
第二步，平移
vA
至
B
点，如图乙所示。
二、匀速圆周运动加速度的大小
第三步，根据矢量运算法则，做出物体由
A
点到
B
点的速度变化量
Δv，其方向由
vA
的箭头位置指向
vB
的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB
的大小相等，所以，Δv与
vA、vB
构成等腰三角形。
第四步，假设由
A
点到
B
点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A
点到
B
点的距离将非常小，作出此时的
Δv，如图丁所示。
二、匀速圆周运动加速度的大小
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
二、匀速圆周运动加速度的大小
∴
=
AB
Δv
v
r
∴
Δv
=
AB
v
r
∴
=
=
=
v
AB
Δl
Δt
Δt
AB
Δt
∴
an
=
·
v
=
v
r
v2
r
=
ω2r
=
vω
当△t
很小很小时，AB=AB=Δl
∴
an
=
=
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
二、匀速圆周运动加速度的大小
对于向心加速度的公式，同学们有各自的看法。从
看，向心加速度与半径成反比；从a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两个结论是否矛盾？谈谈你的看法。
当ω一定时，a与r成正比
当v一定时，a与r成反比
二、匀速圆周运动加速度的大小
如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少?
试通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度。
【分析】
由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度
ω
与夹角
θ
之间的关系。
二、匀速圆周运动加速度的大小
二、匀速圆周运动加速度的大小
课堂小结
1.定义：匀速圆周运动的加速度
2.意义：描述速度方向变化的快慢
3.大小：
4.方向：始终指向圆心(时刻改变)
匀速圆周运动是变加速运动
向心加速度
课堂小结
1.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是(
)
A．
它描述的是线速度大小变化的快慢
B．
它描述的是线速度方向变化的快慢
C．
它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．
它描述的是角速度变化的快慢
A
课堂小结
2.如右图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知(
)
A．
质点P的线速度大小不变
B．
质点P的角速度大小不变
C．
质点Q的角速度大小不变
D．
质点Q的线速度大小不变
AC
课堂小结
3.如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的1/3．当大轮边缘上的P点的向心加速度是12
m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
答案：4
m/s2 24
m/s2
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