17.2 勾股定理的逆定理（18张）
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(共18张PPT)
复习回顾
1.勾股定理的内容是什么？
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
a=3,
b=4
a=2.5,
b=6
a=6,
b=8
3.分别以上述a,b,c为边的三角形的形状会是什么样的呢？
c=5
c==6.5
c=10
古埃及人曾用下面的方法得到直角
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
3，4，5；
2.5，6，6.5；
6，8，10。
（1）这三组数都满足
吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
动手画一画
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
命题1
命题2
勾股定理
∵
∠
C’=900
∴
A’B’2=
a2+b2
∵
a2+b2=c2
∴
A’B’
2=c2
∴
A’B’
=c
∵
边长取正值
∴
△
ABC
≌△
A’B’C’（SSS）
∴
∠
C=
∠
C’(全等三角形对应角相等）
∴
∠C=
900
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
a
b
B'
C'
A'
已知:在△ABC中，AB=c
，
BC=a
，CA=b，
且a2+b2=c2
求证:△
ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠
C’=900,B’C’=a,
C’A’=b
在△
ABC和△
A’B’C’中
∴
△
ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
逆定理
定理
互逆命题:
两个命题中,
如果它们的题设、结论正好相反,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题,
那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,
那么它也是一个定理,
称这两个定理叫做互逆定理,
其中一个叫做另一个的逆定理.
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题:
内错角相等，两条直线平行.
成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.
不成立
感悟:
原命题成立时,
逆命题有时成立,
有时不成立
试一试
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
例1
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)
a＝15
,
b
＝8
,
c＝17
例题解析
(2)
a＝13
,
b
＝15
,
c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴
152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1)
a=25
b=20
c=15
____
_____
;
(2)
a=13
b=14
c=15
____
_____
;
(4)
a:b:
c=3:4:5
_____
_____
;
是
是
不是
是
∠
A=900
∠
B=900
∠
C=900
(3)
a=1
b=2
c=
____
_____
;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
13
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
例2
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个
零件符合要求吗？
例题解析
B
A、锐角三角形
B、直角三角形C、钝角三角形
D、等边三角形
1.
练一练
2.
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
A
B
C
D
准备好了吗?
S四边形ABCD=36
∴△ABC是直角三角形
1、请你写出三组勾股数；
2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
挑战自我
3、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
思维训练
复习回顾
1.勾股定理的内容是什么？
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
a=3,
b=4
a=2.5,
b=6
a=6,
b=8
3.分别以上述a,b,c为边的三角形的形状会是什么样的呢？
c=5
c==6.5
c=10
古埃及人曾用下面的方法得到直角
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
3，4，5；
2.5，6，6.5；
6，8，10。
（1）这三组数都满足
吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
动手画一画
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
命题1
命题2
勾股定理
∵
∠
C’=900
∴
A’B’2=
a2+b2
∵
a2+b2=c2
∴
A’B’
2=c2
∴
A’B’
=c
∵
边长取正值
∴
△
ABC
≌△
A’B’C’（SSS）
∴
∠
C=
∠
C’(全等三角形对应角相等）
∴
∠C=
900
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
a
b
B'
C'
A'
已知:在△ABC中，AB=c
，
BC=a
，CA=b，
且a2+b2=c2
求证:△
ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠
C’=900,B’C’=a,
C’A’=b
在△
ABC和△
A’B’C’中
∴
△
ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
逆定理
定理
互逆命题:
两个命题中,
如果它们的题设、结论正好相反,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题,
那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,
那么它也是一个定理,
称这两个定理叫做互逆定理,
其中一个叫做另一个的逆定理.
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题:
内错角相等，两条直线平行.
成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.
不成立
感悟:
原命题成立时,
逆命题有时成立,
有时不成立
试一试
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
例1
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)
a＝15
,
b
＝8
,
c＝17
例题解析
(2)
a＝13
,
b
＝15
,
c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴
152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1)
a=25
b=20
c=15
____
_____
;
(2)
a=13
b=14
c=15
____
_____
;
(4)
a:b:
c=3:4:5
_____
_____
;
是
是
不是
是
∠
A=900
∠
B=900
∠
C=900
(3)
a=1
b=2
c=
____
_____
;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
13
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
例2
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个
零件符合要求吗？
例题解析
B
A、锐角三角形
B、直角三角形C、钝角三角形
D、等边三角形
1.
练一练
2.
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
A
B
C
D
准备好了吗?
S四边形ABCD=36
∴△ABC是直角三角形
1、请你写出三组勾股数；
2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
挑战自我
3、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
思维训练