第17章 二次根式
17.2二次根式的运算（5）
主备人：孙成 审核人：杨明 使用时间：2011年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
能对二次根式进行加减乘除混合运算，提高运算能力；
将二次根式知识与整式相关知识进行类比，与现学知识进行整合，提高数学学习能力；
学习重点：二次根式加减乘除混合运算
学习难点：体验和掌握迁移，转化等数学思想与方法。
学前准备
1．二次根式加减法的两个步骤________________________;
2．填空：当a≥0，b≥0时，;
3．单项式乘以多项式运算顺序_________________________________;
4．多项式乘以多项式的运算法则________________________________;
5. 二次根式的乘法：______________________________________;
6． 二次根式的除法：___________________________________________;
二．探究活动
（一）独立思考·解决问题
请计算下列各题：
（二）师生探究·合作交流
同学们通过自己计算可以发现，二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或者先去掉括号）；对于二次根式的混合运算，原来学过的所有运算律，运算法则及乘法公式仍然适用，整式和分式的运算法则仍然适用。
例1：计算：
例2：计算：
练一练：
自我测试
计算：（1） （2）
（3） （4）
(5) (6) ；
应用与拓展
1．已知，
求的值。
2．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值
数学日记
日期：_____年_____月____日 心情：_______
本节课你有哪些收获？感受最深的是什么？
预习时的疑难解决了吗？
老师我想对你说：第17章 二次根式
17.2二次根式的运算（1）
主备人：孙成 审核人：杨明 使用时间：2011年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算。
会进行简单的二次根式的乘法运算。
让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的。
培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。
学习重点： 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算
学习难点： 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。
学前准备
1.算术平方根的定义__________________________________________________
2.二次根式的两个基本性质：___________________________________________
3计算：
二．探究活动
（一）独立思考·解决问题
观察：计算下列各题，观察有何规律？
猜想：当a≥0,b≥0,有
（二）师生探究·合作交流
性质3：如果a≥0,b≥0,有
用语言叙述为：____________________________________;
你能证明这个性质吗？
由等式对称性，性质3也可写成
教材例1
练习并计算：
例2：化简：
自我测试
化简：
2．化简：
3．一个矩形的长和宽分别是cm和cm，求这个矩形的面积。
应用与拓展
观察下式及其变形过程：
按上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，n≥2）表示的等式并证明；
仿照上面的规律，写出用n表示下列各式的规律，（不要求证明）
先阅读，再解答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m,n，使，且，则将变成，即变成，从而使得化简，例如
，所以
请仿照上例解答下列问题：
五．数学日记
日期：_____年_____月____日 心情：_______
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17.2二次根式的运算（2）
主备人：孙成 审核人：杨明 使用时间：2011年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
会进行简单的二次根式的除法运算。
能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算。
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式。
引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题。
学习重点：
会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算。
学习难点：
会进行二次根式的除法运算和最简二次根式的运用。
学前准备
二次根式的乘法法则是：__________________________________.
乘法和除法互为__________.
探究活动
探究一：
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？
规律：
总结二次根式的除法法则：
反过来得到，商的算术平方根的性质：
灵活运用：教材例2
探究二：
问题：观察上面例2中各小题的最后结果，例如，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？
通过分析可以得到，二次根式有如下两个特点：
被开放数的因数是_____,因式是_____;
被开方数中不能含开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
灵活运用：教材例3
化简时应注意：（1）有时需将被开方数分解因式；（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化。
巩固练习：1.化简:
2.计算：
自我测试
1．把化成最简二次根式，结果为： （ ）
A． B． C． D．
2．下列根式中，最简二次根式为： （ ）
A． B． C． D．
3．已知t<1，化简得： （ ）
A． B． C．2 D．0
4．把分母有理化后得 （ ）
A．4b B． C． D．
5．的有理化因式是 （ ）
A． B． C． D．
6．__________；________
7．计算：___________．
8．计算：=_____________．
9．当a=时，则____________．
10．若成立，则x满足__________．
四．应用与拓展
1．请认真阅读下列化简过程。
按照上面两个根式化简的方法，将分母中的根号化去；
数学日记
日期：_____年_____月____日 心情：_______
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老师我想对你说：第17章 二次根式
17.2二次根式的运算（4）
主备人：孙成 审核人：杨明 使用时间：2011年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
能够正确进行简单的二次根式加减法的运算；
通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想；
通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣。
学习重点： 二次根式加减法的运算
学习难点： 探讨二次根式加减法运算的方法，快速准确进行二次根式加减法的运算
学前准备
1．同类项的概念______________________________________________________
2．合并同类项法_____________________________________________________
3．最简二次根式概念__________________________________________________
探究活动
独立思考·解决问题
一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是米，第二块草坪的长是20米，宽也是米，你能告诉运动场的负责人要准备面积为____________的草皮.
化简下列各根式
观察化简后的根式，它们有什么共同特征？________________________________
师生探究·合作交流
同类二次根式的概念______________________________________________
下列3个小题怎样计算？
问题：还能继续往下合并吗？
二次根式加减法法则：______________________________________________
___________________________________________________________________.
下列各式，哪些是同类二次根式？
例1 计算：
练一练：
1.下列计算是否正确？
2. 计算：
自我测试
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则a<0 B．
C． D． 5的平方根是
2．二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．0
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
5．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则x等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
应用与拓展
甲、乙两人对题目“化简并求值：，其中”有不同的解答，甲的解答是:,乙的解答是:,谁的解答是错误的？为什么？
数学日记
日期：_____年_____月____日 心情：_______
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老师我想对你说：第17章：二次根式
17.1 二次根式（1）
主备人：孙成 审核人：杨明 使用时间：2011年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
理解二次根式的概念和基本性质；
经历观察，比较，总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力；
经历观察，比较，总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
学习重点： 二次根式的概念和性质；
学习难点： 二次根式的基本性质的灵活运用。
学前准备
_________________________________________________叫平方根；
_________________________________________________叫算术平方根；
平方根的性质有以下几个内容：(1) 正数有__________________________;
(2) 负数_________________; (3) 0的__________________________.
3. 绝对值的性质有以下几个内容： (1) 正数的___________________;
(2) 负数的________________; (3) 0的_______________.
探究活动
独立思考·解决问题
已知一个正方形的面积是（b-3）,则这个正方形的边长是_____________;
已知一个圆的面积是16，则它的半径是__________________;
师生探究·合作交流
议一议：
上面的代数式有哪些共同点的特点呢？你知道什么是二次根式了吗？
结合上面的特点你能判断一个式子是不是二次根式了吗？
下面各式是二次根式吗？（填“是”或“否”）
变式训练1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
小组互动·发现规律
我们知道，是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有=2，类似地，计算
则，一般地，有 性质1
2．，类似地，计算
则，一般地，有 性质2
练一练：
计算
已知，求x和y的值
在实数范围内分解因式；
自我测试：
用代数式表示：
（1）面积是S的圆，它的半径r=______________;
（2）正方形的面积是，它的周长C=___________
2．如果是二次根式，则x的取值范围是_________.
3．当m满足_______时，式子有意义。
4．计算：（1）=________; (2) =_______;
(3) =________ (4) =_________
5. 的平方根是（ ）
A． B. ± C. － D. 不存在
6．若，则a的取值范围是（ ）
A．a≧0 B. a≠0 C. a≦0 D. 任意实数
应用与拓展：
数学日记
日期：_____年_____月____日 心情：_______
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预习时的疑难解决了吗？
老师我想对你说：第17章：二次根式
17.1 二次根式（2）
主备人：孙成 审核人：杨明 使用时间： 2011年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：
熟练应用二次根式的基本性质；
通过对二次根式的概念和性质的应用，提高数学研究能力和应用能力；
经历观察，比较，总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
学习重点： 二次根式的概念和性质；
学习难点： 二次根式的基本性质的灵活运用
学前准备
1．二次根式的定义：______________________________________________
2．二次根式的性质：_______________________________________________
3．
探究活动
知识互动
知识点一 二次根式的简单性质
二次根式的简单性质：（1）二次根式是一个非负数；（2），二次根式的实质是非负数a的算术平方根，因此是一个非负数，而是逆用算术平方根定义得出的结论。
知识点二 公式的应用
公式可以正用，也可以逆用，正用可以去掉根号，将式子化简，逆用可以把一个非负数写成完全平方的形式。
知识点三 二次根式的化简
由于化简形如的二次根式比较复杂，其结果等于a本身还是等于a的相反数，要由a的符号决定，因此将根号内的完全平方式开出根号时，一般先加上绝对值符号，然后再根据a的符号进一步化简，这里用|a|进行过渡，可以避免发生错误。
例题评析
例1：在实数范围内分解因式
例2：化简
例3：已知a，y均为实数，且满足等式，试求的个位数字。
例4： 若x，y均为实数，
且满足等式，求a的值
自我测试
1．下列式子中二次根式的个数有 （ ）
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．当有意义时，a的取值范围是 （ ）
A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2
3．若x<0，则的结果是 （ ）
A．0 B. -2 C. 0或-2 D. 2
4. 若则x的值为 （ ）
A. B. C. D. x为任意实数
5．式子与比较，则 （ ）
A. a为任意实数都有 B. 只有当a≥0时，
C．只有当a>0时， D. 当a为有理数时，
6．在实数范围内分解因式：
应用与拓展
化简：
已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简
五．数学日记
日期：_____年_____月____日 心情：_______
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老师我想对你说：第17章 二次根式
17.2二次根式的运算（3）
主备人：孙成 审核人：杨明 使用时间：2011年 月 日
＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
学习目标：1.通过练习巩固二次根式的乘、除法法则.
2.能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算.
3.进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
学习重点：二次根式乘除法法则及运算.
学习难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算.
学前准备
（1）二次根式的乘法法则用式子表示为 .
（2）二次根式的除法法则用式子表示为 .
（3）把分母中的_____化去，叫做分母有理化. 将式子分母有理化后等于_______.
探究活动
探究一. 运用乘法分配律进行简单的根式运算.
例1 计算 （1） （2）
归纳小结：1、在有理数范围内，乘法分配律是： a（b+c）=ab+ac 这个运算律在实数范围内也适用. 2、在运律过程中要注意符号.
练习一、 计算
(1) (2) (3)
探究二. 比较两个实数的大小.
前面我们已经学过比较两个无理数大小的方法,就是先求无理数的近似值，转化为比较有理数的大小，从而得出两个无理数的大小.
下面我们介绍比较两个无理数大小的另一种方法.
两个正数中，较大的正数，它的算术平方根也较大，即a>b>0时，可以得出>. 也就是说，比较两个二次根式的大小，可以转化为先比较它们被开方数的大小，从而得出两个二次根式的大小.
比较下列两个数的大小
（1）与 （2）与
归纳小结：先应用式子把根号外面的因式（或因数）移入根号内，通过比较被开方数的大小，来比较这两个根式的大小.
探究三. 二次根式的乘除混合运算.
计算 （1）
（2）
注意：这是二次根式乘除的混合运算，与有理数的混合运算一样，按先后从左到右顺序进行.
自我测试
1．成立的条件是 ___________.
2．成立的条件是_____________.
3．成立的条件是_____________.
4．化简： ________ ________ ________
________ __________ __________
5．计算： _________ ________
6．比较下列各组中两个数的大小：
（1）与 （2）与
（3）与 （4）与
7．计算 （1） （2）
应用与拓展
1.化简
2．当时，求的值（用最简二次根式表示）
五、数学日记
日期：_____年_____月____日 心情：_______
本节课你有哪些收获？感受最深的是什么？
预习时的疑难解决了吗？
老师我想对你说：
