2020-2021学年高一数学人教A版必修4第三章 (三角恒等变换)本章小结课件（共65张PPT）

第三章
三角恒等变换
【本章内容】
3.1 两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
3.2 简单的三角恒等变换
第三章 小结
本章小结
知识要点
复习参考题
自我检测题
知识要点
1. 和差角的三角函数公式
sin(a±b) = sina cosb ± cosa sinb.
cos(a±b) = cosa cosb sina sinb.
其中
2. 辅助角化一公式
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知识要点
3. 二倍角公式
sin2a = 2sina cosa.
cos2a = cos2a - sin2a;
=2cos2a -1;
=1-2sin2a.
知识要点
4. 三角公式的变换
1-cos2a = 2sin2a.
1+cos2a = 2cos2a.
tana+tanb = tan(a+b)(1-tana tanb).
知识要点
4. 三角公式的变换
知识要点
4. 三角公式的变换
知识要点
5. 三角变换中的解题思想
(1) 向着同种函数转化
(2) 向着同角转化
(3) 向着一个三角函数转化
正、余弦的互化.
正切化为正、余弦(切化弦).
诱导公式.
二倍角公式.
和(差)角公式(辅助角化一).
凑角.
二倍角公式.
复习参考题
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A 组
1. 已知 a、b 都是锐角, sina = cos(a +b) = 求 sinb 的值.
解:
∵ a、b 都是锐角,
∴由
则 sinb =
sin[(a+b)-a]
= sin(a+b)cosa - cos(a+b)sina
2. 已知
求 sin(a +b) 的值.
分析:
a +b 可用 表示为
2. 已知
求 sin(a +b) 的值.
解:
则 sin(a+b)=
3. 已知a、b 都是锐角, tana = sinb = 求tan(a +2b )的值.
解:
∵ b 都是锐角,
则 tanb =
∴tan(a +2b ) =
代入tana、tanb的值求得
tan(a +2b ) = 1.
4. (1) 证明:
tana +tanb = tan(a +b ) -tana tanb tan(a +b ).
(2) 求tan20?+tan40?+ tan20?tan40?的值.
(3) 若a +b = 求(1-tana)(1-tanb)的值.
(4) 求 的值.
(1)
证明:
去分母即得
tan(a +b )(1 -tana tanb) = tana +tanb,
整理即得
tana +tanb = tan(a +b ) -tana tanb tan(a +b ).
4. (1) 证明:
tana +tanb = tan(a +b ) -tana tanb tan(a +b ).
(2) 求tan20?+tan40?+ tan20?tan40?的值.
(3) 若a +b = 求(1-tana)(1-tanb)的值.
(4) 求 的值.
(2)
原式 =
4. (1) 证明:
tana +tanb = tan(a +b ) -tana tanb tan(a +b ).
(2) 求tan20?+tan40?+ tan20?tan40?的值.
(3) 若a +b = 求(1-tana)(1-tanb)的值.
(4) 求 的值.
(3)
1-(tana +tanb )+tana tanb
原式 =
=1-tan(a +b )(1-tana tanb)+tana tanb ,
则原式 =
1+(1-tana tanb)+tana tanb
∴tan(a+b) = -1,
= 2.
4. (1) 证明:
tana +tanb = tan(a +b ) -tana tanb tan(a +b ).
(2) 求tan20?+tan40?+ tan20?tan40?的值.
(3) 若a +b = 求(1-tana)(1-tanb)的值.
(4) 求 的值.
(4)
原式 =
5. 化简:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)
原式 =
= 4.
5. 化简:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(2)
原式 =
= -1.
5. 化简:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(3)
原式 =
= -1.
5. 化简:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(4)
原式 =
= 1.
6. (1) 已知cosq = 求
的值.
(2) 已知 求sina 的值.
(3) 已知sin4q +cos4q = 求sin2q 的值.
(4) 已知cos2q = 求sin4q +cos4q 的值.
解:
(1)
则原式 =
6. (1) 已知cosq = 求
的值.
(2) 已知 求sina 的值.
(3) 已知sin4q +cos4q = 求sin2q 的值.
(4) 已知cos2q = 求sin4q +cos4q 的值.
解:
(2)
由 两边平方得
6. (1) 已知cosq = 求
的值.
(2) 已知 求sina 的值.
(3) 已知sin4q +cos4q = 求sin2q 的值.
(4) 已知cos2q = 求sin4q +cos4q 的值.
解:
(3)
由 配方得
6. (1) 已知cosq = 求
的值.
(2) 已知 求sina 的值.
(3) 已知sin4q +cos4q = 求sin2q 的值.
(4) 已知cos2q = 求sin4q +cos4q 的值.
解:
(4)
7. 已知cos(a +b) = cos(a -b) = 求 tana·tanb 的值.
解:
两式相加得
两式相减得
8. 证明:
(1) cos4a +4cos2a +3 = 8cos4a;
(2)
(3)
(4)
证明:
(1)
左边 =
2cos22a-1+4cos2a+3
= 2(cos2a+1)2
= 2(2cos2a-1+1)2
= 8cos4a
= 右边.
8. 证明:
(1) cos4a +4cos2a +3 = 8cos4a;
(2)
(3)
(4)
证明:
(2)
左边 =
= 右边.
8. 证明:
(1) cos4a +4cos2a +3 = 8cos4a;
(2)
(3)
(4)
证明:
(3)
左边 =
=右边.
8. 证明:
(1) cos4a +4cos2a +3 = 8cos4a;
(2)
(3)
(4)
证明:
(4)
左边 =
=右边.
= tan4A
9. 已知函数 y = (sinx+cosx)2+2cos2x.
(1) 求它的递减区间;
(2) 求它的最大值和最小值.
解:
(1)
y = (sinx+cosx)2+2cos2x
= 1+sin2x+2cos2x
= 1+sin2x+1+cos2x
函数的递减区间是
(2)
函数的最大值是
最小值是
10. 已知函数f(x) = cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1) 求 f(x)的最小正周期;
(2) 当x?[0, ]时, 求 f(x)的最小值以及取得最小
值时 x 的集合.
解:
= (cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-2sinxcosx
f(x) = cos4x-2sinxcosx-sin4x
= cos2x-sin2x
(1)
f(x)的最小正周期T =
= p.
(2)
当 时,
当 时,
即 时,
11. 已知函数 f(x) = 2sinx(sinx+cosx).
(1) 求f(x)的最小正周期和最大值;
(2) 画出函数 y = f(x)在区间 [ ] 上的图象.
解:
f(x) = 2sinx(sinx+cosx)
= 2sin2x+2sinxcosx
= 1-cos2x+sin2x
(1)
函数f(x)的最小正周期是p ;
最大值是
11. 已知函数 f(x) = 2sinx(sinx+cosx).
(1) 求f(x)的最小正周期和最大值;
(2) 画出函数 y = f(x)在区间 [ ] 上的图象.
解:
f(x) = 2sinx(sinx+cosx)
= 2sin2x+2sinxcosx
= 1-cos2x+sin2x
(2)
2,
2,
即
即
x
y
o
1
2
11. 已知函数 f(x) = 2sinx(sinx+cosx).
(1) 求f(x)的最小正周期和最大值;
(2) 画出函数 y = f(x)在区间 [ ] 上的图象.
解:
f(x) = 2sinx(sinx+cosx)
= 2sin2x+2sinxcosx
= 1-cos2x+sin2x
(2)
x
y
o
1
2
五点法:
x
y
0
-1
0
0
1
12. 已知函数 f(x) = sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a 的最
大值为1.
(1) 求常数 a 的值;
(2) 求使 f(x)≥0成立的 x 的取值集合.
解:
(1)
f(x)的最大值为2+a =1,
得 a = -1.
12. 已知函数 f(x) = sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a 的最
大值为1.
(1) 求常数 a 的值;
(2) 求使 f(x)≥0成立的 x 的取值集合.
解:
(2)
∴f(x)≥0成立的 x 的取值集合为
13. 已知直线 l1//l2, A是 l1, l2之间的一定点, 并且A点到 l1, l2的距离分别为 h1, h2, B是直线l2上一动点, 作AC⊥AB, 且使AC与直线l1交于点C, 求△ABC面积的最小值.
S△ABC =
q
当2q =90?时,
即q =45?时,
△ABC面积最小为
S△ABC = h1h2.
A
h1
h2
B
C
P
Q
l1
l2
解:
如图,
则在Rt△APC中,
B为动点, 设∠ABQ = q,
在Rt△AQB中,
B 组
1. 已知sina -cosa = 0≤a≤p, 求sin(2a - )的值.
解:
sin2a+cos2a =1,
解方程组得
或
(舍去)
则
B 组
1. 已知sina -cosa = 0≤a≤p, 求sin(2a - )的值.
解:
若将已知两边平方后得
需确定其正负,
得 cos2a <0,
又由
以下计算即与前面计算相同.
2. 已知cosa +cosb = sina +sinb = 求cos(a -b)
的值.
解:
将已知两式平方
两式相加得
即得
解得
3. 已知sin(a + ) +sina = 的值.
由
则
解:
由已知得
4. 已知 求
的值.
解:
由
= 7,
5. 已知 sinq + cosq =2sina, sinq·cosq =sin2b, 求证: 4cos22a =cos22b.
证明:
将sinq + cosq =2sina 两边平方得
代入sinq·cosq =sin2b 得
? 4cos22a =cos22b.
6. 若函数f(x) = sin2x+2cos2x+m 在区间 上的最大值为6, 求常数m的值及此函数当x?R时的最小值, 并求相应的 x 的取值集合.
解:
f(x)的最大值为2+1+m=6,
? m = 3.
此时当
即 时,
f(x)min = 2.
7. 如图, 正方形ABCD的边长为 1, P、Q分别为边AB、DA上的点, 当△APQ的周长为 2 时, 求∠PCQ的大小.
A
B
C
D
P
Q
解:
当△APQ的周长为 2 时,
PQ = BP + DQ,
= CBtana + DCtanb
= tana + tanb
= tan(a+b)(1-tana tanb)
设∠BCP=a, ∠DCP=b,
a
b
= tan(a+b)(1-BP·DQ),
得
7. 如图, 正方形ABCD的边长为 1, P、Q分别为边AB、DA上的点, 当△APQ的周长为 2 时, 求∠PCQ的大小.
A
B
C
D
P
Q
解:
当△APQ的周长为 2 时,
PQ = BP + DQ,
= CBtana + DCtanb
= tana + tanb
= tan(a+b)(1-tana tanb)
设∠BCP=a, ∠DCP=b,
a
b
= tan(a+b)(1-BP·DQ),
得
∵AP+AQ=2-PQ,
AP2+AQ2=PQ2,
?AP·AQ=2-2PQ,
=1,
则 a+b = 45?,
∴∠PCQ = 45?.
8. 已知 sinb + cosb = b?(0, p).
(1) 求tanb 的值;
(2) 你能根据所给的条件, 自己构造出一些求值问
题吗?
解:
(1)
解方程组
得
(2)
由所给条件可以得到sinb, cosb, tanb的值,
就可以解决含这几种函数的其他问题的值.
已知正、余弦的和或差的值, 与平方关系联列方程组, 可解出正弦、余弦和正切的值.
结论:
自我检测题
自我检测题
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自我检测题
一、选择题: 本大题共6小题,每小题6分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. cos555?的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
2. 化简 得到 ( )
(A) sin2a (B) -sin2a (C) cos2a (D) -cos2a
3. 已知 那么角2a的终边所在的象限为 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
4. 对于等式sin3x=sin2x+sinx,下列说法中正确的是 ( )
(A) 对于任意x?R, 等式都成立 (B) 对于任意x?R, 等式都不成立
(C) 存在无穷多个x?R使等式成立 (D)等式只对有限个x?R成立
5. 已知 那么tan(b-2a)的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
6. 函数 的增减区间是 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题: 本大题共4小题, 每小题6分, 共24分. 把答案填写在题中横线上.
7. 化简 得 .
8. 等腰三角形一个底角的余弦为 那么这个三角形顶角的正弦值为 .
9. 已知 那么tan2a·sin2a的值为 .
10. 已知13sina+5cosb=9, 13cosa+5sinb=15, 那么sin(a+b)的值为 .
三、解答题: 本大题共2小题, 每小题20分, 共40分, 解答应写出文字说明, 证明过程及演算步骤.
11. 设 求a-b的值.
12. 已知f(x)=2sin4x+2cos4x+cos22x-3.
(1) 求函数f(x)的最小正周期;
(2) 求函数f(x)在闭区间 上的最小值, 并求当f(x)取最小值时, x的取值.
一、选择题: 本大题共6小题, 每小题6分, 共36分. 每小题只有一项是符合题目要求的.
1. cos555? 的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
解:
cos555?=cos(360?+195?)
=cos195?
=cos(180?+15?)
= -cos15?
得
B
2. 化简 得到 ( )
(A) sin2a (B) -sin2a (C) cos2a (D) -cos2a
解:
=sin2a.
A
3. 已知 那么角 2a 的终边所在的象限为 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
解:
sin2a=2sinacosa
<0;
cos2a=2cos2a-1
>0.
∴2a 第四象限角.
D
4. 对于等式 sin3x=sin2x+sinx, 下列说法中正确的是 ( )
(A) 对于任意 x?R, 等式都成立
(B) 对于任意 x?R, 等式都不成立
(C) 存在无穷多个 x?R 使等式成立
(D) 等式只对有限个 x?R 成立
分析:
取一特殊值 时,
左边 sin3x=0,
右边 sin2x+sinx
左≠右, 排除 A.
取 x=0 时, 左=右,
排除 B.
当 x=2kp (k?Z) 时, 左=右=0.
因为 k 有无穷多个,
所以 C 选项正确.
C
5. 已知 那么 tan(b-2a)
的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
解:
由
tan(b-2a)=tan[(b-a)-a]
B
6. 函数 的递增区间是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
解:
增区间:
解得
D
二、填空题: 本大题共4小题, 每小题6分, 共24分. 把答案填写在题中横线上.
7. 化简 得 .
解:
原式=
=1.
1
8. 等腰三角形一个底角的余弦为 那么这个三角形顶角的正弦值为 .
A
B
C
D
解:
如图,
则
得
则 sin∠BAC=sin2∠BAD
=2sin∠BADcos∠BAD
9. 已知 那么 tan2a·sin2a 的值为 .
解:
10. 已知 13sina+5cosb=9, 13cosa+5sinb=15, 那么 sin(a+b) 的值为 .
解:
平方已知两式得
169sin2a+25cos2b+130sinacosb=81,
169cos2a+25sin2b+130cosasinb=225.
两式相加得
169+25+130sin(a+b)=306.
则 sin(a+b)=
三、解答题: 本大题共2小题, 每小题20分, 共40分, 解答应写出文字说明, 证明过程及演算步骤.
11. 设
求 a-b 的值.
解:
∴sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
三、解答题: 本大题共2小题, 每小题20分, 共40分, 解答应写出文字说明, 证明过程及演算步骤.
11. 设
求 a-b 的值.
解:
∴sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
12. 已知 f(x)=2sin4x+2cos4x+cos22x-3.
(1) 求函数 f(x) 的最小正周期;
(2) 求函数 f(x) 在闭区间 上的最小值, 并
求当 f(x) 取最小值时, x 的取值.
解:
f(x)=
2[(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x]+cos22x-3
=cos22x-sin22x-1
=cos4x-1.
(1)
f(x) 的最小正周期是
12. 已知 f(x)=2sin4x+2cos4x+cos22x-3.
(1) 求函数 f(x) 的最小正周期;
(2) 求函数 f(x) 在闭区间 上的最小值, 并
求当 f(x) 取最小值时, x 的取值.
解:
f(x)=
2[(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x]+cos22x-3
=cos4x-1.
(1)
f(x) 的最小正周期是
4x= 时, cos4x 取得最小值
在区间 上,
∴f(x) 的最小值是
(2)
当 时,