2020-2021学年高一数学人教A版必修4第三章3.2 简单的三角恒等变换2课时课件（共61张PPT）

第三章
三角恒等变换
【本章内容】
3.1 两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
3.2 简单的三角恒等变换
第三章 小结
3.2
简单的
三角恒等变换
(第一课时)
第一课时
第二课时
学习要点
1. 二倍角公式的变换使用.
2. 和差角公式的变换使用.
3. 构造变换.
利用和 (差) 角公式、二倍角公式以及同角关系和诱导公式等, 可对三角函数式进行求值、化简、证明及解决一些有关三角函数的实际问题.
例1. 试以cosa 表示
分析:
二倍角的余弦公式中含有三角函数的平方.
∴可以用二倍角的余弦公式进行变换.
题设中的a 和 是二倍角关系,
解:
(一) 二倍角公式的变形
结论:
(降次公式、半角公式)
分析:
(1)
等式左边是单角a、b,
右边是和角, 差角,
可考虑用和(差)角公式从右证到左.
证明:
右边 =
= sina cosb
= 左边,
∴等式成立.
例2. 求证:
(1)
(2)
(二) 和差角公式的变换使用
例2. 求证:
(1)
(2)
分析:
(2)
仔细观察左右两边的结构形式，
于是可以根据第 (1) 题求证.
类似于2sina cosb,
类似于(1)题两边乘以 2 后的左边,
于是得到启示: 换元,
令
则 a +b =
q,
a -b =
j,
(二) 和差角公式的变换使用
证明:
(2)
令
则 a +b =q,
a -b =j,
( (1)结论 )
= 左边,
∴等式成立.
例2. 求证:
(1)
(2)
(二) 和差角公式的变换使用
补充例1.
求 cos(a -b) 的值.
分析:
将已知中的两式分别平方就有了.
∵cos(a -b) =sina sinb+cosa cosb,
考虑需要的sina sinb 和cosa cosb从哪里来,
(三) 构造变换
补充例1.
求 cos(a -b) 的值.
(三) 构造变换
将两式相加得
2-2(sina sinb+cosa cosb)
得 cos (a -b) =
解:
将已知两式分别平方得
即 2-2cos(a -b)
(构造和 (差) 角形式)
(三) 构造变换
补充例2. 求证:
分析:
等式的左边是二倍角, 右边是单角,
思想:
用二倍角公式化为单角,
问题:
cos2a 化成哪一个?
不妨把右边切化弦观察,
若分子乘以cosa +sina 就得cos2a -sin2a,
即为 cos2a.
(三) 构造变换
补充例2. 求证:
证明:
左边 =
(构造完全平方)
(分子母同除以cosa)
=右边,
∴等式成立.
(三) 构造变换
补充例3. 已知A、B、C是三角形的内角, 求证: tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC.
分析:
将所证等式变形得,
tanA+tanB = (tanAtanB-1)tanC,
构造成了和角的正切,
-tanC 恰是 tan(A+B).
(三) 构造变换
补充例3. 已知A、B、C是三角形的内角, 求证: tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC.
证明:
= -tanC,
= tan(180?-C)
∴tanA+tanB = (1-tanAtanB)(-tanC)
= -tanC+tanAtanBtanC,
即得 tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC.
和角正切的变形应用:
tana +tanb =tan(a +b)(1-tana tanb).
在三角恒等变换中, 注意以下解题思想的运用:
1. 向着同种函数转化
2. 向着同角转化
3. 向着一个三角函数转化
正、余弦的互化,
正、余切化正、余弦(切化弦).
诱导公式,
二倍角公式.
和(差)角公式(辅助角化一).
练习: (课本142页)
第 1、2、3、4 题.
习题 3.2
第 1、2、3、4 题.
A 组
1. 求证:
证明:
(切化弦)
(分子构造二倍角正弦)
(分母构造二倍角余弦)
第一个等号证得.
练习: (课本142页)
1. 求证:
证明:
(切化弦)
(分子构造二倍角正弦)
(分母构造二倍角余弦)
第一个等号证得.
(分子母同乘 sina 使分母强构成sina)
(平方关系)
第二个等号证得.
(分解因式)
2. 求证:
(1)
(2)
(3)
证明:
(1)
∵sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb,
sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb,
两式相减得
sin(a+b) - sin(a-b) = 2cosa sinb,
两边除以 2 即得
2. 求证:
(1)
(2)
(3)
证明:
(2)
∵cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb,
cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb,
两式相加得
cos(a+b) + cos(a-b) = 2cosa cosb,
两边除以 2 即得
2. 求证:
(1)
(2)
(3)
证明:
(3)
∵cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb,
cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb,
两式相减得
cos(a+b) - cos(a-b) = -2sina sinb,
两边除以 -2 即得
3. 求证:
(1)
(2)
(3)
证明:
(1)
令
则
sinq - sinj = sin(a+b) - sin(a -b)
= sina cosb + cosa sinb
- (sina cosb- cosa sinb)
= 2cosa sinb
3. 求证:
(1)
(2)
(3)
证明:
(2)
令
则
cosq + cosj = cos(a+b) + cos(a -b)
= cosa cosb - sina sinb
+ cosa cosb + sina sinb)
= 2cosa cosb
3. 求证:
(1)
(2)
(3)
证明:
(3)
令
则
cosq - cosj = cos(a+b) - cos(a -b)
= cosa cosb - sina sinb
- (cosa cosb + sina sinb)
= -2sina sinb
结论:
积化和差:
和差化积:
4. 求下列函数的最小正周期, 递增区间及最大值:
(1) y = sin2x cos2x;
(2) y = 2cos2 +1;
(3) y = cos4x+sin4x.
解:
(1)
y = sin2x cos2x
① 最小正周期为
②
递增区间为
③ 最大值为
4. 求下列函数的最小正周期, 递增区间及最大值:
(1) y = sin2x cos2x;
(2) y = 2cos2 +1;
(3) y = cos4x+sin4x.
解:
(2)
① 最小正周期为2p;
② 递增区间为 [ 2kp-p, 2kp ], k?Z;
③ 最大值为3.
4. 求下列函数的最小正周期, 递增区间及最大值:
(1) y = sin2x cos2x;
(2) y = 2cos2 +1;
(3) y = cos4x+sin4x.
解:
(3)
③ 最大值为2.
① 最小正周期为
②
递增区间为
(习题3.2)
1. 求证:
(1) (sin2a -cos2a)2=1-sin4a;
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 1+cos2q +2sin2q =2;
(7)
(8)
(习题3.2)
1. 求证:
(1) (sin2a -cos2a)2=1-sin4a;
证明:
左边 =
sin22a +cos22a -2sin2a cos2a
= 1 - sin4a
= 右边,
∴等式成立.
(习题3.2)
1. 求证:
(2)
证明:
右边 =
= 左边,
∴等式成立.
(习题3.2)
1. 求证:
(3)
证明:
左边 =
= 右边,
∴等式成立.
(习题3.2)
1. 求证:
(4)
证明:
左边 =
= 右边,
∴等式成立.
= cosj +sinj
(习题3.2)
1. 求证:
(5)
证明:
左边 =
= 右边,
∴等式成立.
(习题3.2)
1. 求证:
(6)
1+cos2q +2sin2q =2;
证明:
左边 =
= 右边,
∴等式成立.
1+(1-2sin2q )+2sin2q
= 2
(习题3.2)
1. 求证:
(7)
证明:
左边 =
= 右边,
∴等式成立.
= tan2q
(习题3.2)
1. 求证:
(8)
证明:
左边 =
= 右边,
∴等式成立.
= tanq
2. 已知sin(a +b) = sin(a -b) =
(1) 求证: sina cosb = 5cosa sinb;
(2) 求证: tana = 5tanb.
证明:
由
①
②
(1)
① + ②得
① - ②得
两式相除得
∴sina cosb = 5cosa sinb.
③
(2)
将③式两边同除以cosa cosb 即得
tana = 5tanb.
3. 已知 求证 tan2q = - 4tan(q + ).
证明:
由 解得
4. 已知x+y = sin(q + ), x-y= sin(q - ), 求证: x2+y2=1.
证明:
平方得
①
又将 平方得
②
① + ②即得
=1.
3.2
简单的
三角恒等变换
(第二课时)
第一课时
第二课时
学习要点
1. 辅助角化一公式的应用.
2. 实际应用中的三角变换.
例3. 求函数 y=sin x + cos x 的周期, 最大值和最小值.
分析:
要求周期、最值, 最好是把函数化成只有
一个三角函数的形式.
而函数的结构形式是 a sina + b cosa 的形式,
∴可考虑用辅助角公式.
(四) 辅助角公式化一
例3. 求函数 y=sin x + cos x 的周期, 最大值和最小值.
(四) 辅助角公式化一
解:
∴函数的周期是2p, 最大值是2, 最小值是-2.
(五) 应用中的三角变换
例4. 如图, 已知OPQ是半径为 1, 圆心角为 的
扇形, C 是扇形弧上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形. 记∠COP = a, 求当角 a 取何值时, 矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积.
O
A
B
P
C
Q
D
a
分析:
矩形面积为长乘宽,
用 a 的三角函数表示长和宽, 面积则
为一个三角函数式, 由三角函数求最值.
(五) 应用中的三角变换
例4. 如图, 已知OPQ是半径为 1, 圆心角为 的
扇形, C 是扇形弧上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形. 记∠COP = a, 求当角 a 取何值时, 矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积.
O
A
B
P
C
Q
D
a
解:
在Rt△OBC中, OC =1,
BC = OC·sina
在Rt△OAD中,
= sina,
OB = OC·cosa
= cosa,
OA =AD·tan
则 AB = OB-OA
∴SABCD = AB·BC
(五) 应用中的三角变换
例4. 如图, 已知OPQ是半径为 1, 圆心角为 的
扇形, C 是扇形弧上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形. 记∠COP = a, 求当角 a 取何值时, 矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积.
O
A
B
P
C
Q
D
a
解:
在Rt△OBC中, OC =1,
BC = OC·sina
在Rt△OAD中,
= sina,
OB = OC·cosa
= cosa,
OA =AD·tan
则 AB = OB-OA
∴SABCD = AB·BC
则当 时,
即a = 时,
S最大=
习题 3.2
第 5 题.
A
B
C
D
a
补充题. 如图, 把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料, 当角a 为多大时矩形面积最大? 并求出这个最大面积.
B 组
第 1、2、3、4、5、6 题.
5. 求函数 f(x) = sin( +4x) + cos(4x - )的最小正周期和递减区间.
解:
最小正周期为
递减区间为
解:
在Rt△DCB中, DB = 2R,
则 DC = 2Rcosa,
BC = 2Rsina,
矩形面积 S = DC·BC
= 4R2sina cosa
= 2R2sin2a
当 2a = 90?时, S 取得最大值,
即 a = 45?, 矩形是正方形时,
S 取得最大值,
S最大= 2R2.
A
B
C
D
a
补充题. 如图, 把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料, 当角a 为多大时矩形面积最大? 并求出这个最大面积.
B 组
1. 求证:
(1) 3 +cos4a - 4cos2a = 8sin4a;
(2)
证明:
(1)
左边=
3+1-2sin22a-4(1-2sin2a)
= -2(2sinacosa)2+8sin2a
= -8sin2a(1-sin2a)+8sin2a
= 8sin4a
=右边.
B 组
1. 求证:
(1) 3 +cos4a - 4cos2a = 8sin4a;
(2)
证明:
(2)
左边=
=右边.
2. 若sin76?=m, 试用含m的式子表示cos7?.
解:
3. 是否存在锐角a, b, 使a +2b = tan tanb =2- 同时成立? 若存在, 求出a、b 的度数; 若不存在, 请说明理由.
解:
若存在, 则
整理得
解得
或 tanb =1,
将tanb = 代入上式得
3. 是否存在锐角a, b, 使a +2b = tan tanb =2- 同时成立? 若存在, 求出a、b 的度数; 若不存在, 请说明理由.
解:
若存在, 则
整理得
解得
或 tanb =1,
将tanb = 代入上式得
则a =90?, 不是锐角, 不合题意;
当tanb =1时,
则
即存在 使题设条件成立.
4. 你能利用右图, 给出下列两个等式的一个证明吗?
x
y
o
B(cosb, sinb)
A(cosa, sina)
M
分析:
∵M是AB的中点,
∴M点的坐标为
又在Rt△OAM中, 用角 表示OM:
M?
作MM?⊥x 轴于M?,
则 xM = OMcos∠MOM?
yM = OMsin∠MOM?
与上面点M的坐标相等, 即得所证等式.
5. 设 f(a) = sinxa +cosxa, x?{n | n = 2k, k?N+}.利用三角变换, 估计 f(a) 在 x = 2, 4, 6 时的取值情况, 进而对 x 取一般值时 f(a)的取值范围作出一个猜想.
分析:
当 x = 2 时, f(a) =1,
当 x = 4 时,
f(a) = sin4a+cos4a,
= (sin2a+cos2a)2-2sin2a cos2a,
= 1-2sin2a cos2a,
≤1,
当 x = 6 时,
f(a) = sin6a+cos6a,
= (sin2a+cos2a)(sin4a -sin2a cos2a + cos4a),
= 1-3sin2a cos2a,
≤1,
= (sin2a+cos2a)2-3sin2a cos2a,
≤
≤
猜想:
6. (1) 求函数 y = 3sinx + 4cosx 的最大值与最小值.
(2) 你能用 a, b 表示函数 y = acosx + bsinx 的最大
值和最小值吗?
解:
(1)
y = 3sinx + 4cosx
令
则
∴函数的最大值是5, 最小值是-5.
6. (1) 求函数 y = 3sinx + 4cosx 的最大值与最小值.
(2) 你能用 a, b 表示函数 y = acosx + bsinx 的最大
值和最小值吗?
解:
(2)
y = acosx + bsinx
令
则
∴函数的最大值为 最小值为