2020-2021学年高一数学人教A版必修4第三章3.1 两角和与差的正弦,余弦和正切公式4课时课件（共139张PPT）

第三章
三角恒等变换
【本章内容】
3.1 两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
3.2 简单的三角恒等变换
第三章 小结
正弦、余弦和正切公式
3.1
两角和与差的
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.2 两角和与差的正弦余弦正切公式
3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式
复习与提高
3.1.1
两角差的余弦公式
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学习要点
1. cos(a-b)=cosa-cosb 吗? 如果不等, 那么怎样用 a 和 b 的三角函数来表示 cos(a-b) 呢?
2. 用 a 与 b 的三角函数来表示 cos(a-b) 有什么作用? 能解决些什么问题?
问题1. 在三角函数中, 对于特殊角, 如30?、45?、60?等, 我们可以记得它们的正弦、余弦等函数值, 那么对于如15?、75?等的角, 是否可用特殊角来计算其三角函数值呢? 即
sin15?=?
cos15?=?
sin75?=?
cos75?=?
sin15?=sin(45?-30?) = sin45?-sin30? 对吗?
sin(a +b ) = sina + sinb 成立吗
cos15?=cos(45?-30?) = cos45?-cos30? 对吗?
∵sin15?=sin(45?-30?),
若能用45?和30?的三角函数表示就好办了.
sin(a +b ) = sina + sinb 不成立.
sin(60?+30?)=sin90?
= 1,
≠1,
∴sin(a +b ) = sina + sinb 不成立.
设 a =60?, b =30?,
如:
sin60?+sin30?=
而
怎样用a 和b的三角函数来表示a+b 的三角函数呢?
于是给我们提出了一个问题:
下面我们先讨论两角差的余弦:
cos(a-b)=
用向量方法求 cos(a-b):
a、b 的终边分别交
单位圆于A、B,
用三角函数表
示A、B两点的坐标,
A(cosa, sina),
B(cosb, sinb),
cos(a-b ),
cosa cosb + sina sinb,
即 cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb.
若p 若 a-b >2p ,
由cos(2p-x)=cosx, 可变到(0, p ].
由cos(2p+x)=cosx, 可变到(0, 2p ];
两角差的余弦公式, 简记为 C(a-b).
如图,
(用模与夹角表示)
(用坐标表示)
例1. 利用差角余弦公式, 求cos15?的值.
解:
cos15? =
cos(45?-30?)
= cos45?cos30?+sin45?sin30?
cos15? =
cos(60?-45?)
= cos60?cos45?+sin60?sin45?
法二:
例2. 已知sina = a?( p), cosb = b 是第三象限角, 求cos(a -b )的值.
解:
已知
则cosa =
又 b是第三象限角,
则sinb =
∴cos(a -b ) = cosa cosb +sina sinb
例(补充). 求 sin68?cos67?+sin22?cos23? 的值.
分析:
将原式变形为两角差的余弦.
将前一项中的正弦变余弦, 后一项中的余弦变
正弦.
sin68?=cos22?,
cos23?=sin67?.
例(补充). 求 sin68?cos67?+sin22?cos23? 的值.
解:
原式= cos22?cos67?+sin22?sin67?
= cos(22?-67?)
= cos(-45?)
= cos45?
练习: (课本127页)
第 1、2、3、4 题.
1. 利用公式 C(a-b) 证明:
(1) cos( -a)=sina; (2) cos(2p-a)=cosa.
证明:
(1)
左边
= 0?cosa + 1?sina
=右边,
∴等式得证.
(2)
左边cos(2p-a) =
= 1?cosa + 0?sina
=右边,
∴等式得证.
cos(2p)cosa + sin(2p)sina
= sina
= cosa
练习: (课本127页)
2. 已知cosa = a?( p), 求cos( -a)的值.
解:
则
3. 已知sinq = q是第二象限角, 求cos(q - )的值.
解:
则
q是第二象限角,
4. 已知sina = a?(p, ), cosb = b?( 2p),
求cos(b-a)的值.
解:
又
【课时小结】
1. 两角差的余弦公式的导出
向量数量积的两种表示
x
o
y
a
b
A
B
1
-1
A(cosa, sina), B(cosb, sinb),
? cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb.
模与夹角表示
坐标表示
=cosa cosb + sina sinb,
【课时小结】
2. 两角差的余弦公式及应用
公式 C(a-b):
cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb.
形式:
两角余弦积加正弦积.
应用:
从左到右, 一角分解成两角差.
从右到左, 两角之差合成一角.
习题 3.1
A 组
第 2、3、4、5 题
2. 已知 cosa = 0解:
则
习题 3.1
A 组
3. 已知sina = cosb = a?( p), b?(p, ), 求cos(a-b) 值.
解:
又
4. 已知 a、b 都是锐角, cosa = cos(a +b ) =
求cosb 的值.
分析:
可将所求 b 凑成 (a+b)-a 的形式.
已知 a 和 a+b 的三角函数值,
要求 b 的函数值,
解:
由题设得
∴cosb =
cos[(a+b)-a]
= cos(a+b)cosa + sin(a+b)sina
5. 已知sin(30?+a) = 60?由 60?解:
90?<30?+a<180?,
则
分析:
已知 30?+a 与 30? 的函数值,
构造所求 a 为
(30?+a)-30?.
这题与前一题所用方法是:
凑角求值.
3.1.2
两角和与差的
正弦余弦正切
公式
3.1.2
两角和与差的
正弦余弦正切
公式
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学习要点
1. 用两角差的余弦怎样推出两角和的余弦以及两角和与差的正弦、正切?
2. 两角和与差的三角函数公式有哪几个? 分别是怎样的?
3. 用两角和与差的三角函数公式可以解决哪些问题?
问题1. 有了公式 cos(a-b), 你能得到 cos(a+b) 的公式吗? 请你将 cos(a-b) 中的 b 换成 -b 试试.
cos[a-(-b)] = cosacos(-b) + sinasin(-b)
= cosacosb - sinasinb
即得 cos(a+b) = cosacosb - sinasinb.
这就是两角和的余弦公式, 简记为 C(a+b).
问题2. 有了公式C(a+b)、C(a-b), 如何将正、余弦转化, 求得 sin(a+b), sin(a-b)?
sin(a+b) =
请同学们将上式的b 换成-b, 然后化简结果.
正余弦的转换, 用 sinx = cos( -x) 试试.
(拆开 a+b 重新分组)
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb.
sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb.
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb.
cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb.
C(a+b):
S(a+b):
C(a-b):
S(a-b):
请用商数关系导出tan(a+b), tan(a-b).
T(a+b):
T(a-b):
【两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
例3. 已知sina = a 是第四象限角, 求sin( -a), cos( +a), tan(a - )的值.
解:
a 是第四象限角,
则
例3. 已知sina = a 是第四象限角, 求sin( -a), cos( +a), tan(a - )的值.
解:
a 是第四象限角,
= 7.
例4. 利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1) sin72?cos42?-cos72?sin42?;
(2) cos20?cos70?-sin20?sin70?;
(3)
解:
(1)
sin72?cos42?-cos72?sin42?=
sin(72?- 42?)
= sin30?
(2)
cos20?cos70?-sin20?sin70?=
cos(20?+70?)
= cos90?
= 0.
(3)
= tan60?
练习: (课本131页)
第 1、5 题.
1. 利用和(差)角公式, 求下列各式的值:
(1) sin15?; (2) cos75?;
(3) sin75?; (4) tan15?.
解:
(1)
(2)
sin15? = sin(45?-30?)
= sin45?cos30?-cos45?sin30?
cos75? = cos(45?+30?)
= cos45?cos30?-sin45?sin30?
1. 利用和(差)角公式, 求下列各式的值:
(1) sin15?; (2) cos75?;
(3) sin75?; (4) tan15?.
解:
(3)
(4)
sin75? = sin(45?+30?)
= sin45?cos30?+cos45?sin30?
tan15? = tan(45?-30?)
5. 求下列各式的值:
(1) sin72?cos18?+ cos72?sin18?;
(2) cos72?cos12?+ sin72?sin12?;
(3)
(4) cos74?sin14?- sin74?cos14?;
(5) sin34?sin26?- cos34?cos26?;
(6) sin20?cos110?+ cos160?sin70?.
解:
(1)
sin72?cos18?+ cos72?sin18?=
sin(72?+18?)
= sin90?
=1.
(2)
cos(72?-12?)
= cos60?
cos72?cos12?+ sin72?sin12?=
5. 求下列各式的值:
(1) sin72?cos18?+ cos72?sin18?;
(2) cos72?cos12?+ sin72?sin12?;
(3)
(4) cos74?sin14?- sin74?cos14?;
(5) sin34?sin26?- cos34?cos26?;
(6) sin20?cos110?+ cos160?sin70?.
解:
(3)
(4)
sin(14?-74?)
= sin(-60?)
cos74?sin14?- sin74?cos14?=
tan(12?+33?)
= tan45?
=1.
5. 求下列各式的值:
(1) sin72?cos18?+ cos72?sin18?;
(2) cos72?cos12?+ sin72?sin12?;
(3)
(4) cos74?sin14?- sin74?cos14?;
(5) sin34?sin26?- cos34?cos26?;
(6) sin20?cos110?+ cos160?sin70?.
解:
(5)
sin34?sin26?- cos34?cos26?=
-cos(34?+26?)
= -cos60?
5. 求下列各式的值:
(1) sin72?cos18?+ cos72?sin18?;
(2) cos72?cos12?+ sin72?sin12?;
(3)
(4) cos74?sin14?- sin74?cos14?;
(5) sin34?sin26?- cos34?cos26?;
(6) sin20?cos110?+ cos160?sin70?.
解:
(6)
sin20?cos110?+ cos160?sin70?
= sin20?(-cos70?)+ (-cos20?)sin70?
= -(sin20?cos70?+ cos20?sin70?)
= -sin(20?+70?)
= -sin90?
= -1.
【课时小结】
1. 两角和与差的三角函数公式的导出
由 cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb
-b 换 b ?
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb.
? sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb.
-b 换 b ?
sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb.
-b 换 b ?
【课时小结】
2. 两角和与差的三角函数公式
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb.
sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb.
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb.
cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb.
C(a+b):
S(a+b):
C(a-b):
S(a-b):
T(a+b):
T(a-b):
【课时小结】
3. 公式应用
从左到右, 把一个角分解成两个角的和与差.
从右到左, 熟悉右边的结构形式.
构造左边的和或差:
如: 已知 a+b 和 a 的三角函数值, 求 b,
b =(a+b)-a (两角差).
构造右边的结构形式:
如: sin20?cos110?+ cos160?sin70?
=sin20?cos110?- cos20?sin110?.
练习: (课本131页)
第 2、3、4、7 题.
第 1、6、7 题.
习题3.1
2. 已知 cosq = q?( p), 求 sin(q + )的值.
解:
则
练习: (课本131页)
3. 已知 sinq = q 是第三象限角, 求 cos( +q )
的值.
解:
q 是第三象限角,
则
4. 已知 tana =3, 求 tan(a + )的值.
解:
∵tana =3,
= -2.
7. 已知sin(a-b)cosa - cos(b-a)sina = b 是第三象
限角, sin(b + )的值.
解:
由 得
即得
∵b是第三象限角,
∴得 cosb =
则
习题3.1
A组
1. 利用公式 C(a-b) 、S(a-b) 证明:
(1) cos( -a) = -sina; (2) sin( -a) = -cosa;
(3) cos(p-a) = -cosa; (4) sin(p-a) = sina.
证明:
(1)
∴等式成立.
(2)
∴等式成立.
习题3.1
A组
1. 利用公式 C(a-b) 、S(a-b) 证明:
(1) cos( -a) = -sina; (2) sin( -a) = -cosa;
(3) cos(p-a) = -cosa; (4) sin(p-a) = sina.
证明:
(3)
∴等式成立.
(4)
∴等式成立.
6. 利用和 (差) 角公式求下列各三角函数的值:
(1) (2) (3)
解:
(1)
6. 利用和 (差) 角公式求下列各三角函数的值:
(1) (2) (3)
解:
(2)
6. 利用和 (差) 角公式求下列各三角函数的值:
(1) (2) (3)
解:
(3)
7. 已知sina = cosb = a?( p), b 是第三象限角, 求cos(a +b ), sin(a-b )的值.
解:
又
b 是第三象限角,
7. 已知sina = cosb = a?( p), b 是第三象限角, 求cos(a +b ), sin(a-b )的值.
解:
又
b 是第三象限角,
辅助角化一
3.1.3
二倍角的正弦
余弦正切公式
3.1.3
二倍角的正弦
余弦正切公式
二倍角公式
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学习要点
1. 如何将 asinx+bcosx 的形式化为两角和与差的一个三角函数?
2. 什么是三角函数的二倍角公式? 这个二倍角公式是怎样得到的?
问题1. 中的常数 是否是某
一个角的正弦和余弦, 能否将这个三角函数式写成两角和(差)的正弦或余弦的形式? 请试试看.
若令
则
原式
或令
则
原式
思考:
二项式化成了一个三角函数.
【辅助角化一】
试试看: 将sinx-cosx, cosx+ sinx化成两角和或差的正弦函数的形式.
解:
问题2. 以上两式提取公因式后, 两系数能变为同一个角的正、余弦函数, 请问: 提取的公因式是多少?
对于含正、余弦函数的一次式 a sinx + b cosx,
可提公因式 后, 原式即可化成两角和或差的
正弦函数或余弦函数的形式, 即
等价于sin2q + cos2q =1,
则可令
或
或
=
=
其中 q, j
为辅助角.
对于含正、余弦函数的一次式 a sinx + b cosx,
可提公因式 后, 原式即可化成两角和或差的
正弦函数或余弦函数的形式, 即
等价于sin2q + cos2q =1,
则可令
或
或
=
=
其中 q, j
为辅助角.
或
我们把这个变换叫做 “辅助角公式” 或 “化一公式”.
例(补充1). 求 的值.
解:
原式 =
2
∴ 原式 =
解:
当 f(x)=0时,
例(补充2). 已知函数 f(x) = cosx + sinx, 当 f(x) = 0 时, 求 x 的集合.
∴x 的集合为
6. 化简:
(1) cosx- sinx; (2) sinx+cosx;
(3) (sinx-cosx); (4) cosx- sinx.
解:
(1)
原式 =
或 原式 =
(2)
原式 =
练习: (课本132页)
6. 化简:
(1) cosx- sinx; (2) sinx+cosx;
(3) (sinx-cosx); (4) cosx- sinx.
解:
(3)
(4)
原式 =
原式 =
练习: (课本132页)
操作1: 将S(a+b) 、C(a+b) 、T(a+b)中的b 换成a, 看看公式变换成什么形式.
sin2a =
sin(a+a)
= sina cosa+cosa sina
= 2sina cosa.
cos2a =
cos(a+a)
= cosa cosa-sina sina
= cos2a-sin2a
tan2a =
tan(a+a)
=1-2sin2a
= 2cos2a-1.
S2a:
C2a:
T2a:
2倍角的正弦.
2倍角的余弦.
2倍角的正切.
【二倍角】
【二倍角公式】
sin2a = 2sina cosa.
cos2a = cos2a - sin2a;
S2a:
C2a:
T2a:
=2cos2a -1;
=1-2sin2a.
例5. 已知 求sin4a, cos4a, tan4a 的值.
解:
则sin4a =
2sin2a cos2a
cos4a =
1-2sin22a
tan4a =
由 得
例6. 在△ABC中, cos A = tan B = 2, 求tan(2A+2B)的值.
思考一: 求出2A、2B的正切, 再用两角和.
解:
则
则 tan 2A =
∴tan(2A+2B) =
例6. 在△ABC中, cos A = tan B = 2, 求tan(2A+2B)的值.
思考二: 求出A+B的正切, 再求A+B的2倍角.
解:
则
则 tan (A+B) =
∴tan(2A+2B) = tan2(A+B)
练习: (课本135页)
第 1、5 题
1. 已知cos = 8p解:
由 8p则
1. 已知cos = 8p解:
由 8p 1. 已知cos = 8p解:
由 8p5. 求下列各式的值:
(1) sin15?cos15?; (2)
(3) (4) 2cos222.5?-1.
解:
(1)
sin15?cos15?=
(2)
(3)
(4)
2cos222.5?-1 = cos(2?22.5?)
= cos45?
【课时小结】
1. 辅助角化一公式
或
【课时小结】
2. 二倍角公式
sin2a = 2sina cosa.
cos2a = cos2a - sin2a;
=2cos2a -1;
=1-2sin2a.
练习: (课本135页)
练习: (补充)
1. 求下列各式的值:
(1) sin15?+cos15?; (2) sin15?- sin105?.
2. 已知 求 x 的集合.
3. 已知 求 sina +cosa 的值.
4. 化简函数 f(x) = 并
求其最大值和最小值.
第 2、3、4 题.
1. 求下列各式的值:
(1) sin15?+cos15?; (2) sin15?- sin105?.
解:
(1)
原式 =
(2)
原式 =
练习: (补充)
2. 已知 求 x 的集合.
解:
原等式变为
∴ x 的集合为
3. 已知 求 sina +cosa 的值.
解:
sina +cosa =
解:
f (x) =
函数的最大值为 最小值为
4. 化简函数 f(x) = 并
求其最大值和最小值.
2. 已知sin(a -p) = 求cos2a 的值.
解:
由诱导公式得
则 cos2a =
1-2sin2a
练习: (课本135页)
3. 已知sin2a = -sina, a?( p), 求tana 的值.
解:
由 sin2a = -sina 得
2sina cosa = -sina,
sina (2cosa +1) = 0,
∴sina≠0,
则 2cosa +1 = 0,
4. 已知tan2a = 求tana 的值.
解:
由 得
解关于 tana 的方程得
复习
提高
与
与
复
习
提高
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知识要点
1. 两角和与差的三角函数公式
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb.
sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb.
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb.
cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb.
C(a+b):
S(a+b):
C(a-b):
S(a-b):
T(a+b):
T(a-b):
知识要点
2. 辅助角化一公式
或
知识要点
3. 二倍角公式
sin2a = 2sina cosa.
cos2a = cos2a - sin2a;
=2cos2a -1;
=1-2sin2a.
知识要点
4. 应用要点
(1) 凑角以适用已知条件.
如: b =(a+b)-a.
(2) 熟悉两角和与差的右边结构形式.
(3) 注意角的范围确定值的正负.
(4) 用好辅助角化一公式.
(5) 恰当用好二倍角余弦的三个公式.
例1. 若 且 则 tana的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
分析:
若在方程 中解得 a 的
一种三角函数值,
即可由同角三角函数的关系求
tana.
于是需把 sin2a+cos2a 变为同角同种三角函数,
很明显用二倍角公式变换 cos2a 为单角a.
例题选讲
=1-sin2a
得
解:
例1. 若 且 则 tana的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
例题选讲
D
例2. 若
则 等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
分析:
所求角:
已知角:
凑角:
例2. 若
则 等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
解:
例2. 若
则 等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
解:
则
例3. 已知 f(x)=sinx+cosx.
(1) 求 f(x) 取得最大值时 x 的集合, 并求出最大值;
(2) 若 , 求 sin2x 的值.
分析:
如果是一个三角函数, 就有最大值的
则考虑用辅助角公式将 f(x) 化为一个三角函数.
(1)
(2)
∵sin2x=2sinxcosx,
将 sinx+cosx 两边平方后即可得 2sinxcosx.
性质.
例3. 已知 f(x)=sinx+cosx.
(1) 求 f(x) 取得最大值时 x 的集合, 并求出最大值;
(2) 若 , 求 sin2x 的值.
解:
(1)
当 时, 即
时, f(x) 取得最大值
∴ f(x) 取得最大值时 x 的集合为
例3. 已知 f(x)=sinx+cosx.
(1) 求 f(x) 取得最大值时 x 的集合, 并求出最大值;
(2) 若 , 求 sin2x 的值.
解:
(2)
两边平方得
即得
则
例4. 设函数
的图象关于直线 x=p 对称, 其中 w 为常
数,
(1) 求 f(x) 的最小正周期;
(2) 求 f(x) 的最大值以及取得最大值时 x 的集合.
分析:
(1)
求周期需化成一个三角函数.
要合成一个三角函数, 通常从右到左应用
和差角公式, 二倍角公式.
2sinwxcoswx 是二倍角正弦的形式.
sin2wx-cos2wx 是二倍角余弦的形式.
(2)
由(1)化为一个三角函数, 就容易求最大值了.
例4. 设函数
的图象关于直线 x=p 对称, 其中 w 为常
数,
(1) 求 f(x) 的最小正周期;
(2) 求 f(x) 的最大值以及取得最大值时 x 的集合.
解:
(1)
∵x=p 是一条对称轴,
则
例4. 设函数
的图象关于直线 x=p 对称, 其中 w 为常
数,
(1) 求 f(x) 的最小正周期;
(2) 求 f(x) 的最大值以及取得最大值时 x 的集合.
解:
(1)
∵x=p 是一条对称轴,
则
∴取 k=1 时,
则 f(x) 的最小正周期为
例4. 设函数
的图象关于直线 x=p 对称, 其中 w 为常
数,
(1) 求 f(x) 的最小正周期;
(2) 求 f(x) 的最大值以及取得最大值时 x 的集合.
解:
(2)
由(1)得
当 时, 即
时, f(x) 取得最大值 2.
∴ f(x) 取得最大值时 x 的集合为
例5. 设向量 a=(4cosa, sina), b=(sinb, 4cosb), c=(cosb, -4sinb).
(1) 若 a 与 b-2c 垂直, 求 tan(a+b) 的值;
(2) 求 |b+c| 的最大值;
(3) 若 tanatanb=16, 求证: a//b.
解:
(1)
(sinb-2cosb, 4cosb+8sinb),
由 与 垂直得
4cosa(sinb-2cosb)+sina(4cosb+8sinb)=0,
4cosasinb-8cosacosb+4sinacosb+8sinasinb=0,
4sin(a+b)
-8cos(a+b)=0,
4sin(a+b)=8cos(a+b),
得 tan(a+b)=2.
例5. 设向量 a=(4cosa, sina), b=(sinb, 4cosb), c=(cosb, -4sinb).
(1) 若 a 与 b-2c 垂直, 求 tan(a+b) 的值;
(2) 求 |b+c| 的最大值;
(3) 若 tanatanb=16, 求证: a//b.
解:
(2)
当 sin2b = -1 时,
取得最大值
例5. 设向量 a=(4cosa, sina), b=(sinb, 4cosb), c=(cosb, -4sinb).
(1) 若 a 与 b-2c 垂直, 求 tan(a+b) 的值;
(2) 求 |b+c| 的最大值;
(3) 若 tanatanb=16, 求证: a//b.
解:
(3)
要证 需
证明:
∵tanatanb=16,
∴得
sinasinb=16cosacosb,
即得 4cosa·4cosb-sina·sinb=0.
例5. 设向量 a=(4cosa, sina), b=(sinb, 4cosb), c=(cosb, -4sinb).
(1) 若 a 与 b-2c 垂直, 求 tan(a+b) 的值;
(2) 求 |b+c| 的最大值;
(3) 若 tanatanb=16, 求证: a//b.
此题是向量与三角函数的知识交汇.
题目难度不大, 但应用了向量的加减法, 向量的模, 数量积, 平行与垂直等.
应用了三角函数的平方关系, 商数关系, 两角和与差, 2 倍角, 最大值等.
习题 3.1
A组 (8~19)
B组 (1~4)
8. 在△ABC中, sinA= cosB= 求 cosC 的值.
解:
∴ cosC = cos[180?-(A+B)]
= -cos(A+B)
= -(cosAcosB-sinAsinB)
(1) 当角A为锐角时, cosA=
又由 得
8. 在△ABC中, sinA= cosB= 求 cosC 的值.
解:
则 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
(2) 当角A为钝角时, cosA=
由 得
则 A+B>180?,
不合题意.
∴只有
9. 已知sinq = q?( p), tanj = 求tan(q +j), tan(q -j) 的值.
解:
已知
得
则 tan(q+j) =
9. 已知sinq = q?( p), tanj = 求tan(q +j), tan(q -j) 的值.
解:
已知
得
则 tan(q -j) =
10. 已知 tana, tanb 是方程 2x2+3x-7=0 的两个实数根, 求 tan(a +b) 的值.
解:
由二次方程根与系数的关系得
11. 已知tan(a +b) = 3, tan(a -b) = 5, 求tan2a, tan2b 的值.
思考:
将 2a、2b 构造成 a+b、a-b 的形式.
解:
tan2a =
tan[(a+b)+(a-b)]
tan2b =
tan[(a+b)-(a-b)]
12. 在△ABC中, AD⊥BC, 垂足为D, AD在△ABC 的内部, 且 BD:DC:AD = 2:3:6, 求∠BAC的度数.
A
B
C
D
分析:
如图,
(1) 考虑在直角三角形中求角,
则考虑Rt△ADB和Rt△ADC;
(2) ∠BAC=∠BAD+∠DAC,
考虑用和角公式.
A
B
C
D
解:
在Rt△ADB中,
tan∠BAD =
在Rt△ADC中,
tan∠DAC =
∴tan∠BAC=tan(∠BAD+∠DAC)
∴∠BAC = 45?.
12. 在△ABC中, AD⊥BC, 垂足为D, AD在△ABC 的内部, 且 BD:DC:AD = 2:3:6, 求∠BAC的度数.
13. 化简:
(1) (2)
(3)
(4)
(5) sin347?cos148?+sin77?cos58?;
(6) sin164?sin224?+sin254?sin314?;
(7) sin(a+b)cos(g-b)-cos(b+a)sin(b-g);
(8) sin(a-b)sin(b-g)-cos(a-b)cos(g-b);

(9) (10)
13. 化简:
(1)
解:
原式 =
13. 化简:
(2)
解:
原式 =
13. 化简:
(3)
解:
原式 =
2
13. 化简:
(4)
解:
原式 =
13. 化简:
(5)
解:
原式 =
sin347?cos148?+sin77?cos58?;
-sin13?(-cos32?)+sin77?cos58?
= sin13?cos32?+sin(90?-13?)cos(90?-32?)
= sin13?cos32?+cos13?sin32?
= sin(13?+32?)
= sin45?
13. 化简:
(6)
解:
原式 =
sin16?(-sin44?)
= sin74?sin46?-sin16?sin44?
= cos16?cos44?-sin16?sin44?
= cos(16?+44?)
= cos60?
sin164?sin224?+sin254?sin314?;
-sin74?(-sin46?)
13. 化简:
(7)
解:
原式 =
sin(a+b)cos(g-b)-cos(b+a)sin(b-g);
sin(a+b)cos(g-b)+cos(a+b)sin(g-b)
= sin[(a+b)+(g-b)]
= sin(a+g).
13. 化简:
(8)
解:
原式 =
sin(a-b)sin(b-g)-cos(a-b)cos(b-g)
= -cos[(a-b)+(b-g)]
= -cos(a-g).
sin(a-b)sin(b-g)-cos(a-b)cos(g-b);
= -[cos(a-b)cos(b-g)-sin(a-b)sin(b-g)]
13. 化简:
解:
原式 =
(9)
13. 化简:
(10)
解:
原式 =
14. 已知sina =0.80, a?(0, ), 求sin2a, cos2a的值(保留两个有效数字).
解:
= 0.60,
则 sin2a = 2sina cosa
= 2?0.80?0.60
= 0.96.
cos2a = 2cos2a -1
= 2?0.602-1
= -0.28.
15. 已知cosj = 180?解:
则 sin2j = 2sinj cosj
cos2j = 2cos2j -1
16. 已知等腰三角形一个底角的正弦值为 求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切值.
A
B
C
D
解:
如图,
∵∠BAD = 90?-∠B
∴ cos∠BAD = sinB
则
设顶角为A,
则sinA = 2sin∠BADcos∠BAD
16. 已知等腰三角形一个底角的正弦值为 求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切值.
A
B
C
D
解:
如图,
∵∠BAD = 90?-∠B
∴ cos∠BAD = sinB
则
设顶角为A,
cosA = 2cos2∠BAD-1
16. 已知等腰三角形一个底角的正弦值为 求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切值.
A
B
C
D
解:
如图,
∵∠BAD = 90?-∠B
∴ cos∠BAD = sinB
则
设顶角为A,
17. 已知tana = tanb = 求tan(a +2b )的值.
解:
∴tan(a +2b ) =
tan[(a +b )+b]
也可先求 tan2b,
再用和角公式.
18. 已知cos(a +b) cosb + sin(a +b) sinb = 且a?( 2p), 求cos(2a + )的值.
解:
由 得
则sin2a =2sina cosa
cos2a =2cos2a -1
19. 化简:
(1) (sina +cosa)2; (2) cos4q -sin4q;
(3) sinx cosx cos2x; (4)
解:
(1)
原式 =
sin2a + cos2a + 2sina cosa
=1+sin2a.
(2)
原式 =
(cos2q + sin2q )(cos2q - sin2q)
= cos2q.
= cos2q - sin2q
(3)
原式 =
(4)
原式 =
= tan2q.
B 组
1. 证明:
(1) sin3a =3sina -4sin3a;
(2) cos3a =4cos3a -3cosa.
证明:
(1)
∵sin3a = sin(2a+a)
= sin2a cosa + cos2a sina
= 2sina cos2a + (1-2sin2a )sina
= 2sina (1- sin2a) + (1-2sin2a )sina
= 3sina - 4sin3a.
∴原等式成立.
B 组
1. 证明:
(1) sin3a =3sina -4sin3a;
(2) cos3a =4cos3a -3cosa.
证明:
(2)
∵cos3a = cos(2a+a)
= cos2a cosa - sin2a sina
= (2cos2a-1)cosa - 2sina cosa sina
= 2cos3a - cosa - 2(1-cos2a )cosa
= 4cos3a -3cosa.
∴原等式成立.
2. 在△ABC中, 已知tanA, tanB是 x 的方程x2+p(x+1)+1=0 的两个根, 求∠C的度数.
解:
由根与系数的关系得
在△ABC中,
tanC = tan[180?-(A+B)]
= -tan(A+B)
= -1,
二次方程变为 x2+px+p+1=0,
∴∠C=135?.
3. 观察以下各等式:
sin230?+cos260?+sin30?cos60?=
sin220?+cos250?+sin20?cos50?=
sin215?+cos245?+sin15?cos45?=
分析上述各式的共同特点, 写出能反映一般规律的等式, 并对等式的正确性作出证明.
分析:
观察得
60?=30?+30?,
50?=20?+30?,
45?=15?+30?,
猜想:
sin2a + cos2(a+30?) + sina cos(a+30?)=
3. 观察以下各等式:
sin230?+cos260?+sin30?cos60?=
sin220?+cos250?+sin20?cos50?=
sin215?+cos245?+sin15?cos45?=
分析上述各式的共同特点, 写出能反映一般规律的等式, 并对等式的正确性作出证明.
证明:
sin2a + cos2(a+30?) + sina cos(a+30?)
猜想得证.
4. 如图, 考虑点 A(1, 0), P1(cosa, sina), P2(cosb, -sinb), P(cos(a+b), sin(a+b)). 你能从这个图出发, 推导出公式 cos(a+b)=cosacosb-sinasinb 吗?
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb.
P2
x
o
y
b
a
A(1,0)
-1
-b
P1
P
解:
由 |PA| = |P1P2| 得
[cos(a+b)-1]2+sin2(a+b)
= (cosa-cosb)2+[sina-(-sinb)]2,
化简即得: